第八章 8.6.1直线与直线垂直--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共40张PPT)

(共19张PPT)
8.6.1直线与直线垂直
第八章 立体几何初步
数学
一、学习目标
（1）理解异面直线夹角的定义，会求异面直线所成角；
（2）理解两条直线垂直的定义，并能够根据所给条件证明两条直线互相垂直.
【导入新课】
二、课堂探究
【问题探究1】如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与直线A'D'相对于直线AB的位置相同么？如果不同，如何表示这种差异呢
结论：我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度；类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.
二、课堂探究
思考1：那么如何定义异面直线所成的角呢？阅读教材，并将下面空白位置补充完整.
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作________，________，我们把________________叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线___________. 直线 a 与直线 b 垂直，记作______.
当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为_____. 所以空间两条直线所成角的取值范围是____________.
直线 a'与b'
互相垂直
a⊥b
0°
0°≤ α ≤90°
二、课堂探究
例1 如图所示，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.
（1）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直
（2）求直线BA'与CC'所成的角的大小.
解析：（1）棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，所在直线分别与直线AA'垂直.
（2）因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以BB'//CC'.
因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角，
又因为∠A'BB'= 45°，所以直线BA'与CC'所成的角等于45°.
二、课堂探究
【小试牛刀】
例1 如图所示，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.
（3）求直线BA'与AC所成的角的大小.
解析：（3）如图所示，连接A'C'，BC'，则A'C'//AC，
所以∠BA'C'是直线BA'与AC所成的角，
因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，
所以△BA'C'是正三角形，∠BA'C' =60°，
所以直线BA'与AC所成的角为60°.
二、课堂探究
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）AC和DD1所成的角是________；
（2）AC和D1C1所成的角是________；
（3）AC和B1D1所成的角是________；
（4）AC和A1B所成的角是________.
（1）90°.
（2）45°.
（3）90°.
（4）60°.
二、课堂探究
【小试牛刀】
例2 如图（1）所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心.求证：AO1⊥BD.
证明：如图（2），连接B1D1，AB1，AD1，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知B1D1//BD，
所以AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角，
在△AB1D1中，因为AB1=AD1，O1为B1D1中点，
所以AO1⊥B1D1，又B1D1//BD，
所以AO1⊥BD.
二、课堂探究
【跟踪训练】
如图所示，在空间四边形ABCD中，AD =BC = 2，E，F分别是AB，CD的中点，EF= ．
求证：AD⊥BC．
二、课堂探究
【跟踪训练】
证明：如图所示，取BD 的中点H，连接EH，FH．
因为E是AB的中点，且AD =2，
所以EH∥AD，EH =1．同理FH∥BC，FH =1．
所以∠EHF（或其补角）是异面直线AD，BC所成的角．
因为EF= ，所以EH 2+FH 2=EF 2，
所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
二、课堂探究
【名师解惑】
证明两条异面直线垂直的关键是证明两条异面直线所成角为90°.
二、课堂探究
1. 如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( ).
A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直
ACD
三、课堂练习
三、课堂练习
C
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,①DA1与BC1平行;②DD1与BC1垂直;③A1B1与BC1垂直.以上三个结论中,正确结论的序号是( )
A.①② B.②③
C.③ D.①②③
三、课堂练习
3.如图所示,正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.
证明 如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
可知∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
4.如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，
求证：DB1⊥EF.
证明：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
三、课堂练习
四、课堂小结
（1）异面直线所成角的定义、范围及求法；
（2）异面直线相互垂直的定义，及直线与直线相互垂直的证明方法.
五、课后作业
必做题：完成学案后的课后巩固.
选做题：完成学案后的核心素养专练
谢谢大家