4.2.2 一元线性回归模型的应用 学案（含答案） 高二数学湘教版（2019）选择性必修2

4．2.2　一元线性回归模型的应用
学习目标
(1)通过实例，会用一元线性回归模型进行预测．(2)通过实例，能把非线性关系转化为近似的线性关系，求非线性回归方程．
课前预习
要点一　运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤
1．确定研究对象，明确哪个变量是因变量，哪个变量是自变量；
2．运用相关系数的计算公式，分析自变量与因变量之间的关系；
3．运用最小二乘法原理估计一元线性回归方程的系数，建立一元线性回归方程；
4．根据一元线性回归方程进行预测．
要点二　非线性回归
当样本点并没有分布在某条直线附近时，不能直接利用线性回归模型来刻画两个变量之间的关系，这就需要选择一个比较合适的代换变量，将原始数据进行代换，目的是把变量间的非线性关系转化为近似的线性关系，然后用建立线性回归方程的方法确定直线方程．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何两个变量都可以用一元线性回归关系进行合理的描述．(　　)
(2)对于一个样本，用最小二乘法估计得到的一元线性回归方程参数估计值是唯一的．(　　)
(3)任何两个相关关系的变量经过变换后都可以化为一元线性回归关系．(　　)
2．在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程＝x＋，并且由观测数据算得＝5，＝56，＝10.5，则当x＝10时，预测数值为(　　)
A．108.5 B．210
C．140 D．210.5
3．若某销售人员的提成y(元)关于销售业绩x(千元)的线性回归方程为＝50＋80x，则下列判断正确的是(　　)
A．销售业绩为1 000元时，提成一定是130元
B．销售业绩每提高1 000元，则提成约提高80元
C．销售业绩每提高1 000元，则提成约提高130元
D．当提成为120元时，销售业绩约为2 000元
4．为了解某社区居民的家庭年收入x与年支出y的关系，随机调查了该社区5户家庭，依据统计数据得到回归直线方程＝0.76x＋0.4，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为________万元．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　线性回归方程的应用
例1　某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价x(元)试销1天，得到如表单价x(元)与销量y(册)数据：
附：，
.
(1)根据表中数据，请建立y关于x的回归直线方程；
(2)预计今后的销售中，销量y(册)与单价x(元)服从(1)中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？
方法归纳
若已知y与x是线性相关关系，则可求出回归方程进行估计和预测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也毫无意义．
巩固训练1　某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x(单位：元/件)及相应月销售量y(单位：万件)，对近5个月的月销售单价xi和月销售量yi(i＝1，2，3，4，5)的数据进行了统计，得到如下表数据：
(1)求y关于x的回归直线方程；
(2)利用(1)的回归方程，当该产品月销售单价为x＝35元/件，月销售量y的预测值为多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式为：＝x＋，其中＝，
＝－.
题型2　非线性回归方程的应用
例2　科研人员在研制新冠肺炎疫苗过程中，利用小白鼠进行接种实验，现收集了小白鼠接种时的用药量x(单位：毫克)和有效度y的7组数据，得到如下散点图及其统计量的值：
其中.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx2哪一个更适合作为有效度y与用药量x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)若要使有效度达到75，则用药量至少为多少毫克？
方法归纳
求非线性回归方程的步骤
巩固训练2　在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
试建立y与x之间的线性回归方程．
4．2.2　一元线性回归模型的应用
课前预习
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：线性回归方程＝x＋中，＝5，＝56，＝10.5，
∴＝＝56－10.5×5＝3.5，
∴线性回归方程为＝10.5x＋3.5，
当x＝10时，预测数值＝10.5×10＋3.5＝108.5.故选A.
答案：A
3．解析：由线性回归方程＝50＋80x，可知销售业绩每提高1 000元，则提成约提高80元．故选B.
答案：B
4．解析：令x＝15，所以＝0.76×15＋0.4＝11.8.
答案：11.8
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由表格数据知：＝＝20，＝＝52，
∴＝＝＝－4，＝52＋4×20＝132，
∴y关于x的回归直线方程为＝－4x＋132.
(2)设获得的利润为W，则W＝(x－12)y＝(x－12)(－4x＋132)＝－4x2＋180x－1 584，
∴当x＝－＝22.5(元)时，W取得最大值，
即为了获得最大利润，该册书的单价应定为22.5元．
巩固训练1　解析：(1)＝＝20，＝＝8，
＝＝＝－，
＝8＋×20＝，
所以y关于x的回归直线方程为y＝－x＋.
(2)当x＝35时，y＝－×35＋＝，
所以当该产品月销售单价为x＝35元/件，月销售量y的预测值为万件．
例2　解析：(1)由散点图知，y与x是非线性相关关系，所以y＝c＋dx2更适合作为有效度y与用药量x的回归方程类型．
(2)令ωi＝，则y＝c＋dω，
∴＝＝＝1.6，
＝＝13.4－1.6×10.5＝－3.4，
∴＝－3.4＋1.6ω，
故y关于x的回归方程为＝－3.4＋1.6x2.
(3)当＝75时，有75＝－3.4＋1.6x2，解得x＝7，
故要使有效度达到75，则用药量至少为7毫克．
巩固训练2　解析：作出变量y与x之间的散点图，如图所示．
由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．
设y＝，令t＝，则y＝kt.
由y与x的数据表可得y与t的数据表：
t 4 2 1 0.5 0.25
y 16 12 5 2 1
作出y与t的散点图，如图所示：
由图可知y与t近似地呈线性相关关系．
又＝1.55，＝7.2，＝94.25，＝21.312 5，
＝＝≈4.134 4，
＝＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，∴＝4.134 4t＋0.8.
所以y与x的线性回归方程是＝＋0.8.