第七章 7.2.2复数的乘、除运算--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
7.2.2　复数的乘、除运算
第七章 复数
数学
学习目标
4.在探究复数代数形式的乘、除法的过程中感悟数系扩充的必要性.
2.能从实数的除法出发探索复数的除法法则，能用自己的语言解释复数的除法
法则；能进行复数除法的运算，并能用复数除法解决问题.
3.能在复数范围内解简单的实系数一元二次方程，积累复数范围内解方程的经
验，理解复数的根与方程的关系.
1.能类比多项式的乘法探索复数的乘法法则，能用自己的语言解释复数的乘法
法则；会依据复数的乘法法则进行运算；了解一些共轭复数的性质.
学习重难点
重点：
复数代数形式的乘、除法则及运算律及共轭复数的概念.
难点：
复数除法的法则的运用及复数范围内解实系数一元二次方程.
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一、温故知新
问题1：我们已经学习了哪些复数运算法则及其运算律？是如何研究的？
1.复数加、减法的运算法则： ①z1＋z2= ②z1－z2=
2.加法运算律：①z1＋z2= ②(z1＋z2)＋z3=
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二、类比实数，获得法则
探究1：结合复数系的引入，在保持运算律不变的情况下，该如何探究复数的乘法法则？
追问1：复数的乘法与多项式的乘法有哪些联系？
追问2：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？
交换律：
结合律：
分配律：
.
把复数a+bi中的实部和虚部看作常数，i看作“变元”复数相当于一个“一次二项式”，复数相乘相当于两个“一次二项式”相乘，令i2=-1后合并同类项后的结果.
追问3：如何证明分配律：
;
.
所以 .
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例1 计算：(1-2i)(3+4i)(-2+i).
例2 计算：（1）； （2）
追问1：你能发现复数系中的一些乘法公式吗？
,，所以是一个实数，且
追问2：观察式中的两个复数，可以发现他们互为共轭复数，若共轭复数，则是一个怎样的数？
（1）
（2），
（3）
追问3：共轭复数还有哪些性质呢？设
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小结： 复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
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探究3：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请探究复数除法的法则.
把满足的复数叫做复数 除以的商，记作或
所以,
所以
即
追问1：这个法则的计算比较复杂，你还有其他方法求吗？
.
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小结：
1.两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，将分母实数化，化简结果.
2.常用公式
（1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i.
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三、例题分析
例3 计算
（1）（1－2i）÷（2＋i）；
（2）.
解：＝＝＝－2＋i.
解：（1－2i）÷（2＋i）＝＝＝＝－i.
例4（1）复数z＝i2 025的模是（　　）
A.i B.－1 C.0 D.1
z＝i2 025＝i4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D.
（2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是___.
1＋i＋i2＋i3＋…＋i100
＝1＋（i＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）
＝1＋0＋…＋0＝1.
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小结：利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，
相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
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拓展延伸
例5 在复数范围内解下列方程：
（1）
（2）其中
追问1：你觉得一元二次方程的根可以超过两个吗？
解：（1）因为,所以的根为.
（2）将的二次项系数化为1，得
配方得 ，
由 , 知 . 类似 (1), 可得
所以原方程的根为 .
追问2：在复数范围内，你能对进行因式分解吗？
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小结:复数范围内一元二次方程的根的问题
1.方程的根为.
2.在复数范围内, 实系数一元二次方程 的求根公式为
（1）当 时, ;
（2）当 时, .
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例6 已知是关于的方程的一个根，求实数的值.
思路2：由于是实数，是方程的一个根，方程的根.
所以
化简得 解得
解：
思路1：由，化简得
于是有 解得
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小结 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法
（1）求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝；②当Δ＜0时，x＝.
（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解；
（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝.
1.若复数z满足方程i＝1－i，则z=____.
评价反馈
解析：由题意可得＝＝＝－i（1－i）＝－1－i，所以z＝－1＋i.
2.计算：（1）（1＋i）2 024；
（2）（－2＋3i）÷（1＋2i）.
解：（1）原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝21 012·i1 012
＝21 012·i4×253＝21 012.
（2）原式＝＝
＝＝＋i.
3.已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（　　）
A.2 B.2 C.4 D.10
解析：B　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所以｜z｜＝＝2.故选B.
4.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝（　　）
A.1　　　　B.－1 C.2　　　　 D.－2
评价反馈
　解析：A　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得解得m＝1.
5.已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（　　）
A.2i＋3 B.－2i－3 C.2i－3 D.－2i＋3
解析：B　根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B.
6.已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.
解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0.
由复数相等的条件得＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或∴方程的实根为x＝或－，相应的k的值为－2或2.
课堂小结
回顾本节课的学习过程，思考以下问题：
（1）复数的乘、除法法则的代数形式分别是什么？
（2）简述复数的乘、除法的大致思路与方法.
知识方面：
1.两个运算法则：乘法法则和除法法则；
2.三种运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.
数学思想：类比思想、转化思想.
数学素养：逻辑推理、数学运算.
布置作业
1．课本第80页练习第2，3，4题.
2. 课本第81页习题第6，8，10题.
3. 已知2i-1是关于x的方程的一个根，求实数p,q的值.
4. 自学课本第81-82页“阅读思考：代数基本定理”，分别用求根公式和因式分解来求解.
谢谢大家