第六章 6.2.3向量的数乘运算--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
6.2.3向量的数乘运算
第六章 平面向量及其应用
数学
学习目标
①掌握向量数乘的定义以及向量数乘的三条运算律,会利用向量数乘的运算律进行有关的计算.
②理解两个向量共线的充要条件,能根据条件判断两个向量是否共线.
③通过对向量的数乘的学习,学生提升观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想.
学习重难点
重点：
向量数乘的定义、运算律,向量共线定理.
难点：
理解向量数乘的定义,向量共线定理.
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，连首尾
特点:同一起点,对角线
A
O
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
温故
B
课堂导入
a
a
a
A
B
C
O
-a
-a
-a
P
Q
M
N
课堂探究
1.向量的数乘运算的定义：
由（1）（2）可知，
课堂探究
=
探究:实数与向量积的运算律
课堂探究
探究:实数与向量积的运算律
课堂探究
探究：实数与向量积的运算律
=
课堂探究
2.实数与向量积的运算律：
结合律
分配律
分配律
课堂探究
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的
结果仍为向量。
对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有
课堂探究
例1.计算：
注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算.
课堂探究
A
B
C
M
D
课堂探究
探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间
的位置关系吗？
课堂探究
向量共线定理
思考:1) 为什么要是非零向量
2) 可以是零向量吗
（重点）
向量 与 共线的充要条件是：存在有唯一一个实数 ，使
可以
课堂探究
课堂探究
题型一　向量的线性运算
例1　化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)].
解 (1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式=(4a+16b-16a+8b)
=(-12a+24b)
=-2a+4b.
解题技巧:(向量线性运算的方法)
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
课堂探究
跟踪训练1
(1)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求+(2b-a);
(2)已知a与b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
解 (1)原式=a-b-a+b+2b-a
=a+b
=-a+b
=-(3i+2j)+(2i-j)
=-i-5j.
课堂探究
(2)联立方程组
解得
课堂探究
解 =-a+b+c.
∵,
又=-=-,
∴a-b-c.
解题技巧:(用已知向量表示未知向量)
用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.
课堂探究
解 根据三角形中位线定理可知DE平行且等于BC,
故,即a.
=-a+b+a=-a+b.
=-a-b+a=a-b.
题型三　向量共线定理的应用
例3　已知向量e1,e2不共线.
(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线;
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
课堂探究
(1)证明 ∵=e1+e2,
=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2),
∴=5.
∴共线,且有公共点B.
∴A,B,D三点共线.
(2)解 ∵ke1+e2和e1+ke2共线,e1+ke2≠0,
∴存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),
即(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1与e2不共线,
∴解得k=±1.
课堂探究
解题技巧:(用向量共线定理证明两条直线平行或重合的思路)
(1)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线无公共点,则这两条直线平行;
(2)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线重合.例如,若向量=λ,则共线,又有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
跟踪训练3
(1)已知e1,e2是两个不共线的向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求证:A,B,D三点共线.
(2)已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值.
课堂探究
(1)证明 ∵=e1+3e2,=2e1-e2,
∴=e1-4e2.
∵=2e1-8e2=2(e1-4e2),
∴=2,
∴A,B,D三点共线.
(2)解 由于A,B,P三点共线,所以向量在同一直线上,由向量共线定理可知,必定存在实数λ使=λ,
即=λ(),
所以=(1-λ)+λ,
故x=1-λ,y=λ,即x+y=1.
证明（判断）A、B、C三点共线的方法:
AB=λBC 　　
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
A
B
C
课堂探究
达标检测
一、1.数乘向量的定义及运算律
2.向量共线定理
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
课堂小结
总结归纳
布置作业
必做题：教材第16页练习,23页习题6.2的8,9,13,14,15题.
选做题：素质专项训练
谢谢大家