第十章 10.1.4概率的基本性质--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
第十章　概率
数学
学习目标
①通过实例,理解概率的性质.
②掌握随机事件概率的运算法则.
学习重难点
重点：
概率的运算法则及性质.
难点：
用概率的性质求解复杂事件的概率.
课堂导入
问题1：古典概型有哪些特征 古典概型的概率是如何定义的
复习情境
答案 一般地,若试验E具有以下特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们就称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,
则定义事件A的概率P(A)=.
课堂导入
在给出指数函数的定义后,我们从定义出发研究了
指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质.
类似地,在给出了概率的定义后,
问题2：你认为可以从哪些角度研究概率的性质
类比情境
答案 (1)概率的取值范围;
(2)特殊事件的概率;
(3)事件有某些特殊关系时,它们的概率之间的关系;等等.
思考1：从以下试验中你能发现概率具有哪些特点
试验1:一个星期有7天;
试验2:4月份有31天;
试验3:抛掷一枚质地均匀的硬币,硬币落地时正面朝上.
答案 由以上试验可知:任何事件的概率都是非负的;
在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生.
探究一　概率的性质1、性质2
课堂探究
概率有以下性质:
性质1　对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P( )=0.
归纳新知
课堂探究
概率的非负性
思考2：一个袋子中有大小和质地完全相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”互斥,R∪G=“两次摸到的球颜色相同”.
那么,事件R,G,R∪G的概率分别是多少呢
答案 因为n(R)=2,n(G)=2,n(R∪G)=2+2=4,
所以P(R)=P(G)=,P(R∪G)=.
因此P(R∪G)==P(R)+P(G).
探究二　概率的性质3、性质4
课堂探究
思考3：事件R与事件G有什么关系 它们的概率又有怎样的关系
答案 事件R与事件G互斥,即R与G不含有相同的样本点,
所以n(R∪G)=n(R)+n(G),这等价于P(R∪G)=P(R)+P(G),
即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和.
探究一　概率的性质
课堂探究
R
G
Ω
思考4：如果事件A与事件B互为对立事件,它们的概率有什么关系
答案 因为事件A与事件B互为对立事件,所以A∪B=Ω.
由 P(Ω) = 1可得1= P(A∪B)= P(A)+P(B),
从而P(B)=1-P(A), P(A)=1-P(B).
探究一　概率的性质
课堂探究
A
B
Ω
概率有以下性质:
性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.
如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,
那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,
即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
归纳新知
课堂探究
互斥事件的概率加法公式
【例题1】
从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,P(A)=P(B)=那么
(1)C=“抽到红花色”,求P(C);
(2)D=“抽到黑花色”,求P(D).
课堂探究
解 (1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事件.
根据互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A)+P(B)=.
(2)因为C与D互斥,又因为C∪D是必然事件,
所以C与D互为对立事件.因此P(D)=1－P(C)=1－.
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
归纳方法
课堂探究
注意:事件彼此互斥是公式使用的前提条件,不符合这点,就不能运用互斥事件的概率加法公式进行计算.
【跟踪训练1】
根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,设各车主至多购买一种保险.
(1)求该地的车主购买甲、乙两种保险中的一种的概率;
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
课堂探究
解 (1)记A表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”,B表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”,C表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”;
由题意可知,P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A∪B,
所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8.
【跟踪训练1】
根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,设各车主至多购买一种保险.
(1)求该地的车主购买甲、乙两种保险中的一种的概率;
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
课堂探究
(2) 记D表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”.
因为D=,
所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.
思考5：抛掷一枚质地均匀的骰子,设事件A=“朝上面的点数为偶数”,B=“朝上面的点数为2”,事件A与事件B是什么关系 它们的概率有什么关系
答案 在古典概型中,对于事件A与事件B,
如果A B,那么n(A)≤n(B).于是,,
即P(A)≤P(B).
探究一　概率的性质
课堂探究
思考6：一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R1∪R2=“两个球中有红球”,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗 如果不相等,请说明原因,并思考如何计算P(R1∪R2).
答案 因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,
所以P(R1)=P(R2)=,P(R1∪R2)=.
因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).
这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠ ,即事件R1,R2不是互斥的.
容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2).
探究一　概率的性质
课堂探究
概率有以下性质:
性质5　如果事件A B,那么P(A)≤P(B).
由性质5可得:对于任意事件A,因为 A Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
归纳新知
课堂探究
概率的一般加法公式
概率的取值范围
【例题2】
甲、乙、丙、丁四人参加4×100 m接力赛,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
课堂探究
解 设事件A为“甲跑第一棒”,事件B为“乙跑第四棒”,则P(A)=,P(B)=.
记甲跑第x棒,乙跑第y棒,则结果可记为(x,y),共有12种等可能结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能,即(1,4).故P(A∩B)=.
所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=.
概率的一般加法公式的理解
概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式的区别:
在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件;
在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.
利用概率的一般加法公式求解的关键:
正确理解P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中交事件A∩B的含义,准确求出其概率.
归纳方法
课堂探究
【跟踪训练2】
在对200家公司的最新调查中发现,40%的公司在研究广告效果,50%的公司在进行短期销售预测,而30%的公司同时开展了这两项研究.假设从这200家公司中任选一家,记事件A为“该公司在研究广告效果”,记事件B为“该公司在进行短期销售预测”,求P(A),P(B),P(A∪B).
课堂探究
解 P(A)=40%=0.4,P(B)=50%=0.5,
又已知P(A∩B)=30%=0.3,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.5-0.3=0.6.
【例题3】
为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率是多少
课堂探究
解 (方法一)设事件A=“中奖”,事件A1=“第一罐中奖”,事件A2=“第二罐中奖”,
那么事件A1A2=“两罐都中奖”,A1=“第一罐中奖,第二罐不中奖”,
A2=“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且A=A1A2∪A1A2.
因为A1A2,A1A2两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,可得
P(A)=P(A1A2)+P(A1)+P(A2).
【例题3】
为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率是多少
课堂探究
我们借助如下所示的树状图来求相应事件的样本点数.
【例题3】
为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率是多少
课堂探究
可以得到,样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30,
且每个样本点都是等可能的.
因为n(A1A2)=2,n(A1)=8,n(A2)=8,
所以P(A)=.
【例题3】
为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率是多少
课堂探究
解 (方法二)设事件A=“中奖”,事件A1=“第一罐中奖”,事件A2=“第二罐中奖”,
事件A的对立事件是“不中奖”,即“两罐都不中奖”,
由于=“两罐都不中奖”,而n()=4×3=12,
所以P()=. 因此P(A)=1－P()=1－.
概率性质的应用
化难为易：对于一个较复杂的事件，一般将其拆分为几个简单的互斥事件的和，从而可以利用互斥事件的概率加法公式求解．此方法的关键是确保各事件两两互斥(即不会同时发生).
正难则反：有些事件直接求解比较复杂，可以先求其对立事件的概率，再根据对立事件的概率公式求解．该方法尤其适用于含有“至少”“至多”“不都”等关键词的事件.
归纳方法
课堂探究
【跟踪训练3】
盒子中有12个大小质地完全相同的球,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中随机摸出1个球,求:
(1)摸到红球或黑球的概率;
(2)摸到红球或黑球或白球的概率.
课堂探究
解 记事件A1={摸到红球},A2={摸到黑球},A3={摸到白球},A4={摸到绿球},
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.
根据题意,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥.
【跟踪训练3】
盒子中有12个大小质地完全相同的球,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中随机摸出1个球,求:
(1)摸到红球或黑球的概率;
(2)摸到红球或黑球或白球的概率.
课堂探究
(方法一)由互斥事件的概率加法公式,得
(1)摸到红球或黑球的概率P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=.
(2)摸到红球或黑球或白球的概率
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
【跟踪训练3】
盒子中有12个大小质地完全相同的球,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中随机摸出1个球,求:
(1)摸到红球或黑球的概率;
(2)摸到红球或黑球或白球的概率.
课堂探究
(方法二)(1)摸到红球或黑球的对立事件为摸到白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以摸到红球或黑球的概率
P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-.
评价反馈
解析 若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,
再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1,
故选D.
1.若A,B为对立事件,则下列式子中成立的是(　　)
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=0
D.P(A)+P(B)=1
D
评价反馈
解析 由题可知,抽得次品的概率是0.03+0.01=0.04,
又因为在一次抽查中,抽得正品和抽得次品互为对立事件,
所以对产品抽查一次抽得正品的概率是1-0.04=0.96.
故选D.
2.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率是0.03,出现丙级品的概率0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是(　　)
A.0.09 B.0.98
C.0.97 D.0.96
D
评价反馈
3.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A∪表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
C
解析 由已知可得P(A)=,P(B)=×4=,所以P()=1-,
因为事件A与事件互斥,所以P(A∪)=P(A)+P()=.
故选C.
评价反馈
解析 设事件A发生的概率为P(A),则P(B)=3P(A),
又事件A与B是互斥事件,且事件A∪B发生的概率是0.64,
则P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)+3P(A)=4P(A)=0.64.
所以P(A)=0.16.
故答案为0.16.
4.如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B发生的概率是0.64,事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍,则事件A发生的概率为　　　　　.
0.16
评价反馈
5.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.
由题图知3支球队共有球员20名,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D,则D=A∪B∪C,
∵事件A,B,C两两互斥,∴P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=.
评价反馈
5.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
(2)设“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,
则为“抽取一名队员,该队员属于3支球队”.
故P(E)=1-P()=1-.
课堂小结
总结归纳
概率的基本性质：
性质1　对任意的事件A,都有P(A)≥0
性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P( )=0.
性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5　如果事件A B,那么P(A)≤P(B).
性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
课堂小结
总结归纳
多个互斥事件的概率公式：
如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),
即彼此互斥事件和的概率等于概率和.
概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式的区别与联系：
性质6中公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)适用于一个随机试验中的任意两个事件,也适用于A,B为互斥事件的情况,因为互斥事件满足P(A∩B)=0,此时公式变为P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是互斥事件的概率加法公式.
布置作业
教材第247页习题10.1第13,14题.
谢谢大家