第八章 8.6.3平面与平面垂直--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
8.6.3　平面与平面垂直第1课时
第八章 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
学习目标
①能说出二面角的定义及理解定义二面角的平面角蕴含的数学思想，理解空间平面与平面垂直的定义.
②探索空间平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并会应用它们解决简单空间图形垂直关系命题的证明.
③结合二面角及其平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理的发现过程,体会定义一个几何对象,研究空间图形位置关系的基本思路和方法,提升学生的直观想象核心素养.
学习重难点
重点：
两个平面互相垂直的定义过程，两个平面互相垂直的判定定理和性质定理的应用．
难点：
二面角定义的理解和两个定理的推导．
导入新课
在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．比如笔记本电脑打开过程中，屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度；打开门（或窗）的过程中，门（或窗）与墙所在的平面相交并形成一定的角度。
导入新课
提出问题：
1.线线垂直与线面垂直的关系？
2.线线角和线面角是如何研究的？
3.观察两个相交平面，如教室门和墙面所在的两个平面，门在开关过程中与墙面的关系有何变化？
导入新课
自学自学教材第155-157页内容,完成下面内容：平面与平面垂直的定义以及判定定理的文字、符号、图形语言表格.
讲授新课
（一）探究、建构二面角及其平面角的概念
问题 1：在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角． 这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
如图，记作：二面角α－l－β或二面角 P－AB－Q 或二面角 P－l－Q
范围 [0, ]
讲授新课
（一）探究、建构二面角及其平面角的概念
问题 2：虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度”并不一样．比如日常生活中，常说“把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态．那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小．这样的平面角该如何建构呢？
讲授新课
（一）探究、建构二面角及其平面角的概念
追问 1：在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，即可构成一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？如果不能，又该如何作图呢？
讲授新课
（一）探究、建构二面角及其平面角的概念
追问 2：以棱上给定的一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的．若在棱上任意选取一点，用这个办法作出的平面角的大小会有所不同吗？为什么？
讲授新课
（一）探究、建构二面角及其平面角的概念
文字语言 在二面角α－ l －β的棱l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分别作
垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫作二面角的平面角
图形语言
符号语言 α∩β＝l，O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB 为二面角α－l－β的平面角
二面角的平面角的概念
讲授新课
（一）探究、建构二面角及其平面角的概念
平面与垂直，记作：
两个平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
二面角平面角是直角直二面角两个平面互相垂直
讲授新课
二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
问题3 有方法判断平面与平面是否垂直吗
讲授新课
二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
追问1 根据我们之前的学习经验，研究判定方法应该是探寻两个平面在具备了什么条件下它们互相垂直的问题，而且是最少条件，从而实现简化的目的，那么有没有判定面面垂直的其他方法呢
师生活动：引导学生观察身边的现象.
(1)在实际生活中，你见过工人师傅怎样判断两个平面垂直吗 如图13,建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理
(2)类似的结论也可以在长方体中发现。如图14,在长方体中,平面经过平面的一条垂线，此时,平面垂直于平面.
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二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
追问2 通过对师生活动(1)(2)的观察，猜想满足什么条件才能使平面与平面垂直
师生活动：通过直观感知，学生猜想得到两个平面垂直的判定定理.
猜想：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
讲授新课
二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
追问3 如图15，如果两个平面与相互垂直，根据定义，二面角的平面角是90°,观察平面角所在的直线，你能发现图中的空间基本图形有怎样的相互关系 能否得到猜想的结论.
师生活动: 在通过直观感知的基础上，引导学生分析,研究判定是探寻两个平面在具备了什么条件下它们互相垂直的问题，这样的条件实际上是从空间基本图形的相互关系来反映的，而从定义出发是关键.由定义发现，直线必垂直平面这一特殊位置关系.
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二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
追问4 猜想正确吗 简单说明理由.
师生活动: 带领学生写出已知条件的符号语言，如果证明,教师引导学生分析,简单说明理由.如图15，目前证明面面垂直的方法只有利用定义，即证明二面角的平面角是直角.已知直线与平面垂直，根据性质定理可得直线与直线垂直，即垂直交线，这样要想得到二面角的平面角只需要在平面内过垂足作交线的垂线即可，此时由直线与平面垂直的性质可知⊥,所以二面角的平面角是直角，即.
平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
强调定理的符号语言: .
这个定理说明,可以通过直线与平面垂直得到平面与平面垂直.
讲授新课
二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
例1　如图所示，在四面体A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：
法一（定义法）　
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
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二、探究、发现平面与平面垂直的判定定理
例1　如图所示，在四面体A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
法二（判定定理法）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
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名师解惑：证明面面垂直常用的方法
名师解惑：证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
讲授新课
三、探究平面与平面垂直的性质定理
问题4 我们要在与地面垂直的墙上装一个书架，根据竖直支架的尺寸，需在墙壁上用细铅笔画一条竖线，决定安装孔的位置，该如何画才能在墙上画一条与地面垂直的直线呢
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三、探究平面与平面垂直的性质定理
追问 1： 为了方便研究，我们把问题4抽象成一个空间立体几何问题来进行研究，可以抽象成什么样的立体几何问题呢
师生活动：学生由直观感知画出和地面垂直的直线，教师引导学生将生活实际问题转化为数学问题进行解决.
活动探究：把地面抽象成平面α，墙壁抽象成平面β，α⊥β且，在平面β上画一条与平面α垂直的直线b.
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三、探究平面与平面垂直的性质定理
追问2：平面β上，还有其他直线与平面α垂直吗
师生活动：学生观察图形并思考教师提出的问题,教师引导学生找出与平面α垂直的关键是:与直线a垂直.
讲授新课
三、探究平面与平面垂直的性质定理
追问3：当时， 是否一定成立
师生活动：学生思考问题,教师引导学生通过推理证明验证结论.
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三、探究平面与平面垂直的性质定理
追问4：你能根据图形写出对应的结论用符号、语言表示出来吗？
教师活动：学生结合图示，尝试给出定理的文字表示和符号表示：α⊥β,α∩β=a，b β,b⊥a,则 b⊥α．教师可让一名学生汇报其成果，注意补充其可能遗漏的条件，并注意结合实例展示某一条件缺失后，结论为什么不成立．在给出符号表示之后，教师再请学生对定理的正确性进行证明．学生动笔证明前，教师可适当给出一些提示，帮助学生思考，比如： “要证直线和平面垂直，一般需先证明什么？” “平面与平面垂直时如何定义的？如何使用平面与平面垂直这一条件？”等．证毕结论，教师指出该定理即为平面与平面垂直的性质定理，该定理和平面与平面垂直的判定定理一道体现了“平面与平面的垂直关系”与“直线与平面的垂直关系”之间的相互转化．
讲授新课
三、探究平面与平面垂直的性质定理
问题 5：设平面α⊥平面β，点 P 在平面α内，过点 P 作平面β的垂线 a，则直线 a 与平面α具有什么位置关系？
讲授新课
三、探究平面与平面垂直的性质定理
追问1：在立体几何中，我们常需过平面外一个点向平面作垂线．这个问题的难点在于确定垂足的位置．问题 5 能给你什么样的启发？
讲授新课
三、探究平面与平面垂直的性质定理
问题 6：平面与平面垂直的性质定理表明，若两平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于别 一个平面。如果交换部分条件与结论，可以探究更多的结论，例如书本例题 9.例 9：已知平面 、β， ⊥β，直线 a 满足直线 a⊥平面β，直线 a 平面 ，试判断直线 a与平面 的位置关系.
解：在α内作垂直于α与β交线的垂线 b
∵α⊥β
∴b⊥β
∵a⊥β
∴a∥b
∵a α
∴a∥α
即直线 a 与平面 平行
讲授新课
三、探究平面与平面垂直的性质定理
例2　如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点.
求证：（1）PE⊥平面ABCD；
证明：因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD.
讲授新课
三、探究平面与平面垂直的性质定理
（2）平面PBE⊥平面ABCD.
证明：由（1）知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
讲授新课
名师解惑
1.面面垂直 线面垂直-线线垂直.
由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个平面内；②直线必须垂直两平面交线.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线.
直线垂直两平面交线
评价反馈
1.如图所示的二面角可记为( )
A . α-β-l B . M-l-N
C . l-M-N D . l-β-α
B
解析：根据二面角的记法规则可知 B 正确．
评价反馈
2.直线 l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
C
解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选 C．
评价反馈
3.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A，B)且 PA＝AC，则二面角 P－BC－A 的大小为( )
A. 0° B．30° C．45° D．15°
C
答案：C
解析：易得 BC⊥平面 PAC，所以∠PCA 是二面角 P－BC－A 的平面角，在 Rt△PAC 中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故选 C.
评价反馈
4.(多选题)已知 l⊥平面α，直线 m 平面β，则下列命题正确的有( )
A．α∥β l⊥m B．α⊥β l∥m
C．l∥m α⊥β D．l⊥m α∥β
AC
答案：AC .
解析：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m β，∴l⊥m，故 A 正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m β，∴α⊥β，故 C 正确．
评价反馈
5.(多选)在四棱锥 P-ABCD 中，已知 PA⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是( )
A.平面 PAB⊥平面 PAD B.平面 PAB⊥平面 PBC
C.平面 PBC⊥平面 PCD D.平面 PCD⊥平面 PAD
ABD
答案：ABD
解析：选 ABD 由面面垂直的判定定理知，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PCD⊥平面 PAD，故 A、B、D 正确．
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6.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点.
求证：（1）PA⊥平面ABCD；
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD.
评价反馈
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点.
（3）平面BEF⊥平面PCD.
证明：由（2）知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD，
所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
课堂小结
总结归纳
本节课我们学了那些知识和思想方法
本节课继续完成课前的空间垂直关系转化图，体会转化和化归的思想.如图：
布置作业
1.认真整理本节所讲知识,梳理知识脉络,完成学案的核心素养专练;
2.必做题：教科书P161练习1,2,3,4题.
选做题：教科书P163习题13,14题.
谢谢大家