第八章 8.6.2直线与平面垂直--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
8.6.2直线与平面垂直
第八章 立体几何初步
数学
一、学习目标
二、课堂探究
三、课堂练习
四、课堂小结
五、课后作业
一、学习目标
（1）理解并掌握直线与平面所成角的定义，直线与平面垂直的定义；
（2）掌握空间中点到平面的距离、直线到平面的距离，平行平面间的距离；
（3）探究并掌握直线与平面的判定定理与性质定理.
【导入新课】在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.
【问题探究1】如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直
二、课堂探究
结论：事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直. 也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直. 对于地面上不过点B的任意一条直线B'C'，总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线B'C'也垂直. 因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直.
二、课堂探究
由此，我们得到直线与平面垂直的定义：
一般地，如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直，记作 l ⊥ α .直线 l 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
二、课堂探究
思考1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
二、课堂探究
二、课堂探究
【问题探究2】如图，准备一块三角形纸片ABC，过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
二、课堂探究
结论：容易发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直（下图）的充要条件是折痕AD 是BC边上的高．这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD，DC都垂直.
事实上，由基本事实的推论2，平面可以看成是由两条相交直线BD，DC所唯一确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与内所有直线都垂直.
由以上探究，我们有如下判定直线与平面垂直的定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
二、课堂探究
【思考2】两条相交直线可以确定一个平面. 两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
结论：不可以，与两条相交直线共线的向量可以表示两者确定的平面内的所有向量，因此可以证明已知直线与该平面内所有直线垂直，由直线与平面垂直的定义，可知已知直线与已知平面垂直，但是两条平行直线达不到上述效果，因此不可以；改成无数条直线也不可以，比如这无数条直线平行时.
二、课堂探究
【思考3】结合异面直线之间的位置关系，直线与平面相交时，除了直线与平面垂直这一关系外，其他情况下应该如何描述直线与平面的位置关系？
结论：如图所示，一条直线 l 与一个平面 α 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面 α 引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
二、课堂探究
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. 直线与平面所成的角θ的取值范围是0° ≤ θ ≤ 90°.
二、课堂探究
【问题探究3】
（1）如图①，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系
（2）如图②，已知直线a，b和平面α. 如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗
由（1）（2），我们能否得到什么结论？能否给出证明？
① ②
二、课堂探究
结论：可以发现，这些直线相互平行. 不失一般性，我们以（2）为例加以证明.
（反证法）如图，假设 b 与 a 不平行，且b ∩ a =O.显然点O不在直线 a 上，所以点O与直线 a 可确定一个平面，在该平面内过点O作直线 b'// a ，则直线 b 与 b'是相交于点O的两条不同直线，所以直线 b 与 b' 可确定平面 β，设α ∩ β= c，则O∈ c.因为 a ⊥α ， b⊥α ，所以 a ⊥ c， b⊥ c.又因为 b'// a ，所以 b'⊥ c. 这样在平面 β内，经过直线 c上同一点O就有两条直线 b ， b'与 c 垂直，显然不可能. 因此 b // a .
二、课堂探究
这样，我们得到了直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
二、课堂探究
【问题探究4】
直线 l 平行于平面 α，那么直线 l 上各点到平面 α 的距离是否相等？请证明你的结论.
结论：直线l上各点到平面α的距离相等.
二、课堂探究
【问题探究4】
证明：过直线 l 上任意两点A，B分别作平面 α 的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1//BB1.
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α= A1B1.
∴l //α，∴ l //A1B1.
. 四边形AA1B1B是矩形.
∴AA1= BB1.
由A，B是直线 l 上任取的两点，可知直线 l 上各点到平面 α 的距离相等.
二、课堂探究
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 由上面探究我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
二、课堂探究
【小试牛刀】
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面， 那么另一条直线也垂直于这个平面.
二、课堂探究
已知：a∥b，a⊥α，求证b⊥α
【小试牛刀】
二、课堂探究
已知:如图,a∥b,a⊥α,求证:b⊥α.
证明 如图,在平面α内取两条相交直线m,n.
因为直线a⊥α,
所以a⊥m,a⊥n.
因为a∥b,所以b⊥m,b⊥n.
又m α,n α,m,n是两条相交直线,
所以b⊥α.
【跟踪训练】
如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.
（1）求证：DE //平面ABC；（2）求证：B1C⊥平面BDE.
证明：（1）设G是CC1的中点，连接EG，DG，
∵E为B1C的中点，∴EG //B1C1，
而BC//B1C1，∴EG // BC，
∵EG 平面ABC，BC 平面ABC，∴EG //平面ABC，
同理可证DG//平面ABC，因为EG，DG 平面DEG，且EG∩DG = G，
∴平面DEG // 平面ABC，而DE 平面DEG ，所以DE //平面ABC；
二、课堂探究
如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.
（1）求证：DE //平面ABC；（2）求证：B1C⊥平面BDE.
（2）设O是BC的中点，连接AO，EO，
∵E为B1C的中点，∴EO //B1B，而AD //B1B，∴EO //AD，
由（1）可知：平面DEG //平面ABC，
平面AOED∩平面DEG = DE，平面AOED∩平面ABC = AO，
∴OA // DE，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，而平面BCC1B1∩平面ABC = BC，
∵ΔABC是正三角形，O是BC的中点，∴AO⊥BC，
如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.
（1）求证：DE //平面ABC；（2）求证：B1C⊥平面BDE.
∴AO⊥平面BCC1B1，
而CB1 平面BCC1B1，∴AO⊥CB1，
而OA // DE，∴ DE⊥CB1，
∵正三棱柱ABC－A1B1C1中棱长都相等，
∴BB1 = BC，而E分别为B1C的中点，
∴ BE⊥CB1，而BE，DE 平面BDE，BE∩DE = E，
∴B1C⊥平面BDE.
【名师解惑】
证明直线与平面垂直的常用方法：
（1）线面垂直的定义；
（2）线面垂直的判定定理；
（3）如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
二、课堂探究
【小试牛刀】
例2 如图， 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
二、课堂探究
解：如图,连接BC1,BC1与B1C相交于点O,连接A1O,设正方体的棱长为a
∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,
∴A1B1⊥平面BCC1B1.
∴A1B1⊥BC1.
又BC1⊥B1C,
∴BC1⊥平面A1DCB1.
【小试牛刀】
例2 如图， 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
所以∠BA1O为直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中,A1B=a，BO=a，
∴BO= A1B
∴∠BA1O=30°.
∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
二、课堂探究
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥CD，AD∥BC，AD = 2BC = 2CD = 4，PC = ，ΔPAD是正三角形.
（1）求证：CD⊥PA；
（2）求AB与平面PCD所成角的余弦值.
二、课堂探究
【跟踪训练】
二、课堂探究
(1)证明 ∵△PAD是正三角形,AD=2CD=4,
∴PD=4,CD=2.
又PC=
∴PC2=PD2+CD2.∴CD⊥PD.
又AD⊥CD,AD∩PD=D,
∴CD⊥平面PAD.
∵PA 平面PAD,
∴CD⊥PA.
如图,取PD的中点E,连接AE,延长DC,AB交于点H,连接EH,
∵△PAD是正三角形,
∴AE⊥PD,AE=
由(1)得CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AE.
∵CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,
∴AE⊥平面PCD.
∴∠AHE就是AB与平面PCD所成的角,
∵AD⊥CD,BC∥AD,AD=2BC=2CD=4,
【跟踪训练】
二、课堂探究
∴DH=4,AH=4 ,EH= =2
∴cos∠AHE== = =
∴AB与平面PCD所成角的余弦值为
【跟踪训练】
二、课堂探究
求斜线与平面所成角的步骤：
（1）作：作出斜线在平面内的射影，方法是过斜线上异于斜足的一点作平面的垂线，斜足与垂足所确定的直线就是斜线在平面内的射影；注意斜线上点的选取尽可能利用已知信息，尽量简化计算．
（2）证：若题目已知中已存在射影，则只需证明即可．
（3）算：在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算出斜线与其射影所成的角，即斜线与平面所成的角．
【跟踪训练】
二、课堂探究
三、课堂练习
A
1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,H是EF的中点.若沿AE,AF,EF把这个正方形折成一个几何体,使B,C,D三点重合于点G,则下列结论中成立的是( )
A.AG⊥平面EFG B.AH⊥平面EFG
C.GF⊥平面AEF D.GH⊥平面AEF
2. 如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形， SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A. AC⊥SB
B. 三棱锥S-BCD的四个面中有3个直角三角形
C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
BD
三、课堂练习
3. 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.
（1）求证：PC⊥平面AEF；
（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.
三、课堂练习
四、课堂小结
（1）线面垂直的概念；
（2）线面垂直的判定定理与性质定理；
（3）直线与平面的夹角的概念及其求法；
（4）直线与平面垂直的判定定理与性质定理的应用.
五、课后作业
必做题：完成学案后的课后巩固.
选做题：完成学案后的核心素养专练
谢谢大家