第十章 本章小结--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
本章小结
第十章 概率
数学
学习目标
1.能够概括随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,指出概率的意义,理解并识别频率与概率,提升数学抽象核心素养.
2.能够概括两个互斥事件的概率加法公式,提升数学抽象核心素养.
3.能推断事件的相互独立,提升逻辑推理核心素养.
4.能推断古典概型,运用概率计算公式计算概率,提升逻辑推理、数学建模、数学运算核心素养.
5.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率,提升逻辑推理核心素养.
6.知道随机数的意义,能运用随机模拟的方法解决估计概率的问题,提升数学运算、数学建模、数据分析核心素养.
学习重难点
重点:
1.利用频率估计概率.
2.古典概型的概率求解.
3.判断两事件是否互斥、对立,利用互斥事件加法公式求复杂事件的概率.
4.判断两个事件是否独立,并利用独立事件公式进行复杂事件概率的运算.
5.概率与统计的综合应用.
难点:
1. 复杂事件分解为简单事件的和事件或者积事件.
2. 两事件独立的判定及相应复杂事件概率的运算.
3. 概率与统计的综合应用.
课堂导入
概率这一章主要围绕随机事件的概率展开,包括事件的分类(必然事件、不可能事件、随机事件),概率的基本概念(频率与概率的关系),以及古典概型重要概率模型,还有互斥事件、对立事件的概率计算等内容.
讲授新课
一、知识归纳
讲授新课
二、核心归纳
1.随机事件的频率与概率
在相同条件下,进行n次试验,事件A发生的次数m称为事件A发生的频数,称为事件A发生的频率.当试验次数n很大时,频率稳定在某个常数附近,这个常数就是事件A的概率.必然事件概率为1,不可能事件概率为0.
2.事件的关系与运算
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3.古典概型
具有有限性(试验中所有可能出现的样本点只有有限个)和等可能性(每个样本点出现的可能性相等)的概率模型.其概率计算公式为P(A)=
4.互斥事件与对立事件
互斥事件:若A∩B为不可能事件(A∩B= ),则称事件A与事件B互斥,此时P(A∪B)=P(A)+P(B).
对立事件:若A∩B为不可能事件,且A∪B为必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件,P(A)=1-P(B).
讲授新课
典例分析
例1.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
知识点一 频率与概率
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,可以使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)
讲授新课
解（1）由题意知,样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.故所求概率为＝0.025.
（2）由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
（3）增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.
讲授新课
1.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.
2.概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定,与试验次数无关,可以用频率估计概率.
反思感悟
讲授新课
练习1　随机抽取一个年份,对某市4月份的天气情况进行统计,结果如下:
(1)在4月份任取一天,估计该市在该天不下雨的概率;
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴
日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
解:在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,在4月份任取一天,该市不下雨的概率约为p＝＝.
解:称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等),这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率约为.
讲授新课
古典概型是一种最基本的概率模型,是学习其他概率模型的基础,解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝时,关键在于正确理解试验的发生过程,求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k.
知识点二 古典概型
例2 高考真题再现
　(1)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)
A.　　　　B. C. D.
答案：A
解析:因为共有6个主题,甲、乙两位同学各抽取1个主题,结果有36种,其中抽到的主题相同的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率为1－＝.故选A.
讲授新课
(2)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(　　)
A. B.C. D.
答案：D
解析:记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级2名学生分别为b1,b2,
则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6个,其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4个,所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝,故选D.
讲授新课
反思感悟
在古典概型中,计算概率的关键是准确找出样本点的数目,这就需要我们能够熟练运用图表和树状图,把样本点一一列出.而有许多试验,它们的可能结果非常多,以至于我们不可能将所有结果全部列出,这时不妨找找其规律,算出样本点的数目.
讲授新课
练习2-1
连掷两次质地均匀的骰子分别得到点数,,若,,则与的夹角的概率是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析:由题设,的可能组合有36种,要使与的夹角,则,即,满足条件的情况如下:当时,;当 时,,;当 时,,2,;当时,,2,3,,当 时,,2,3,4,.综上,共有15种可能情况,故与的夹角 的概率是.故选D.
讲授新课
练习2-2.
(多选)有5个除颜色外其余均相同的球(3个红色和2个蓝色),从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是( )
A.“取不到红球”的概率为 B.“取出的两球均为红色”的概率为
C.“至多取到1个红球”的概率为 D.“取出一个红球、一个蓝球”的概率为
答案：ABC
解析:记3个红球分别为A,B,C,2个蓝球分别为,,
则样本空间,,,,,,,,,,共有10个样本点.
对于A,“取不到红球”包含的样本点为,概率为,故A正确；对于B,“取出的两球均为红色”包含的样本点为,,,共3个,概率为,故B正确；对于C,“至多取到1个红球”包含的样本点为,,,,,,,共7个,概率为,故C正确；对于D,“取出一个红球、一个蓝球”包含的样本点为,,,,,,共6个,概率为,故D错误.故选.
讲授新课
1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件;对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,对立事件是互斥事件的特殊情况.
2.若事件A,B满足P(AB)＝P(A)P(B),则事件A,B相互独立,且当A与B相互独立时,A与,与B,与也相互独立.

知识点三 互斥事件、对立事件与相互独立事件
讲授新课
例3(1)(多选)甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以事件A1,A2表示从甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列命题正确的是(　　)
A.事件A1,A2互斥
B.事件B与事件A1相互独立
C.P(A1B)＝
D.P(B)＝
答案：ACD
解析：:根据题意画出树状图,
得到有关事件的样本点数,所以事件A1,A2不可能同时发生,
故彼此互斥,故A正确;P(A1)＝＝,P(A2)＝＝,
P(B)＝＝,P(A1B)＝＝,故C正确,D正确;
因为P(A1B)＝,P(A1)P(B)＝×＝,则P(A1B)≠P(A1)P(B),事件B与事件A1不独立,故B错误.故选ACD.
讲授新课
(2)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜,约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响,则投篮结束时,乙只投了1个球的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析:设,分别表示甲、乙在第次投篮时投中,则,,,.记“投篮结束时,乙只投了1个球”为事件D,则,故选B.
讲授新课
反思感悟
(1)判断事件之间的关系时,可把所有的试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件之间的关系;
(2)对立事件一定是互斥事件,也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件,在确定了两个事件互斥的情况下,就要看这两个事件的和事件是不是必然事件,这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时,注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的,不能在多次试验中判断;
(3)判断两事件是否相互独立,有两种方法:①直接法;②看P(AB)与P(A)P(B)是否相等,若相等,则A,B相互独立,否则不相互独立.
1.事件之间关系的判断方法
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性质1:对任意的事件A,都有P(A)0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P()=1,P()=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P()=P(A)+P(B).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A), P(A)=1-P(B).
性质5:如果,那么P(A)P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们P()=P(A)+P(B)-P().
2.概率的性质
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(1)互斥事件与相互独立事件描述的都是两个事件之间的关系,但互斥事件强调不可能同时发生,相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下:
3.互斥事件与相互独立事件的辨析
(2)已知事件A,B发生的概率分别为P(A),P(B),我们有如下结论:
讲授新课
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练习3-1一个质地均匀的正方体,六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,拋掷这个正方体一次,观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6},设事件E＝{1,2},事件F＝{1,3},事件G＝{2,4},则(　　)
A.E与F不是互斥事件 B.F与G是对立事件
C.E与F是相互独立事件 D.F与G是相互独立事件
解析:A
解析：因为E∩F＝{1},所以E与F不是互斥事件,A正确;由F∩G＝ ,即F与G互斥,但F∪G≠Ω,即F与G不是对立事件,B错误;由P(E)＝,P(F)＝,P(EF)＝≠P(E)P(F),故E与F不是相互独立事件,C错误;由P(F)＝,P(G)＝,P(FG)＝0≠P(F)P(G),所以F与G不是相互独立事件,D错误.故选A.
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练习3-2(多选)已知事件,发生的概率分别为,,则( )
A.若,互斥,则,至多有一个发生的概率为
B.若,互斥,则,至少有一个发生的概率为
C.若,相互独立,则,至多有一个发生的概率为
D.若,相互独立,则,至少有一个发生的概率为
答案：BD
解析:依题意,,.若A,B互斥,即,则A,B至多有一个发生的概率为,A,B至少有一个发生的概率为,故A错误,B正确;若A,B相互独立,即,则A,B至多有一个发生的概率为,A,B至少有一个发生的概率为,故C错误,D正确.故选.
讲授新课
练习3-3
计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1) 假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2) 这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
解（1）设“甲获得合格证书”,“乙获得合格证书”,“丙获得合格证书”,
则, , .因为,所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件,则.
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1.处理概率与统计问题的关键是理解频率与概率之间的关系,运用统计方法对数据进行分析推断,用样本估计总体.
2.概率统计问题要分清数据和事件的对应关系,提升数据处理素养.

知识点四 概率与统计的综合
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例4-1 敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑,使他们能如实回答问题.为调查学生是否有在校使用手机的情况,某校设计如下调查方案:被调查者在没有旁人的情况下,独自从一个箱子中随机抽一个球,看过颜色后放回,若抽到白球,则回答问题,抽到红球,则回答问题,且箱子中只有白球和红球.
问题你的生日的月份是否为偶数 (假设生日的月份为偶数的概率为)
问题你是否有在校使用手机情况
已知该校在一次实际调查中,箱子中放有白球 2个、红球3个,调查结束后共收到1 000张有效答卷,其中有270张回答“是”.以频率估计概率,估计该校学生有在校使用手机的概率是(精确到)( )
A. B. C. D.
讲授新课
答案：B
解析:由题意可知,回答问题A的学生人数为,其中对问题A回答“是”的人数为,回答问题B的学生人数为,其中对问题B回答“是”的人数为.因此,估计该校学生有在校使用手机的概率为.故选B.
讲授新课
例4-2 我国的乒乓球运动领先世界水平,被国人称为“国球”.在某次团体选拔赛中,甲、乙两队进行比赛,采取五局三胜制(即先胜三局的团队获得比赛的胜利),假设在一局比赛中,甲队获胜的概率为0.6,乙队获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.
解:设“第i局甲胜”为事件Ai,“第j局乙胜”为事件Bj(i,j＝1,2,3,4,5),
记M1＝“三局结束比赛”,
则M1＝A1A2A3＋B1B2B3,
P(M1)＝P(A1A2A3)＋P(B1B2B3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＝0.6×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4＝0.28.
(1)求这场选拔赛三局结束的概率;
讲授新课
解:记M2＝“五局结束比赛”,则M2＝A2A3B4＋A2B3A4＋B2A3A4,
P(M2)＝P(A2A3B4)＋P(A2B3A4)＋P(B2A3A4)
＝0.6×0.6×0.4＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6＝0.432.
(2)若第一局比赛乙队获胜,求这场选拔赛五局结束的概率.
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反思感悟 求互斥事件、相互独立事件概率的步骤
(1)标记事件;
(2)判断事件是否互斥或对立、是否独立;
(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立),并用符号语言准确表示出来；
(4)根据公式解决具体问题.
讲授新课
练习4
受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为3年,乙品牌车保修期为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆,统计出轿车首次出现故障的时间数据如下:
从该厂生产的甲、乙两种品牌轿车中各随机抽取一辆.
(1) 估计甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率(将频率视为概率);
(2) 求保修期内恰有一辆轿车发生故障的概率.
品牌 甲 乙 首次出现故障的时间年
轿车数量/辆 2 1 3 44 2 3 45
讲授新课
解:(1)设事件,,分别表示事件甲品牌轿车首次出现故障的时间为,,设事件“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”.因为,,是互斥事件,其概率分别为,,,所以,所以估计甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为.
(2) 同(1)可得乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为.
设事件“保修期内恰有一辆轿车发生故障”,则.
评价反馈
1.从2,4,6,8中任取2个不同的数,,则的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析:从2,4,6,8中任取2个不同的数,,样本空间 共有12个样本点,“”包含的样本点有,,,共4个,所以所求概率为.故选B.
2.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是,,,,如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率,则的最大值是( )
A.0.6 B.0.79 C.0.8 D.0.9
答案：B
解析:因为甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率,所以,解得.所以 的最大值是0.79.故选B.
3.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论中正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为
评价反馈
答案：ACD
解析:设“从甲袋中摸出一个红球”为事件,从“乙袋中摸出一个红球”为事件,则,.对于A,2个球都是红球为,其概率为,故A正确;对于B,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,故B错误;对于C,2个球至少有1个红球的概率为,故C正确;对于D,2个球中恰有1个红球的概率为,故D正确.故选.
4.产品质量检验过程主要包括进货检验、生产过程检验、出货检验三个环节.已知某产品单独通过率为,单独通过率为,规定上一类检验不通过则不进入下一类检验,未通过可修复后再检验一次(修复后无需从头检验,通过率不变且每类检验最多两次),且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为,则________.
评价反馈
解析:设表示“第次通过”,表示“第次通过”.由题意知,,即,解得 或(舍去).
答案:
课堂小结
布置作业
教材263--264页复习参考题10
谢谢大家