第十章 10.2事件的相互独立性--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
10.2 事件的相互独立性
第十章　概率
数学
学习目标
①结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.
②结合古典概型,利用独立性计算概率.
学习重难点
重点：
(1)了解两个随机事件独立性的含义;
(2)结合古典概型,利用事件的独立性计算概率.
难点：
(1)在实际问题情境中判断事件的独立性.
(2)区分独立事件与古典概型的应用情境.
课堂导入
思考1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
问题情境
答案 不会.因为两枚硬币分别抛掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响,所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
课堂导入
思考2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”,分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现
问题情境
答案 样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}},而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},
所以P(A)=P(B)=,P(AB)=.
于是有P(AB)=P(A)P(B),即积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.
思考3：以上两个思考有什么共同结论
答案 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,
P(AB)=P(A)P(B)成立.
探究一　相互独立事件的定义
课堂探究
1.相互独立事件的定义:
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,
则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.注意:
(1)互斥事件:两个事件不能同时发生.
(2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响.
归纳新知
课堂探究
【例题1】
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则A与B的关系为(　　)
A.互斥 B.相互对立
C.相互独立 D.相等
课堂探究
解析 根据题意,事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,
两个事件可以同时发生,也可以都不发生,
事件A发生与否对事件B没有影响,是相互独立事件,故选C.
C
【例题1】
(2)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立
课堂探究
解 因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},
所以P(A)=P(B)=,P(AB)=.
此时P(AB)≠P(A)P(B),因此,事件A与事件B不独立.
【跟踪训练1】
(1)一个口袋中装有3个白球和3个黑球,独立事件是(　　)
A.第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B.摸出后不放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球
C.摸出后放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球
D.一次摸两个球,共摸两次,第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
课堂探究
课堂探究
解析 一个口袋中装有3个白球和3个黑球,
对于A,第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球,是随机事件;
对于B,摸出后不放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球,第二次受第一次的影响,不是独立事件;
对于C,摸出后放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球,两者不受影响,是独立事件;
对于D,一次摸两个球,共摸两次,第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球,有影响,不是独立事件.故选C.
【跟踪训练1】
(1)一个口袋中装有3个白球和3个黑球,独立事件是(　　)
A.第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B.摸出后不放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球
C.摸出后放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球
D.一次摸两个球,共摸两次,第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
课堂探究
C
【跟踪训练1】
(2)(多选)下列各对事件中,为相互独立事件的是(　　 )
A.掷一枚骰子一次,事件M为“出现偶数点”,事件N为“出现3点或6点”
B.在一袋中有3白、2黑共5个大小质地相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M=“第一次摸到白球”,事件N=“第二次摸到白球”
C.在一袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M=“第一次摸到白球”,事件N=“第二次摸到黑球”
D.甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M=“从甲组中选出1名男生”,事件N=“从乙组中选出1名女生”
课堂探究
课堂探究
解析 在A选项中,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件M={2,4,6},事件N={3,6},事件MN={6},所以P(M)=,P(N)=,P(MN)=,即P(MN)=P(M)P(N),
故事件M与N相互独立,A正确.
在B选项中,根据事件的特点易知,事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响,故M与N是相互独立事件,B正确.
在C选项中,由于第1次摸到球不放回,因此会对第2次摸到球的概率产生影响,故不是相互独立事件,C错误.
在D选项中,从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响,所以它们是相互独立事件,D正确.故选ABD.
【跟踪训练1】
(2)(多选)下列各对事件中,为相互独立事件的是(　　 )
A.掷一枚骰子一次,事件M为“出现偶数点”,事件N为“出现3点或6点”
B.在一袋中有3白、2黑共5个大小质地相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M=“第一次摸到白球”,事件N=“第二次摸到白球”
C.在一袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M=“第一次摸到白球”,事件N=“第二次摸到黑球”
D.甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M=“从甲组中选出1名男生”,事件N=“从乙组中选出1名女生”
课堂探究
ABD
思考4：如果事件A与事件B相互独立,那么它们的对立事件是否也相互独立
A与与B,是否分别相互独立
探究二　相互独立事件的概率计算
课堂探究
答案 对于A与,因为A=AB∪A,而且AB与A互斥,
所以P(A)=P(AB∪A)=P(AB)+P(A)=P(A)P(B)+P(A),
所以P(A)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P().
由事件的独立性定义,A与相互独立.
类似地,可以证明事件与B,也分别相互独立.
【例题2】
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶; (2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶; (4)至少有一人中靶.
课堂探究
解 设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则=“甲脱靶”,=“乙脱靶”,
由于两个人射击的结果互不影响,
所以A与B相互独立,A与与B,都相互独立.
由已知可得P(A)=0.8,P(B)=0.9,P()=0.2,P()=0.1.
课堂探究
(1)AB=“两人都中靶”,由事件独立性的定义,得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
(2)“恰好有一人中靶”=AB,且AB互斥,
根据概率的加法公式和事件独立性定义,得
P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
(3)事件“两人都脱靶”=,
所以P()=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02.
课堂探究
(4)(方法一)事件“至少有一人中靶”=AB∪AB,且AB,AB两两互斥,
所以P(AB∪AB)=P(AB)+P(A)+P(B)
=P(AB)+P(AB)
=0.72+0.26=0.98.
(方法二)由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”,
根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为
1-P()=1-0.02=0.98.
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤.
(1)首先确定各事件之间是相互独立的;
(2)求出每个事件的概率,再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的.
归纳方法
课堂探究
【跟踪训练2】
为普及安全知识、提高安全意识,某学校组织安全知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大
(2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
课堂探究
课堂探究
解 (1)设A1=“甲在第一轮比赛中胜出”,A2=“甲在第二轮比赛中胜出”,
B1=“乙在第一轮比赛中胜出”,B2=“乙在第二轮比赛中胜出”,
则A1A2=“甲赢得比赛”,
P(A1A2)=P(A1)P(A2)=.
B1B2=“乙赢得比赛”,
P(B1B2)=P(B1)P(B2)=.
因为,所以派甲参赛获胜的概率更大.
课堂探究
(2)由(1)知,设C=“甲赢得比赛”,D=“乙赢得比赛”,
则P()=1-P(A1A2)=1-,
P()=1-P(B1B2)=1-.
于是C∪D=“两人中至少有一人赢得比赛”,
P(C∪D)=1-P()=1-P()P()=1-.
【例题3】
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
课堂探究
解 设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立性假定,得
P(A1)=2×,P(A2)=,
P(B1)=2×,P(B2)=.
【例题3】
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
课堂探究
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,
则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,
所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)·P(B1)=.
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
求较复杂事件的概率的一般步骤如下:
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示;
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式;
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算;
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
归纳方法
课堂探究
【跟踪训练3】
课堂探究
小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率;
(3)这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.
解 用A,B,C分别表示这三列火车正点到达,
则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,且A,B,C相互独立.
课堂探究
(1)由题意得,恰好有两列火车正点到达的概率为
P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)由题意得,三列火车至少有一列正点到达的概率为
1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
(3)由题意得,恰有一列火车正点到达的概率为
P(A)+P()+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.
评价反馈
解析 设甲加工的零件为一等品,乙加工的零件非一等品的事件为A,
乙加工的零件为一等品,甲加工的零件非一等品的事件为B,
则两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)+P(B)=.
1.甲、乙两人各加工一个零件,若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是,两个零件是否为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
D
评价反馈
解析 设事件A为“甲买票用现金支付”,事件B为“乙买票用现金支付”,事件C为“恰有一人用现金支付”,依题意得,P(A)=0.4,P(B)=0.3,
所以P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.4×(1-0.3)+(1-0.4)×0.3=0.46.
故选A.
2.现在有甲、乙两人想去现场观看某比赛,他们到车站买动车票,甲买票用现金支付的概率为0.4,乙买票用现金支付的概率为0.3,两人是否用现金支付互不影响,则恰有一人用现金支付的概率为(　　)
A.0.46 B.0.58 C.0.7 D.0.88
A
评价反馈
3.给出下列各对事件,其中是相互独立事件的为　　　　　(填序号).
①甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1名参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
②容器内装有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,球除颜色外没有其他差异,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“再从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”;
③掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或 6点”.
解析 ①“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
课堂探究
②“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,
则“再从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,
若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.
可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,
所以两者不是相互独立事件.
③记事件A=“出现偶数点”,事件B=“出现3点或6点”,
则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,
所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立.
评价反馈
3.给出下列各对事件,其中是相互独立事件的为　　　　　(填序号).
①甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1名参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
②容器内装有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,球除颜色外没有其他差异,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“再从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”;
③掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或 6点”.
①③
评价反馈
4.甲、乙两人进行投篮比赛,每一局每人各投两次球,规定进球数多者该局获胜,进球数相同则为平局.已知甲每次投进的概率为,乙每次投进的概率为,甲、乙之间的投篮相互独立,且甲、乙各次投篮结果互不影响.
(1)求一局比赛中甲进两球获胜的概率;
(2)求一局比赛的结果不是平局的概率.
解 (1)设事件A=“一局比赛中甲进两球获胜”,
则P(A)=,
即一局比赛中甲进两球获胜的概率为.
评价反馈
4.甲、乙两人进行投篮比赛,每一局每人各投两次球,规定进球数多者该局获胜,进球数相同则为平局.已知甲每次投进的概率为,乙每次投进的概率为,甲、乙之间的投篮相互独立,且甲、乙各次投篮结果互不影响.
(1)求一局比赛中甲进两球获胜的概率;
(2)求一局比赛的结果不是平局的概率.
(2)设事件B=“一局比赛出现平局”,
则P(B)=+2××2×,
所以P()=1-P(B)=. 故一局比赛的结果不是平局的概率为.
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立,简称独立.
注意:(1)事件A与B是相互独立的,那么A与与B,也相互独立.
(2)相互独立事件同时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B).
布置作业
教材第253页练习第3题;
教材第253页习题10.2第4,5题.
谢谢大家