第六章 6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
6.4.3 余弦定理、 正弦定理 第2课时 正弦定理
第六章 平面向量及其应用
数学
学习目标
①掌握正弦定理及其变形，能借助向量的运算探究正弦定理的证明过程.
②掌握三角形面积公式及其应用，能应用正弦定理解决相关问题，并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.
③通过对实际问题的分析，建立相应的数学模型，提升分析问题、解决问题的能力，加强运算能力的训练和提升数学建模素养.
学习重难点
重点：
正弦定理的内容、证明过程及基本运用.
难点：
正弦定理的探索及证明.
阅读课本45-48页，思考并完成以下问题：
1、直角三角形中的边角关系是怎样的？
2、什么是正弦定理？
3、正弦定理可进行怎样的变形？
4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？
自主预习
课堂导入
课堂探究
3.利用正弦定理解三角形
(1)已知三角形的两角和一边,求其他两边和一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他两角和一边.
课堂探究
【典例分析】
题型一 已知两角及一边解三角形
例1　在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B.
课堂探究
课堂探究
解题技巧:(已知两角及一边解三角形的基本方法)
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三条边;
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
课堂探究
A
课堂探究
题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中,已知A=45°,c=,a=2,求b,B,C.
解 ∵,∴sin C=,
∴C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,
∴b=+1;
当C=120°时,B=15°,
∴b=
=-1.
综上,b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
解题技巧:(已知两边及其中一边的对角解三角形的方法)
(1)首先由正弦定理求出另一边的对角的正弦值;
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角;
(3)如果已知的角为小边所对的角时,由正弦值可求两个角,要分类讨论.
课堂探究
跟踪训练2
(1)在△ABC中,若B=45°,b=,a=1,则A=　　　　　.
(2)在△ABC中,已知a=1,b=,A=30°,求c的值.
课堂探究
(1)答案 30°
解析 由题意及正弦定理可得,
解得sin A=,所以A=30°或A=150°.
又因为b>a,所以B>A,所以A=30°.
(2)解 由,得sin B=,
则B=60°或B=120°.
①当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°,
此时c==2;
②当B=120°时,C=180°-120°-30°=30°,
此时c=a=1.
综上,c的值为1或2.
30°
题型三　正弦定理在边角互化中的应用
课堂探究
例3　(1)在△ABC中,若b+c=1,C=45°,B=30°,则b=　　　　　.
(2)在△ABC中,,试判断△ABC的形状.
(1)答案 -1
解析 因为,
所以,
所以b=·sin B=-1.
(2)解 根据正弦定理,得,整理,得.
∵A,B,C∈(0,π),∴A=B=C,
∴△ABC为等边三角形.
-1
解题技巧:(正弦定理在边角互化中的应用技巧)
利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理,是正弦定理的一种重要作用,也是处理三角形问题的一种重要手段.正弦定理的变形有多种形式,要根据题目选择合适的形式使用.在判断三角形形状时:
(1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(因式分解、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状.利用的公式为sin A=,sin B=,sin C=（R为△ABC外接圆的半径）.
(2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC （R为△ABC外接圆的半径）.
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跟踪训练3
(1)在△ABC中,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=(　　)
A.1 B. C.-1 D.-
(2)在△ABC中,acos=bcos,试判断△ABC的形状.
(1)答案 A
解析 由题意及正弦定理可得sinAcosA=sin2B,
即sin Acos A=1-cos2B,所以sinAcosA+cos2B=1.
课堂探究
A
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题型四　三角形面积公式的应用
例4　在△ABC中,已知B=30°,AB=2,AC=2,求△ABC的面积.
解 由题意及正弦定理可得sin C=,
则C=60°或C=120°.
当C=60°时,A=90°,此时S△ABC=AB×AC=2;
当C=120°时,A=30°,此时S△ABC=AB×ACsin A=.
综上,△ABC的面积为2.
课堂探究
解题技巧:(三角形的面积公式的应用技巧)
(1)求三角形的面积时,应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法,这样不仅能减少一些不必要的计算步骤,还能使计算结果更加接近真实值.
(2)在众多公式中,最常用的公式是S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B,即给出三角形的两边和夹角求三角形的面积;反过来,给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角.
课堂探究
跟踪训练4
(1)若△ABC的面积为,且b=2,c=,则A的大小为(　　)
A.60°或120° B.60°
C.120° D.30°或150°
(2)在钝角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,A=30°,c=,则△ABC的面积为　　　　　.
课堂探究
A
答案 (1)A　(2)
解析 (1)由S△ABC=bcsin A,得×2××sin A,解得
sin A=,
所以A=60°或A=120°.故选A.
(2)由题意及正弦定理可得sin C=,
所以C=60°或C=120°.
因为c>a,所以C>A,又△ABC为钝角三角形
所以C=120°,所以B=30°,
所以S△ABC=acsin B=×1×.
课堂探究
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
1.正弦定理.
2.利用正弦定理解三角形.
3.三角形的面积公式.
布置作业
必做题：教材48页练习, 52页习题6.4的7题、53页习题6.4的第10题.
选做题：素质专项训练
谢谢大家