第九章 9.2.2总体百分位数的估计--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
9.2.2　
总体百分位数的估计
第九章 统计
数学
学习目标
①理解百分位数的概念，提升数据分析素养.
②掌握求一组数据的百分位数的基本步骤，能够正确求解第p百分位数，体会样本估计总体的统计思想，提高分析问题和解决问题的能力.
③体会百分位数在实际生活中的应用，能用数学知识解决实际问题.
学习重难点
重点：
理解百分位数的概念，会用样本估计百分位数．
难点：
理解百分位数的统计意义和统计图表中百分位数的计算方法.
课堂导入
我国是世界上严重缺水的国家之一，某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定居民用户月均用水量标准，用水量超过标准的部分按议价收费，不超过的部分按平价收费.如何确定一个比较合理的标准，使大部分居民用户的水费支出不受影响？你认为需要做哪些工作？
一、新课导入
问题1
抽样调查
样本估计总体
对用水量标准进行评估
课堂
问题2 如果该市政府希望80％的居民用户生活用水支出不受调价影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定用水量标准的建议吗？
追问1：如何理解使80％的居民用户生活用水支出不受影响？
就是要寻找一个数a，使居民用户月均用水量中不超过a的占80％，超过a的占20％．
数a将这组数据划分为两个部分，处于某一位置，代表这组数据的某个位置参数.中位数：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数.
追问2：寻找的这个数a，反映这组数据的什么特征？在我们以往的学习过程中遇到过类似的问题吗？
课堂探究
探究一、第p百分位数的概念
二、新课讲授
问题3
请同学们根据表中100户居民的月均用水量，计算样本数据的中位数.
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0
2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5
2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9
2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0
22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9
5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7
5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8
7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
6.8
课堂探究
问题4
中位数又称第50百分位数，或者50％分位数，如何理解这里的50％，你能给第50百分位数下一个定义吗？
数据中有50％的数小于或等于6.8，也有50％的数大于或等于6.8．
课堂探究
追问1：一组数据的中位数（第50百分位数或50％分位数）是a，那么是否说明这组数据中恰有50％的数据小于或等于a，恰有50％的数据大于或等于a？小组合作，举例说明.
课堂探究
新知讲授对
追问2：进一步，你能归纳第p百分位数的定义吗？
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p％的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）％的数据大于或等于这个值．
问题5
100个样本数据的第80百分位数怎么找？类比中位数的求解过程.
将100个样本数据从小到大排序，取第80个和第81个数据的平均数为第80百分位数．
课堂探究
探究二、求n个数据的第p百分位数的步骤
追问1：若这组数据共99个，则这组数据第80百分位数怎么求呢？
将99个样本数据从小到大排序 ，第80个数据为第80百分位数．
课堂探究
新知讲授对
追问2：你会计算一组n个数据的第p百分位数吗？
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第一步，按从小到大排列原始数据.
第二步，计算i=n p%.
第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p 百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
课堂探究
第80百分位数：20 × 80％＝16，取第16项与第17项数据的平均数．
第25百分位数：20×25%=5,，取第5项和第6项数据的平均数．
第99百分位数： 20 × 99％＝19.8，取第20项数据．
三、实例应用
例题1 对从前面100个样本数据中随机抽取20个数，求这组数据的第80、25、99百分位数．（四人小组合作）.
课堂探究
三、实例应用
追问1：如果是求这一组数据的第100百分位数呢？
追问2：大家计算出来的第80百分位数与前面计算出来13.7有偏差，这是什么原因呢？
样本选取不一样，所以产生差异.
第100百分位数20×100％＝20，取第20项数据．所以一组数据不同的百分位数也有可能是相同的值．
课堂探究
新知讲授对
四分位数
常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第50百分位数即中位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．
另外，像第1百分位数、第5百分位数、第95百分位数和第99百分位数这些特殊位置的刻画在统计中也经常使用．
问题6
在某些情况下我们无法获知原始的样本数据，而是整理好的图表．这时该如何估计样本的百分位数？根据下列图表，讨论估计月均用水量的样本数据的80％分位数的方法.
课堂探究
探究三、利用分组数据求第p百分位数的方法
解：根据频率分布表，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为77％，在16.2 t以下的居民用户所占的比例为86％．因此，80％分位数一定位于［13.2,16.2）内．由可以估计月均用水量的样本数据的80％分位数约为14.2．
课堂探究
归纳总结
利用分组数据求第p百分位数的步骤
1.计算每个小组的频率.
2.找到累计频率p所在区间，按比例计算出不足部分频率所对应的区间长度.
3.得到第p百分位数.
课堂探究
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0
162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0
155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0．
请估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数.
【例1】以下是树人中学高一年级抽取的27名女生的样本数据：
解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.
课堂探究
通性通法
总体百分位数估计需要注意的两个问题
（1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
（2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.
课堂探究
【例2】 某年级举办了一场百米测试，该年级120名学生在此次测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，求成绩的第70百分位数.
解：设成绩的第70百分位数为x，因为=0.55，=0.85，所以x ∈[16，17)，则由0.55+(x -16)×=0.70，得x=16.5，故成绩的第70百分位数约为16.5.
课堂探究
通性通法
由频率分布直方图求百分位数的思路
（1）频率分布直方图中p%分位数表示左侧小矩形的面积之和等于p%的分界值；
（2）由频率分布直方图求百分位数的方法与由频率分布表求百分位数的方法相同；
（3）根据一组数据的直方图来估计这组数据的p%分位数时，直方图的分组越多，组距越小，样本数据的信息损失越少，估计效果越好.
评价反馈
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数.（　　）
（2）第0百分位数为这组数据中的最小的数，第100百分位数为这组数据中的最大的数.（　　）
（3）一组数据的某些百分位数可能是同一个数.（　　）
2.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（　　）
A.3 B.4 C.3.5 D.4.5
解析：将这组数从小到大排列为1，2，3，3，4，5，由6×75%＝4.5，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数4.故选B
√
√
√
B　
3.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是（　　）
A.90 B.90.5 C.91 D.91.5
评价反馈
解析：把成绩按从小到大的顺序排列：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98.因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5.
B
评价反馈
4. 已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：甲组：27，28，39，40，m，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的30%分位数、80%分位数分别相等，则＝（　　）
A. B. C. D.
解析：因为30%×6＝1.8，大于1.8的比邻整数为2，所以30%分位数为n＝28，80%×6＝4.8，大于4.8的比邻整数为5，所以80%分位数为m＝48，所以＝＝.故选A.
A
评价反馈
解析：第一组的频率为0.010×10＝0.1，前两组的频率之和为（0.010＋0.020）×10＝0.3，知25%分位数在第二组[60，70）内，故25%分位数为60＋10×＝67.5.故选C.
5. 根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图如图所示，则由直方图得到的25%分位数为（　　）
A.66.5　 B.67 C.67.5 D.68
C
评价反馈
6.某校高一年级共有1 000名学生参加物理测试，若所有学生成绩（单位：分）的第80百分位数是75，则物理成绩大于或等于75分的学生数至少有（　　）
A.200 B.220 C.240 D.260
解析：由1 000×80%＝800，所以小于75分的学生最多有800人，所以大于或等于75分的学生至少有200人.故选A.
A
评价反馈
7.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），···，[80，90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计总体400名学生中分数小于70的人数；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（3）根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线.
评价反馈
解：（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
所以总体400名学生中分数小于70的人数约为400×0.4＝160.
（3）由（2）可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以分数的第15百分位数在50，60）内，由50＋10×＝55，则本次考试的及格分数线为55分.
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9，
分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5.
所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×＝20.
课堂小结
通过本节课学习，你收获了哪些新知识与技能？通过什么方法学到的？体会到了什么数学思想？
布置作业
必做题：课本204页练习1,2题，
选做题：课本225页第9题.
探究题：查找有关于本节内容的相关资料，并选择一例进行统计分析，体会统计的意义．（如：新高考选科赋分制、电影评分、以及制作家具时参考的身高的第p百分位数.）
谢谢大家