浙江省2025年中考真题数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025·浙江）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江）如图所示，直线被直线所截．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展.将数2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·浙江）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江）已知反比例函数．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
6．（2025·浙江）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为 3 ，则的长为）
A． B．4 C． D．5
7．（2025·浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B ，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，则 和 满足的方程组是
A． B．
C． D．
8．（2025·浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示.
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
9．（2025·浙江）如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江）如图 1，是直线上一点，为平面上一点，是上的一个动点，连结，设，关于的函数图象如图 2 所示，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．过
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·浙江）
12．（2025·浙江）不等式组的解集是
13．（2025·浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障．测得处到处的距离为 500 m ，从点观测点的仰角为，则处到处的距离为
14．（2025·浙江）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .
15．（2025·浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 腰开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ．
【应用体验】
已知 ，则 的值为 .
16．（2025·浙江）如图，矩形内接于是上一点，连结交于点，连接交于点， ，则 的直径为 .
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·浙江）化简求值：，其中
18．（2025·浙江）解分式方程：
19．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
20．（2025·浙江）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛.全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加，随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表.
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）： ，求该班获奖选手成绩的众数与中位数.
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数.
21．（2025·浙江）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法.
例如求 的近似值．
因为 ，
所以 ，则 可以设成以下两种形式：
① ，其中 ；
② ，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如图．
（1）【尝试探究】请用②的形式求的近似值（结果保留 2 位小数）．
（2）【比较分析】你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
22．（2025·浙江）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，长为半径的半圆，交 于点 ，与 相切于点 ，连接 ．
（1）求证：．
（2）若，求四边形的面积．
23．（2025·浙江）已知抛物线（为常数）经过点．
（1）求的值；
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求的值．
（3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之
间．若直线 之间的距离为 16 ，求 的最大值．
24．（2025·浙江）在菱形中，．
（1）如图 1，求的值．
（2）如图 2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】
解：A、是相反数，正确；
B、是本身，错误；
C、是负倒数，错误；
D、是倒数，错误；
故正确答案为：A.
【分析】把只有符号不同的两个数叫相反数，特别地，0的相反数是0.
2．【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：
故正确答案为：B.
【分析】
A、是的邻补角，即，故结论错误；
B、两直线平行，内错角相等，正确；
C、两直线平行，同旁内角互补，即，故结论错误；
D、两直线平行，同位角相等，即，故结论错误.
3．【答案】B
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解：26293亿=2629300000000=2.63931012
故正确答案为：B.
【分析】用科学记数法常一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
A、是俯视图，正确；
B、不是任何一种三视图，错误；
C、同上；
D、是左视图，错误；
故正确答案为：A.
【分析】从物体正面观察得到的图形叫主视图，从物体上面观察得到的图形叫俯视图，从物体左面观察得到的图形叫左视图.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】
解：中，
双曲线的两个分支分别在第二和第四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大
故正确答案为：C.
【分析】对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而减小；反之，当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大.
6．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】
解：如图所示，
五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形
【分析】位似图形是相似图形，位似比等于相似比，对应线段的比等于相似比.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，则由题意列方程线得：
故正确答案为：C.
【分析】设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，由相等关系“ 一共用了17张彩色纸和10捆细木条 ”列方程组即可.
8．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：由题意知：
科技类书箱数、文艺类书籍数
文艺类占比
其他类占比
【分析】观察条形统计图和扇形统计图可利用教育类总数去除以教育类的占比可得出某天的销售总量，再用销售总量分别减去科技类、教育类、其他类的书箱量可得到文艺类，再分别求出各种图书的占比即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；垂线段最短及其应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点Q作，垂足为C，连接AQ、BQ.
设抛物线的解析式为：
当时，，此时
，即
把代入到函数解析式中得：，解得：
当时，，即点在抛物线上.
【分析】由于直线外一点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此可过点Q作AB的垂线段QC，则PQ的最小值妈QC的长度，观察图象知QC=9，由于当AP=1时，PQ为15，则由勾股定理可求得此时PC=12，则AC=13，即，所以m=13；由于抛物线上关于对称轴对称的点到对称轴距离相等，则可计算得n=25；此时再利用二次函数图象上点的坐标特征把点E的坐标代入到解析式中可计算得a=1，再把顶点式转化为一般形式可得yc=250；最后再把点代入到函数解析式中检验即可.
11．【答案】2
【知识点】化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：原式=5-3=2
故正确答案为：2.
【分析】实数的混合运算，先开立方，再化简含有理数的绝对值，最后再加减即可.
12．【答案】-2＜x＜4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式得：
解不等式得：
不等式组的解集为：-2＜x＜4
故正确答案为：-2＜x＜4
【分析】解不等式组，先求出各不等式的解集，再按照“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出不等式组的解集即可.
13．【答案】490
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中、
答：A、B之间的距离为480m.
【分析】直接解直角三角形即可.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：列表得
1 4 5
2 < > >
3 < > >
6 < < <
共有9种等可能结果，其中甲牌面数大于乙牌面数的结果有4种
故正确答案为：；
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
15．【答案】8
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
【分析】直接对照公式可得.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，垂足为，连接AC、OE.
四边形ABCD是矩形
是的直径
，即
故正确答案为：.
【分析】连接AC，由矩形的性质知AC为圆的直径，则由圆周角定理可知三角形AEG为直角三角形，利用勾股定理可求得AE的长，再作斜边AG上的高EH，利用等面积法可求得EH的长，再利用勾股定理可得AH，即FH可得，再利用勾股定理可得EF的长；由于矩形的对边相等，即弦相等，再利用圆周角定理结合三角形外角的性质可证，连接OE，由于和都是等腰三角形且底角相等，则两三角形相似，由相似比即可得OA即半径的长，则直径AC可求.
17．【答案】解：原式
把代入得：原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简求值，先利用整式的混合运算进行化简，化简时先利用乘法分配律求出单项式与多项式的积，再合并同类项，最后再代入字母的值进行计算即可.
18．【答案】解：给方程两边都乘以得：
解方程得：
经检验，是原分式方程的根.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】解分式方程的一般步骤是先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，再验根，最后写解.
19．【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
20．【答案】（1）解：（1）先对数据按照从小到大的顺序排列得：83、83、83、88、90、91、91
中位数为88、众数为83；
（2）解：
答：总人数为840.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）中位数是指对一组数据按照从小到大的顺序排列后，按照数据总个数取最中间的一个或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是几个；
（2）先求出本校九年级获奖学生人数在抽样人数中的占比，再乘以全县九年级总班级数即可.
21．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ 比较小，
将 忽略不计，
∴ ，
即 。
得 ，
故 ．
（2）解：8.222=67.5684，
8.192=67.0761，
67.5684＞67.0761，
∴8.192更接近67，
故方法一得出的的近似值的精确度更高
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；近似计算的实际应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式，设这个近似数的小数部分为t，则t2可以忽略不计，解关于t的一元一次方程即可；
（2）对比方法一，试值法范围不好确定，故精确度不高.
22．【答案】（1）证明：
与⊙O相切
即
（2）解：如图，连接OC.
是等边三角形
同理 也为等边三角形，
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；同位角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角结合等量代换得，则，由切线的性质知，则两直线平行内错角相等得，即结论得证；
（2）连接OC，由于AB=BC=AC，则是等边三角形，同理可证也是等边三角形，则解可求得AE、AO的值，则可计算，则面积均可求得，由于同底等高，则面积比等于OB与OA的比，进而可求出的面积，即面积可求，再证，由面积比等于相似比可求得的面积，则四边形ODCE面积可求.
23．【答案】（1）解：把代入到函数解析式中得：
解得：
（2）解：
抛物线的对称轴为直线
设点B的坐标为，则C点坐标为
是中点
即，
解得：
（3）解：
当时，函数值有最小值
显然当函数值时，有最大值
即直线为，直线为
解得，
的最大值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）先把二次函数的一般转化为顶点式可得对称轴为直线，由于A、B、C三点的纵坐标相同，则B、C两点关直线对称，此时设点B的横坐标为x，则C的横坐标为（6-x），由于点B是线段AC的中点，则AB=BC，即可得到关于x的一元一次方程，解方程求出x，则纵坐标t可求；
（3）由于抛物线的顶点坐标为，即当有最大值时，这两条平行线中的一条必然过顶点，则由直线间的距离为16可得另一条直线为，此时由点的坐标特征可得直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，即此时、，则的最大值可求.
24．【答案】（1）解：如图所示，连接AC、BD，设交点为O.
四边形ABCD是菱形
（2）解：①如图所示，连接BD交AC于点O.
四边形ABCD是菱形
②如图所示，连接BP.
当最大时，最小
是射线上的动点
，即
当取最大值5时，的最小值为.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故连接AC、BD，设交点为O，则OA等于AC的一半等于4，由勾股定理可求得OB=3，再解直角三角形OAB即可；
（2） ① 当AC垂直EF时，由于AC垂直BD，则BD平行EF，由折叠的性质和平行线的性质结合等量代换可得，则DE=DB=6，即AE=AD+DE=11；
② 由于点P在射线AC上，且AC已知，则PA-PB可转化为AC-（PB-PC），显然当PB-PC取最大值时PA-PB有最小值，故连接PB，则由三角形三边关系定理可得，即PA-PB的最小值等于即等于3.
1 / 1浙江省2025年中考真题数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025·浙江）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】
解：A、是相反数，正确；
B、是本身，错误；
C、是负倒数，错误；
D、是倒数，错误；
故正确答案为：A.
【分析】把只有符号不同的两个数叫相反数，特别地，0的相反数是0.
2．（2025·浙江）如图所示，直线被直线所截．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：
故正确答案为：B.
【分析】
A、是的邻补角，即，故结论错误；
B、两直线平行，内错角相等，正确；
C、两直线平行，同旁内角互补，即，故结论错误；
D、两直线平行，同位角相等，即，故结论错误.
3．（2025·浙江）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展.将数2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解：26293亿=2629300000000=2.63931012
故正确答案为：B.
【分析】用科学记数法常一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中取这个数字整数部分数位个数与1的差.
4．（2025·浙江）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
A、是俯视图，正确；
B、不是任何一种三视图，错误；
C、同上；
D、是左视图，错误；
故正确答案为：A.
【分析】从物体正面观察得到的图形叫主视图，从物体上面观察得到的图形叫俯视图，从物体左面观察得到的图形叫左视图.
5．（2025·浙江）已知反比例函数．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】
解：中，
双曲线的两个分支分别在第二和第四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大
故正确答案为：C.
【分析】对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而减小；反之，当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大.
6．（2025·浙江）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为 3 ，则的长为）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】
解：如图所示，
五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形
【分析】位似图形是相似图形，位似比等于相似比，对应线段的比等于相似比.
7．（2025·浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B ，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，则 和 满足的方程组是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，则由题意列方程线得：
故正确答案为：C.
【分析】设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，由相等关系“ 一共用了17张彩色纸和10捆细木条 ”列方程组即可.
8．（2025·浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示.
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：由题意知：
科技类书箱数、文艺类书籍数
文艺类占比
其他类占比
【分析】观察条形统计图和扇形统计图可利用教育类总数去除以教育类的占比可得出某天的销售总量，再用销售总量分别减去科技类、教育类、其他类的书箱量可得到文艺类，再分别求出各种图书的占比即可.
9．（2025·浙江）如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
10．（2025·浙江）如图 1，是直线上一点，为平面上一点，是上的一个动点，连结，设，关于的函数图象如图 2 所示，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．过
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；垂线段最短及其应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点Q作，垂足为C，连接AQ、BQ.
设抛物线的解析式为：
当时，，此时
，即
把代入到函数解析式中得：，解得：
当时，，即点在抛物线上.
【分析】由于直线外一点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此可过点Q作AB的垂线段QC，则PQ的最小值妈QC的长度，观察图象知QC=9，由于当AP=1时，PQ为15，则由勾股定理可求得此时PC=12，则AC=13，即，所以m=13；由于抛物线上关于对称轴对称的点到对称轴距离相等，则可计算得n=25；此时再利用二次函数图象上点的坐标特征把点E的坐标代入到解析式中可计算得a=1，再把顶点式转化为一般形式可得yc=250；最后再把点代入到函数解析式中检验即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·浙江）
【答案】2
【知识点】化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：原式=5-3=2
故正确答案为：2.
【分析】实数的混合运算，先开立方，再化简含有理数的绝对值，最后再加减即可.
12．（2025·浙江）不等式组的解集是
【答案】-2＜x＜4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式得：
解不等式得：
不等式组的解集为：-2＜x＜4
故正确答案为：-2＜x＜4
【分析】解不等式组，先求出各不等式的解集，再按照“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出不等式组的解集即可.
13．（2025·浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障．测得处到处的距离为 500 m ，从点观测点的仰角为，则处到处的距离为
【答案】490
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中、
答：A、B之间的距离为480m.
【分析】直接解直角三角形即可.
14．（2025·浙江）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：列表得
1 4 5
2 < > >
3 < > >
6 < < <
共有9种等可能结果，其中甲牌面数大于乙牌面数的结果有4种
故正确答案为：；
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
15．（2025·浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 腰开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ．
【应用体验】
已知 ，则 的值为 .
【答案】8
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
【分析】直接对照公式可得.
16．（2025·浙江）如图，矩形内接于是上一点，连结交于点，连接交于点， ，则 的直径为 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，垂足为，连接AC、OE.
四边形ABCD是矩形
是的直径
，即
故正确答案为：.
【分析】连接AC，由矩形的性质知AC为圆的直径，则由圆周角定理可知三角形AEG为直角三角形，利用勾股定理可求得AE的长，再作斜边AG上的高EH，利用等面积法可求得EH的长，再利用勾股定理可得AH，即FH可得，再利用勾股定理可得EF的长；由于矩形的对边相等，即弦相等，再利用圆周角定理结合三角形外角的性质可证，连接OE，由于和都是等腰三角形且底角相等，则两三角形相似，由相似比即可得OA即半径的长，则直径AC可求.
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·浙江）化简求值：，其中
【答案】解：原式
把代入得：原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简求值，先利用整式的混合运算进行化简，化简时先利用乘法分配律求出单项式与多项式的积，再合并同类项，最后再代入字母的值进行计算即可.
18．（2025·浙江）解分式方程：
【答案】解：给方程两边都乘以得：
解方程得：
经检验，是原分式方程的根.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】解分式方程的一般步骤是先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，再验根，最后写解.
19．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
20．（2025·浙江）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛.全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加，随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表.
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）： ，求该班获奖选手成绩的众数与中位数.
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数.
【答案】（1）解：（1）先对数据按照从小到大的顺序排列得：83、83、83、88、90、91、91
中位数为88、众数为83；
（2）解：
答：总人数为840.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）中位数是指对一组数据按照从小到大的顺序排列后，按照数据总个数取最中间的一个或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是几个；
（2）先求出本校九年级获奖学生人数在抽样人数中的占比，再乘以全县九年级总班级数即可.
21．（2025·浙江）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法.
例如求 的近似值．
因为 ，
所以 ，则 可以设成以下两种形式：
① ，其中 ；
② ，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如图．
（1）【尝试探究】请用②的形式求的近似值（结果保留 2 位小数）．
（2）【比较分析】你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ 比较小，
将 忽略不计，
∴ ，
即 。
得 ，
故 ．
（2）解：8.222=67.5684，
8.192=67.0761，
67.5684＞67.0761，
∴8.192更接近67，
故方法一得出的的近似值的精确度更高
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；近似计算的实际应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式，设这个近似数的小数部分为t，则t2可以忽略不计，解关于t的一元一次方程即可；
（2）对比方法一，试值法范围不好确定，故精确度不高.
22．（2025·浙江）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，长为半径的半圆，交 于点 ，与 相切于点 ，连接 ．
（1）求证：．
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：
与⊙O相切
即
（2）解：如图，连接OC.
是等边三角形
同理 也为等边三角形，
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；同位角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角结合等量代换得，则，由切线的性质知，则两直线平行内错角相等得，即结论得证；
（2）连接OC，由于AB=BC=AC，则是等边三角形，同理可证也是等边三角形，则解可求得AE、AO的值，则可计算，则面积均可求得，由于同底等高，则面积比等于OB与OA的比，进而可求出的面积，即面积可求，再证，由面积比等于相似比可求得的面积，则四边形ODCE面积可求.
23．（2025·浙江）已知抛物线（为常数）经过点．
（1）求的值；
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求的值．
（3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之
间．若直线 之间的距离为 16 ，求 的最大值．
【答案】（1）解：把代入到函数解析式中得：
解得：
（2）解：
抛物线的对称轴为直线
设点B的坐标为，则C点坐标为
是中点
即，
解得：
（3）解：
当时，函数值有最小值
显然当函数值时，有最大值
即直线为，直线为
解得，
的最大值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）先把二次函数的一般转化为顶点式可得对称轴为直线，由于A、B、C三点的纵坐标相同，则B、C两点关直线对称，此时设点B的横坐标为x，则C的横坐标为（6-x），由于点B是线段AC的中点，则AB=BC，即可得到关于x的一元一次方程，解方程求出x，则纵坐标t可求；
（3）由于抛物线的顶点坐标为，即当有最大值时，这两条平行线中的一条必然过顶点，则由直线间的距离为16可得另一条直线为，此时由点的坐标特征可得直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，即此时、，则的最大值可求.
24．（2025·浙江）在菱形中，．
（1）如图 1，求的值．
（2）如图 2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
【答案】（1）解：如图所示，连接AC、BD，设交点为O.
四边形ABCD是菱形
（2）解：①如图所示，连接BD交AC于点O.
四边形ABCD是菱形
②如图所示，连接BP.
当最大时，最小
是射线上的动点
，即
当取最大值5时，的最小值为.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故连接AC、BD，设交点为O，则OA等于AC的一半等于4，由勾股定理可求得OB=3，再解直角三角形OAB即可；
（2） ① 当AC垂直EF时，由于AC垂直BD，则BD平行EF，由折叠的性质和平行线的性质结合等量代换可得，则DE=DB=6，即AE=AD+DE=11；
② 由于点P在射线AC上，且AC已知，则PA-PB可转化为AC-（PB-PC），显然当PB-PC取最大值时PA-PB有最小值，故连接PB，则由三角形三边关系定理可得，即PA-PB的最小值等于即等于3.
1 / 1
