第九章 9.2.4总体离散程度的估计--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第九章 统计
数学
9.2.4总体离散程度的估计
学习目标
①能准确回忆初中阶段极差、方差计算公式,进一步掌握高中阶段方差、标准差的计算公式,并理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义.
②能准确求解极差、方差、标准差,并会用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较、分析和评价,提升数学运算、逻辑推理素养.
③掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法,体会样本估计总体的思想,发展数据分析素养.
学习重难点
重点:
1.极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义的理解和计算.
2.应用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行分析.
难点:
已知每组数据个数、平均数和方差,将各组数据合并后，计算全部数据的方差,及体会计算中的递推思想.
课堂导入
假设你是一名质量控制分析师,工作于一个生产陶瓷餐具的公司.公司最近推出了一款新的餐盘系列,并希望确保它们在生产过程中的尺寸保持一致性,因为每个餐盘直径越接近,则餐盘的整体美观和功能性更好,你被要求分析餐盘直径的数据集,并确定生产过程是否一致.那么,如何刻画餐盘直径的离散程度呢
一、创设情境
课堂
任务一 回忆和巩固方差的概念和统计意义.
课堂探究
二、探究新知
例:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
问题1:如果你是教练,你如何对两位运动员的射击情况作出评价 如果这是一次选拔性考核,你应当如何作出选择
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 众数
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7 7 7
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 7 7 7
思考:还可以用什么方法
课堂探究
1.方差的定义:假设一组数据是,,,,用表示这组数据的平均数,我们称
为这组数据的方差.因为
方差
方差刻画了数据的离散程度或波动程度,
方差越大,数据的离散程度越大;
方差越小,数据的离散程度越小.
所以有时为了计算方差方便,也用上述表达式计算方差.
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 众数
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7 7 7
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 7 7 7
问题2:两名运动员射靶环数的方差分别是多少 为什么可以运用方差分析两个运动员的射击成绩
根据方差公式计算得,.2,由可知,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小,说明乙比甲的射击成绩稳定.两个运动员的平均成绩一样,比较他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置,如果两人都排在前面,越稳定越好,可以选择成绩稳定的乙;如果两人的成绩排在后面,希望比赛时有突出表现,可以选择成绩方差大的甲.
课堂探究
课堂
任务二 探究其他刻画一组数据的离散程度的统计量..
课堂探究
问题3:除了方差,你还能想到其他刻画一组数据的离散程度的统计量
(1)极差.极差是数据的最大值与最小值的差,即,可以反映数据的波动范围.在一定程度上,极差越大,数据的离散程度越大;极差越小,数据的离散程度越小.
(2)平均偏差.平均偏差是每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数,假设一组数据是,,,,用表示这组数据的平均数.即
为这组数据的平均偏差.
课堂
任务三 探究标准差的概念和统计意义.
课堂探究
问题4:任务1中计算的两名运动员的方差,其单位是什么 是否与原始数据的单位一致呢 如果不一致,又可以用什么来刻画一组数据的离散程度呢
课堂
标准差
课堂探究
1.方差的算术平方根,即，
我们称之为这组数据的标准差,来刻画一组数据的离散程度.
标准差刻画了数据的离散程度或波动程度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.
2.如果总体中所有个体的变量值分别为,,,,总体平均数为,则称
为总体方差, 为总体标准差.
3.与总体均值类似,总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的个变量值中,不同的值共有()个,不妨记为,,,,其中出现的频数为(,,,),则总体方差为.
课堂探究
追问:
方差和标准差的取值范围是什么 如果方差和标准差为0,这组数据有什么特征
方差和标准差的取值范围为.
标准差和方差为0时,样本各数据全相等,都等于样本的平均数,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.
课堂探究
课堂
任务四 探究分层随机抽样样本方差的计算,并估计总体的方差.
课堂探究
在实际问题中,如果能获得总体中所有个体的观测值,可以用方差的公式直接计算总体的方差.比如,要了解某中学教师年工资差别,可以直接从学校财务出获得所有教师的年工资收入数据,计算其方差即可判断.如果要了解某市中学生教师年工资的差别,获取所有教师的年工资数据就比较困难,可以用简单随机抽样或分层随机抽样方法抽取样本,取到样本中所有个体的年工资数据,然后计算其方差,该方差是样本的方差,利用样本估计总体的思想,可以用样本方差估计总体方差.
问题5:在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,样本的平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,样本的平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出样本的方差吗 并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗
把男生样本记为,,,,其平均数记为,方差记为;把女生样本记为,,,,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为.


由,可得.
课堂探究
同理可得.因此,
由,,根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系,可得总样本平均数为.
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入,可得.
我们可以计算出总样本的方差为,并据此估计高一年级学生身高的总体方差为.
课堂探究
追问:比较总体样本方差与男生组及女生组的方差,你能发现什么 你能解释在估计全体学生平均身高时,按性别分层随机抽样的理由吗
总样本方差既大于男生组的方差,也大于女生组的方差,
相同样本量的条件下,总样本方差越小,样本均值估计总体均值效果越好.男、女生的均值相差越大,即两组差别越大,总样本方差比男、女生的方差均大得越多,分层随机抽样的效果越好.
课堂探究
问题6:一般地,如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差,如何计算全部数据的平均数和方差呢
一般地,如果已知第一组数据的个数是,平均数和方差分别是和,第二组数据的个数是,平均数和方差分别是和,那么,总样本平均数
，
总样本方差为
.
如果两组数据的平均数相等,那么总样本均值与两组数据的均值相同,总样本方差计算公式中的和都等于0,总样本方差是两组方差的加权平均数,即,不会同时大于每组的方差.
课堂探究
课堂
拓展:平均数反映数据的集中趋势,标准差刻画了数据离平均数的波动大小,那么将平均数和标准差综合在一起,你能发现什么规律
课堂探究
如:课本9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据,可以计算出样本平均数,样本标准差.则,,,.
如图可以发现,这100个数据中大部分落在区间=内,在区间=外的只有7个,也就是说,绝大部分的数据落在内.
通过平均数和标准差两个统计量,就可以得到大部分数据的取值范围.方差越大,则这个区间越大;方差越小,则这个区间也越小.
课堂
课堂探究
三、应用举例
【例1】小明与小红同学的五次数学成绩如下:
姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
小明
小红
则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为( )
A. B. C. D.
解析 观察两组数据可知,小明的成绩较稳定,小明成绩的平均数,小明成绩的方差.故选.
课堂
课堂探究
三、应用举例
【跟踪训练1】现有10个数,其平均数为3,且这10个数的平方和是100,那么这组数据的标准差是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由＝－,得＝×100－32＝1,∴s＝1.
A
课堂
课堂探究
三、应用举例
【例2】
解析 组有个数据,平均数为,方差为,组有个数据,平均数为,方差为,
则两组数据混合后,新数据的平均数,
新数据的方差,
故答案为.
现有A,B两组数据,其中A组有4个数据,平均数为2,方差为6,B组有6个数据,平均数为7,方差为1.若将这两组数据混合成一组,则新的一组数据的方差为 .
课堂探究
【例3】
CD
有一组样本数据x1,x2,···,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,···,yn,其中yi =xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( )
A.两组样本数据的平均数相同 B.两组样本数据的中位数相同
C.两组样本数据的标准差相同 D.两组样本数据的极差相同
解析 对于错;对于B,设第一组中位数为,则第二组中位数为B错;对于C第一组标准差,第二组标准差, C正确对于,设第一组中最大值为,最小值为极差,则第二组中最大值为,最小值为极差,D正确.故选CD.
反思感悟
课堂探究
设一组样本数据,,,,其方差为,标准差为.
①由这组数据得到新样本数据,,,,其中为非零常数,则该组数据的方差也为,标准差也为,极差为.
②由这组数据得到新样本数据,,,,其中为非零常数,则该组数据的方差为,标准差为,极差为.
③由这组数据得到新样本数据,,,,,其中均为非零常数,则该组数据的方差为,标准差为,极差为.
课堂探究
【例4】
解析 A中,平均数为,标准差为,同理可得B中,平均数为,标准差为,C中,平均数为,标准差为,D中,平均数为,标准差为,故选B.
B
在一组样本数据中,出现的频率分别为,且,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )
A., B.,
C., D.,
评价反馈
解析 数据x1,x2,···,x9的方差s2 ＝2,则数据2x1,2x2,···,2x9的方差为22 s2 ＝8.故选D.
解析 ∵＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3,∴s＝＝.
1.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为(　　)
A.1　　　　B. 　　　C.　　　　D.2
2.若数据x1,x2,···,x9的方差为2,则数据2x1,2x2,···,2x9的方差为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
B
D
评价反馈
解析 对于A,由折线图可知,甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩,A正确;对于B,由折线图可知,甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定,所以＜,B错误;对于C,由折线图可知,甲成绩的极差小于乙成绩的极差,C正确;对于D,甲成绩比乙成绩稳定,D正确.
3.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计如图,则下列说法错误的是(　　)
A.若甲、乙两组数据的平均数分别为,,则＞
B.若甲、乙两组数据的方差分别为,,则＞
C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D.甲成绩比乙成绩稳定
B
评价反馈
4.甲、乙、丙三人投掷飞镖,他们的成绩(环数)的频数条形统计图如图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差,,的大小关系是(　　)
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜＜
解析 方差表示数据稳定程度,方差越小越稳定,丙的成绩集中在6环,乙的成绩平均分散,甲的成绩分散在两边,所以丙的方差最小,成绩最稳定;甲的方差最大,成绩最不稳定, 所以＜＜.
A　
评价反馈
5.(多选)春节7天假期期间,高速公路免费通行. 某部门统计的甲、乙两个收费站在第n天的通行车辆数量统计图如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数
B.甲收费站通行车辆数的极差大于乙收费站通行车辆数的极差
C.甲收费站通行车辆数的中位数大于乙收费站通行车辆数的中位数
D.甲收费站通行车辆数的方差大于乙收费站通行车辆数的方差
AB
解析 对于A,甲收费站的平均通行车辆≈1 371,乙收费站的平均通行车辆数为≈1 343,故甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数,故A正确;对于B,甲收费站通行车辆数的极差为2 000－800＝1 200,乙收费站通行车辆数的极差为1 800－800＝1 000,故B正确;对于C,甲收费站通行车辆数为800,1 200,1 200,1 200,1 600,1 600,2 000,中位数为1 200,乙收费站通行车辆数为800,800,1 200,1 600,1 600,1 600,1 800,中位数为1 600,故C错误;对于D,通过方差公式计算甲、乙收费站通行车辆数的方差,可以判断甲收费站通行车辆数的方差小于乙收费站通行车辆数的方差,故D错误.
评价反馈
评价反馈
6.甲、乙两支田径队的体检结果为:甲队体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队体重的平均数为70 kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少
解 由题意可知＝60,甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝,＝70,乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝,则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝w甲＋w乙＝×60＋×70＝68(kg),甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝w甲[＋(－)2]＋w乙[＋(－)2]＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
课堂小结
通过本节课学习,你收获了哪些新知识与技能 通过什么方法学到的 体会到了什么数学思想
课堂小结
布置作业
梳理本章知识脉络,完成知识框架图
必做题:课本215页练习2,4,5 题
选做题:课本217页习题7,8 题
谢谢大家