第九章 9.2.3总体集中趋势的估计--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
9.2.3总体集中趋势的估计
第九章 统计
数学
学习目标
1.通过实例，理解集中趋势参数的统计含义，能用样本估计总体的集中趋势参数（众数、中位数、平均数），培养直观想象素养.
2.通过典型例题，能正确求解样本数据的众数、中位数、平均数.
3.通过对平均数、中位数、众数的学习，提升数学抽象、数学运算的核心素养.
学习重难点
重点：
1.求样本数据的众数、中位数、平均数．
2. 利用样本的集中趋势估计总体的集中趋势.
难点：
1. 对于不同数据类型正确选择描述总体集中趋势的统计量.
2. 利用频率直方图估计总体的集中趋势.
3. 对数据陷阱的理解．
课堂导入
在初中，我们已对平均数、中位数、众数有一定的学习，请大家先看三个实例，并将三个特征量填在合适的位置上.
一、创设情境，复习导入
问题1
a.某服装专业学生需设计一款均码的女装，应该关心女性人群服装尺码的 .
b.商场销售部门给营业员制定销售指标，需至少有一半人能完成任务，需要参考以往营业员销售额的 .
c.跳水比赛中，选手更关心成绩的 .
众数
中位数
平均数
课堂导入
一、创设情境，复习导入
问题2：平均数、中位数、众数，这三个特征量它们有什么共同点？
它们从不同角度刻画了总体的“中心位置”，平均数从数值中心的角度进行总体集中趋势的估计，而中位数、众数则是从位置中心的角度进行总体集中趋势的估计.
课堂
任务一 请用结构图梳理数据集中趋势的知识内容
课堂探究
二、探究新知
课堂
任务二 探究平均数和中位数的联系与区别
课堂探究
探究：利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，
（1）请同学们计算这组数据的平均数和中位数.
（2）假设有2 000户居民用户，你能估计该小区的月均用水总量吗？
（3）小明用统计软件计算了这100 户居民月用水量的平均数和中位数，但录入数据时把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量变化更大？请说明理由.
课堂探究
解：（1）由样本平均数的定义，可得 ，即户居民的月均用水量的平均数为．
将样本数据按从小到大排序，得第个数和第个数均为，由中位数的定义，可得户居民的月均用水量的中位数是．
100户居民用户的月均用水量数据(单位:t) 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0
2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5
2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9
2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0
22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9
5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7
5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8
7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
（3）通过计算可以发现,平均数由原来的8.79 t变为9.483 t,中位数没有变化,还是6.8 t.这是因为样本平均数与每一个样本数据有关,样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变;但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值,并未利用其他数据,所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.
课堂探究
总结：
与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感.
（2）假设有2 000户，该小区月均用水总量为.
课堂探究
思考：平均数和中位数都描述了数据的集中趁势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系
(1)平均数和中位数应该大体上差不多；（对称）
(2)平均数大于中位数；（右边“拖尾”)
(3)平均数小于中位数.（左边“拖尾”)
总结：
在直方图中，平均数总在“长尾巴”那边.
课堂
任务三 探究众数
课堂探究
探究：某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示.
（1）如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适
（2）试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
解：（1）为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图表示表中的数据(如右图).可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.
课堂探究
总结：
一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以用众数.
（2）由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
课堂
任务四 探究利用频率分布直方图估计数据的集中趋势
课堂探究
说一说：我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图.
是否可以估计样本的平均数、中位数和众数
可以估算，在频率分布直方图中,我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布,这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.
思考
你能以下图中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？（小组交流）
众数：最高矩形的中点横坐标.
课堂探究
中位数：左边和右边的直方图的面积应该相等.
样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 近似代替.
解：平均数的近似值
为
这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大.
由于，因此中位数落在区间内；
设中位数为，由,
得到因此，中位数约为6.71,这个结果与根据原始数据求得的中位数6.8很接近.
平均数为8.96大于中位数6.71，符合右边“拖尾”的特点，即平均数大于中位数.
在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值.
课堂探究
课堂探究
各抒己见 假设你到人力市场去找工作,有一个企业老板告诉你,“我们企业员工的年平均收入是20万元”，你该如何理解这句话
以下方甲、乙两家10人公司为例，观察两组数据，你发现了什么？
员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年收入/万元 20 21 19 23 21 20 16 20 22 18
甲公司员工年平均收入情况表
乙公司员工年平均收入情况表
员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年收入/万元 5 10 120 7 8 15 10 15 5 5
课堂探究
归纳总结
对平均数、中位数、众数做比较
课堂
课堂探究
三、应用举例
【例1】根据如图所示的频率分布直方图求出样本数据的众数、中位数和平均数.
解：在中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似 值，得众数约为125.5.
中位数左边和右边的直方图的面积相等，设中位数为x，
则由图可知x，则
解得，即中位数约为125.75.
使用组中值求平均数，
即平均数约为125.8.
课堂
课堂探究
三、应用举例
【例2】据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
（1） 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数（精确到1）；
（2） 假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少（精确到整数）
（3） 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平 结合此问题谈一谈你的看法．
解：（1）平均数是（元）.
中位数是4 000元，众数是4 000元.
（2） 平均数是（元）.
中位数是4 000元，众数是4 000元.
（3） 在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能准确反映这个公司员工的工资水平.
课堂探究
归纳新知
众数、中位数、平均数的应用特点
（1）平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大．
（2）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受极端值的影响，当一组数据中存在极端值时，可用中位数描述这组数据的集中趋势．
（3）众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
课堂探究
评价反馈
1.一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
14，14 B. 12，14
C. 14， D. 12，
解析：把这组数据按从小到大排列为10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.
A
评价反馈
解析：众数是指出现次数最多的数据，所以，将这组数据按从小到大的顺序排列：，6，6，8，12，中位数是指处于中间位置的数，即为6，平均数为
.故选.
2．（多选）已知一组数据为，6，8，，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（ ）
数据的中位数是6 B. 数据的平均数是6
C. D.
评价反馈
解析：最高分为94，若8为最低分，则平均分为，故最低分为88.设看不见的个位数为，则去掉最高分94和最低分88，平均分为，解得，故该数为89.
89
3.在一次比赛上，9位评委给参赛选手甲打出的分数为88，89，8●，93，92，91，92，91，94.去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，参赛选手复查时，发现有一个数的个位数字无法看清.若成绩计算无误，则该数为 .
评价反馈
4.（多选）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数
B.甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数
C.甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数
D.甲运动员测试成绩的第90百分位数等于乙运动员测试成绩的第90百分位数
AD
解析：　
甲运动员测试成绩：3次7环，8次8环，5次9环，4次10环.所以中位数为8，众数为8，平均数为＝8.5，第90百分位数为10.
乙运动员测试成绩：4次7环，7次8环，4次9环，5次10环.所以中位数为8，众数为8，平均数为＝8.5，第90百分位数为10.故选AD.
评价反馈
解析：设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是4，因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，若x≤4，则中位数为4，此时＋4＝2×4，解得x＝－9；若4＜x＜7，则中位数为x，此时＋4＝2x，解得x＝5；若x≥7，则中位数为7，此时＋4＝2×7，解得x＝33.综上可知，丢失数据的所有可能的取值为－9，5，33，其构成的集合为{－9，5，33}.
评价反馈
5.（2024·绍兴月考）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，7，4，8，10，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值组成的集合为 .
{－9，5，33}
评价反馈
6.某校高一年级举行了一次数学竞赛，为了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n），按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]内的频数分别为8，2.
（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x，y 的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.
评价反馈
解：（1）由题意可知，样本容量n＝＝50，
y＝＝0.004，
x＝0.1－0.016－0.040－0.010－0.004＝0.030.
（2）由题中频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数约为75.
设中位数为m，
∵（0.016＋0.030）×10＜0.5＜（0.016＋0.030＋0.040）×10，则m∈[70，80），
∴（0.016＋0.030）×10＋（m－70）×0.040＝0.5，
解得m＝71，即本次竞赛学生成绩的中位数约为71.
本次竞赛学生成绩的平均数约为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1＋95×0.04＝70.6.
课堂小结
通过本节课学习，你收获了哪些新知识与技能？通过什么方法学到的？体会到了什么数学思想？
1.已学习：众数、中位数、平均数的计算及总体集中趋势的估计.
2.须贯通：众数、中位数、平均数是真实数据的估计值，描述了真实数据的集 中趋势，在频率分布直方图中求这些数字特征时应用了数形结合的思想.
3.应注意：（1）一组数据的众数可能有一个、多个或不存在；
（2）求中位数时，应先将数据从小到大或从大到小排列.
布置作业
认真整理本节所讲知识,梳理知识脉络,完成学案的核心素养专练;
必做题：课本209页练习3、课本217页习题第9题.
选做题：课本225页复习参考题第11题
谢谢大家