第十章 10.1.3古典概型--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
10.1.3 古典概型
第十章　概率
数学
学习目标
①通过具体实例,通过自主探究和协作互助,归纳出古典概型的两个特征.
②能对样本点的等可能性进行判断.
③能用适当的方法列举古典概型的样本空间.
⑤经历用随机数表模拟随机试验的过程,理解数学建模思想,建立数学应用意识.
④掌握古典概型的概率计算公式,提升数学运算能力.
学习重难点
重点：
古典概型的核心特征(试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性).
难点：
古典概型概率公式的推导,古典概型的识别.
课堂导入
研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,
事件A的概率用P(A)表示.
问题1：抛掷一枚质地均匀的骰子,所有可能出现的结果是什么 每种结果出现的可能性大小相同吗
问题情境
提示 有1,2,3,4,5,6,共6种可能结果,6种结果的可能性一样大.
课堂导入
问题2：桌面上倒扣5张扑克牌,分别为红桃A、红桃2、红桃3和黑桃4、黑桃5,现从中随机抽取一张,抽到红桃牌的概率是多少
类比情境
提示 .
问题3：观察以下两个试验:
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币; (2)抛掷一枚质地均匀的骰子.
它们的共同特征有哪些
答案 试验(1)的样本空间中有2个样本点,试验(2)的样本空间中有6个样本点.
在这两个试验中,每个样本点发生的可能性都是相等的,分别为.
两个试验具有如下共同特征:
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
探究一　古典概型的概念
课堂探究
古典概型的概念
一般地,若试验E具有以下特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
则称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
归纳新知
课堂探究
【例题1】
下列试验是古典概型的是(　　)
A.任意抛掷两枚骰子,以所得点数之和作为样本点
B.求任意一个正整数平方的个位数字为1的概率,以该正整数为样本点
C.从甲地到乙地共有n条路线,求某人恰好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币,直至首次出现正面为止
课堂探究
解析 A 选项中各样本点出现的可能性不相等;B 选项中样本点个数无限;D 选项中试验次数不确定.仅 C 选项满足古典概型的有限性和等可能性.故选C.
C
判断古典概型的方法
关键是抓住古典概型的两个特征:
有限性:样本空间的样本点只有有限个;
等可能性:每个样本点发生的可能性相等,
二者缺一不可.
归纳方法
课堂探究
【跟踪训练1】
下列试验是古典概型的是(　　)
A.袋中有2个白球和3个黑球,从中随机摸出1个球, “摸出白球”或“摸出黑球”
B.在区间[-1,5]上任取一个实数x,使x2-3x+2>0
C.抛掷一枚质地均匀的硬币,观察它落地时正面朝上还是反面朝上
D.某人射击一次, “中靶”或“不中靶”
课堂探究
解析 A选项中“摸出白球”或“摸出黑球”不是等可能的;B选项中样本点的个数是无限的;D选项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的;C选项符合古典概型的两个特征,故选C.
C
问题4：考虑下面两个随机试验,如何度量事件A和事件B发生的可能性大小
(1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”;
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好一次正面朝上”.
探究二　古典概型的概率
课堂探究
答案 对于问题(1),班级中共有40名学生,从中选择一名学生,
因为是随机选取的,所以选到每个学生的可能性都相等,这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小,取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小,
因此,可以用男生数与班级学生数的比值来度量.
显然,这个随机试验的样本空间中有40个样本点,
而事件A=“抽到男生”包含18个样本点.
因此,事件A发生的可能性大小为.
探究二　古典概型的概率
课堂探究
答案 对于问题(2),我们用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,
则试验的样本空Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)},共有8个样本点,且每个样本点是等可能发生的,所以这是一个古典概型.
事件B发生的可能性大小,取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.
因此,可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量,
因为B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},所以事件B发生的可能性大小为.
探究二　古典概型的概率
课堂探究
古典概型的概率:
一般地,设试验E是古典概型,
样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,
则定义事件A的概率P(A)=.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
归纳新知
课堂探究
【例题2】
单项选择题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做,他随机地选择一个答案,答对的概率是多少
课堂探究
解 试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D},考生随机选择一个答案,表明每个样本点发生的可能性相等,
所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”,因为正确答案是唯一的,所以n(M)=1.
所以,考生随机选择一个答案,答对的概率P(M)=.
【例题3】
抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型.
(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”;
B=“两个点数相等”;
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
课堂探究
课堂探究
解 (1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对,组成掷两枚骰子试验的一个结果.
用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,
则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.
因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},
由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,
因此这个试验是古典概型.
课堂探究
表格法:列举样本空间中的样本点.
其中共有36个样本点.
点数 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
课堂探究
树状图法:列举样本空间中的样本点.
其中共有36个样本点.
课堂探究
(2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,
从而P(A)=;
因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},所以n(B)=6,
从而P(B)=;
因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),
(6,3),(6,4), (6,5)},所以n(C)=15,
从而P(C)=.
求古典概型概率的步骤:
(1)确定样本空间的样本点的总数n;
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m;
(3)P(A)=.
归纳方法
课堂探究
【跟踪训练2】
现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,
其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.
从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为　　　　　.
课堂探究
课堂探究
解析 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,样本空间
Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),
(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)},
共有12个样本点.
其中事件“A1和B1全被选中”包含(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)2个样本点,
事件“A1和B1不全被选中”包含10个样本点,
故A1和B1不全被选中的概率为.
故答案为.
【跟踪训练2】
课堂探究
现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,
其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.
从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为　　　　　.
【例题4】
从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人,
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间;
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
课堂探究
解 设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,
则可用数组(x1,x2)表示样本点.
课堂探究
(1)根据相应的抽样方法可知:
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),
(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}.
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),
(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}.
按性别等比例分层抽样,先从男生中抽一人,再从女生中抽一人,其样本空间
Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}.
课堂探究
(2)设事件A=“抽到两名男生”,则
对于有放回简单随机抽样,A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,
所以这是一个古典概型,所以P(A)=.
对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}.
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,
所以这是一个古典概型,所以P(A)=.
因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A= ,因此P(A)=0.
根据样本总体特征选择合适的抽样方法:
①若总体分层明显,优先采用分层抽样;
②若无分层需求,不放回简单随机抽样效果优于有放回简单随机抽样..
归纳方法
课堂探究
【跟踪训练3】
某中学有羽毛球社、乒乓球社和篮球社,三个社团的人数分别为27,9,18,现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动.
(1)求应从这三个社团中分别抽取的学生人数;
(2)记抽取的6名学生分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,从中随机抽出2名参加体育测试.
①写出这个试验的样本空间;
②设事件A是“编号为A1,A2的两名学生至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.
课堂探究
课堂探究
解 (1)应该从羽毛球社抽取6×=3人,
应该从乒乓球社抽取6×=1人,
应该从篮球社抽取6×=2人.
(2)①该试验的样本空间
Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),
(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6), (A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)},共有15个样本点.
②A={(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6)},
n(A)=9, n(Ω)=15,所以事件A发生的概率为P(A)=.
评价反馈
解析 将一部三册的小说编号为1,2,3,
则试验的样本空间Ω={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)},共6个样本点,
事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点,
故第一册和第二册相邻的概率为.
1.一部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则第一册和第二册相邻的概率为
(　　)
A. B. C. D.
C
评价反馈
解析 从八卦中任取一卦,所有可能的结果总数n=8,
这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的可能结果的个数m=3,
因此所求概率为.故选C.
2.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“- -”表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为(　　)
A. B. C. D.
C
评价反馈
3.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都入选的概率为(　　)
A. B.
C. D.
C
解析 从五个人中选取三人,则试验的样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊)},共有10个样本点,而甲、乙都入选的结果有3种,故所求的概率为.
评价反馈
4.(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是(　　)
A.两件都是一等品的概率是
B.两件中有1件是次品的概率是
C.两件都是正品的概率是
D.两件中至少有1件是一等品的概率是
课堂探究
解析 由题意设一等品编号为a,b,二等品编号为c,次品编号为d,
从中任取2件的所有可能情况有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种.
对于A,两件都是一等品的可能情况有(a,b),共1种,故两件都是一等品的概率P1=,故A错误;
对于B,两件中有1件是次品的可能情况有(a,d),(b,d)(c,d),共3种,故两件中有1件是次品的概率P2=,故B正确;
对于C,两件都是正品的可能情况有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,故两件都是正品的概率P3=,故C错误;
对于D,两件中至少有1件是一等品的可能情况有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),共5种,故两件中至少有1件是一等品的概率P4=,故D正确.
评价反馈
4.(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是(　　)
A.两件都是一等品的概率是
B.两件中有1件是次品的概率是
C.两件都是正品的概率是
D.两件中至少有1件是一等品的概率是
BD
评价反馈
5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是　　　　　.
解析 设所取的数中b>a为事件A,如果把选出的一组数a,b写成一个数对(a,b)的形式,则试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),
(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},
共15个样本点,事件A包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,
因此所求的概率P(A)=.
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识
1.知识清单
(1)古典概型的定义;
(2)古典概型的概率公式.
2.方法归纳:用列举法(列表法、树状图)求样本点的个数.
3.常见误区:列举样本点的个数时,要按照一定顺序,做到不重、不漏.
布置作业
教材第241页练习;
教材第246页习题10.1第7,8题.
谢谢大家