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8.5.1 直线与直线平行 第1课时
第八章 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
学习目标
①探究并掌握基本事实4(平行线的传递性).
②探究并证明“等角定理”.
③结合基本事实4和“等角定理”的探究,体会平面图形结论在空间图形中的推广,体会研究几何问题的一般方法,培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养.
学习重难点
重点:
基本事实4与等角定理的内容.
难点:
空间“等角定理”的证明.
导入新课
观察:在长方体中ABCD-A′B′C′D′,DC∥AB,A′B′∥AB,DC与AB平行吗?
观察你所在的教室,你能找到类似的实例吗? 实际生活中还有没有这样的实例呢?
动手实验:请大家准备一张长方形的纸,把它对折几次打开,观察折痕,看看这些折痕之间有什么关系?
讲授新课
1、基本事实4 :平行于同一条直线的两条直线平行.
基本事实4表明,空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据.基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性.
讲授新课
2、探究并证明“等角定理”
问题:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角有什么关系?
思考:在平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.在空间中,这一结论是否仍然成立呢
讲授新课
与平面中的情况类似,当空间中两个角的两条边分别对应平行时,这两个角有如图所示的两种位置.
讲授新课
空间中,对于图(1),我们可以构造两个全等三角形,使∠BAC和∠B′A′C′是它们的对应角,从而证明∠BAC=∠B′A′C′.
讲授新课
如图,分别在∠BAC和∠B′A′C′的两边上截取AD,AE和A′D′,A′E′,使得AD=A′D′,AE=A′E′,连接AA′,DD′,EE′,DE,D′E′.
,四边形 是平行四边形.
,同理可证 , .
四边形 是平行四边形. ,
, .
讲授新课
对于图(2)的情形,请同学们自己给出证明,
这样,我们就得到了下面的定理:
定理: 如果空间中两个角的两条边分别与对应平行,那么这两个角相等或互补.
典型例题
【例题1】
如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形.
题型一 证明直线与直线平行
证明:
因为在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG=AC,
所以EF∥HG,EF=HG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
典型例题
【例题1】
如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.
题型一 证明直线与直线平行
证明:
因为空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD,EH=BD.
因为EF=AC,AC=BD,所以EH=EF.
又因为四边形EFGH是平行四边形,所以四边形EFGH是菱形.
典型例题
名师解惑
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法:三角形中位线、平行四边形的性质等;
(2)定义法:用定义证明两条直线平行,要证明两个方面,一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点;
(3)基本事实4:用基本事实4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,即可得到a∥c.
典型例题
【例题2】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明:∠BGC=∠FD1E.
题型二 等角定理
证明:因为F为BB1的中点,所以BF=BB1,
因为G为DD1的中点,所以D1G=DD1.
又BB1∥DD1,BB1=DD1,所以BF∥D1G,BF=D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB,同理D1E∥GC.
又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.
典型例题
名师解惑
关于等角定理的应用
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行;
(2)根据角的两边的方向判定两角相等或互补.
典型例题
【例题3】
如图,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC=AD,BE=AF,G,H分别是FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.
题型三 利用线线平行判断共面
证明:由题意,知FG=GA,FH=HD,
所以GH=AD,又BC=AD,故GH=BC,
所以四边形BCHG是平行四边形.
典型例题
【例题3】
如图,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC=AD,BE=AF,G,H分别是FA,FD的中点.
(2)C,D,E,F四点是否共面?为什么?
题型三 利用线线平行判断共面
解:C,D,F,E四点共面.
理由如下:由BE=AF,G是FA的中点知,有BE=GF,
所以四边形BEFG是平行四边形,所以EF∥BG,
由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EF,CH共面.
又点D在直线FH上, 所以C,D,E,F四点共面.
典型例题
名师解惑
根据两平行直线确定一个平面,可以证明共面问题,
其实质是证明直线平行.
评价反馈
1.空间中两条互相平行的直线指的是( )
A.空间中没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
D
评价反馈
2.如图所示,在三棱锥S -MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( )
A 解析:∵E,F分别是SN和SP的中点,
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN,
∴EF∥HG.故选A.
A
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
评价反馈
3.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )
D 解析:如图可知AB,CD有平行,异面,相交三种情况,故选D.
D
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
评价反馈
4.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为( )
D 解析: 如图,连接CF,C1F1,与棱AB平行的有ED,CF,A1B1,C1F1,E1D1,共有5条,故选D.
D
A.2 B.3 C.4 D.5
评价反馈
5.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l 平面A1B1C1D1,且直线l与直线B1C1不平行,则下列说法可能成立的是( )
BCD 解析:假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与直线l与直线B1C1不平行矛盾,所以直线l与直线AD不平行,故A项不可能成立,易知B、C、D项均可能成立,故选BCD.
BCD
A.l与AD平行
B.l与AD不平行
C.l与AC平行
D.l与BD平行
评价反馈
6.(多选)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则( )
BCD 解析:由题意知PQ=DE,且DE≠MN,所以PQ≠MN,故A不正确;又PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以BCD正确.
BCD
A.PQ=MN
B.PQ∥MN
C.M,N,P,Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
课堂小结
总结归纳
1.回顾本节课学习,关于直线与直线平行,你学到了什么?
课堂小结
总结归纳
2.回顾基本事实4和等角定理的发现和探究过程,总结探究它们的方法是什么
布置作业
1.认真整理本节所讲知识,梳理知识脉络,完成学案的核心素养专练;
2.必做题:教材P135页练习第2、3、4题.
选做题:教材P144页习题8.5第9题.
谢谢大家