福建省2025年中考数真题试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2025·福建）下列实数中，最小的数是（ ）
A．-1 B．0 C． D．2
2．（2025·福建）中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·福建）若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
4．（2025·福建）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1.云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.图2为其示意图，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·福建）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·福建）在分别写有-1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为（ ）
A．5° B．15° C．25° D．35°
8．（2025·福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C．x（5-x）=6 D．
9．（2025·福建）如图， PA与⊙O 相切于点A， PO 的延长线交⊙O 于点 C. AB∥PC，且交⊙O 于点 B.若 则 的大小为（ ）
A．30° B． C．60° D．
10．（2025·福建）已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2025·福建）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加1.5kg 记作 ，那么体重减少1kg应记作 .
12．（2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC， E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=AC=8m，则DE的长为 m.
13．（2025·福建）若反比例函数 的图象过点，则常数 k= .
14．（2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O 且与边AB， CD 分别相交于点 E，F.若 则△AOE 与△DOF 的面积之和为 .
15．（2025·福建）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
项目 员工 听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A B.（填“＞”“=”或“＜”）
16．（2025·福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克.
三、解答题：本题共9 小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2025·福建）计算：
18．（2025·福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， 求证：
19．（2025·福建）先化简，再求值： 其中
20．（2025·福建）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
日期 队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14 日 3月25 日 4月7日 4月17 日 4月27 日 5月8日 5月20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 方差分别是
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
（1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；
（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适 为什么
21．（2025·福建）如图， 是等边三角形，D是AB的中点， ，垂足为 C，EF 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD 于点 G.
（1）求 的大小；
（2）求证： 是等边三角形.
22．（2025·福建）如图，矩形ABCD中，
（1）求作正方形EFGH，使得点 E，G分别落在边AD， BC上，点 F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若 ，求（1）中所作的正方形的边长.
23．（2025·福建）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点A（1，t）， B（2，t）.
（1）求的值；
（2）已知二次函数 的最大值为
（i）求该二次函数的表达式；
（ii）若 为该二次函数图象上的不同两点，且
求证：
24．（2025·福建）阅读材料，回答问题.
主题 两个正数的积与商的位数探究
提 出 问 题 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2=92；35×21=735；663×11=7293；186×362=67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（ 位的正整数.
分析 探究 问题1 小明的猜想是否正确 若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
推广 延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 则称这个数的位数是 n+1，数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B=C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b.并且，当c≥a且 c≥b时，p = m+n-1；当c＜a且c＜b时，p =m+n. 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 其中a，b，c均为正数. 由A×B=C，得 即 （ * ） 当c≥a且c≥b时， 所以 又 所以 由（ *）知， 所以 当c≥a且c＜b时， ，所以 所以 与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，① ； 当c＜a且c＜b时，② 综上所述，命题成立.
拓展 迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么 的位数是多少 证明你的结论.
（1）解决问题1；
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；
（3）解决问题2.
25．（2025·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点 F. G是AB上一点， GD交AC于点 H，且.
（1）求证：
（2）求证：
（3）若 求 的周长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的估值；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-1<0<<2
故答案为：A.
【分析】比较大小即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解： A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称和中心对称图形的定义判断即可.
轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 由题意，得x-1≥0，
∴x≥1，
∴实数x的值可以是2
故答案为：D.
【分析】根据二次根式中被开方数非负判断即可.
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 从正面看，可得选项A的图形.
故答案为：A.
【分析】
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：可解得该不等式的解集为：x≤2.
故答案为C：.
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得.
6．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解： 画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，
∴概率为
故答案为：B.
【分析】 画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解： 根据题意得，∠ACB=45°，
∵AD∥BC，由猪蹄模型，
∴∠DEF=∠ACB+∠ADE=60°，
∴∠ADE=15°，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，利用猪蹄模型结论计算即可.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 由题意可得，x（5-x）=6 ，
故答案为：C.
【分析】 设矩形的一边长为x米，根据矩形的面积公式即可得到结论.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 如图，连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60°，
∵AB∥PC，
∴∠OAB=∠AOP=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BCP=60°，
故答案为：C.
【分析】 连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵y=3x2+bx+1，
∴当x=0时，y=1，
∴抛物线过点（0，1），
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∵
∴，
点A（-2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离 ，
∴，
故答案为：A.
【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可.
11．【答案】-1
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 体重减少1kg应记作-1，
故答案为：-1.
【分析】 增加和减少具有相反意义，根据正负数可以表示一对具有相反意义的量即可求解.
12．【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DE=0.5AB=4，
故答案为：4.
【分析】
由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算.
13．【答案】-2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解： 图象过点（-2，1），
∴k=-2×1=-2
故答案为：-2.
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
14．【答案】1
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=BO=1，CD∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴△DOF的面积=△BOE的面积，
∴△AOE与△DOF的面积之和=△BOA的面积= 1
故答案为：1.
【分析】 根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积=△BOE的面积，进而可以解决问题.
15．【答案】＞
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：甲的“说”比乙落后20分，而甲的“写”比乙高20分，
又∵“说”的权重比“写”高，而两人的最终成绩一致，
因此A>B
故答案为：>.
【分析】
根据加权平均数意义解答即可.
16．【答案】0.8
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解： 将F=0.5g，x=6.5-6=0.5代入F=kx，
得0.5g=0.5k，
解得k=g，
∴F与x的函数关系式为F=gx，
将x=6.8-6=0.8，F=mg代入F=gx，
得mg=0.8g，
解得m=0.8，
故答案为：0.8.
【分析】
利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x=6.8-6=0.8，F=mg代入求出m的值即可.
17．【答案】解：
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 根据零指数幂的性质、绝对值的性质和如何把二次根式化成最简二次根式进行计算即可.
18．【答案】证明：∵∠CBE=∠CDF，∠ABC +∠CBE=180°，∠ADC +∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴AB=AD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
由∠CBE=∠CDF，推导出∠ABC=∠ADC，而∠ACB=∠ACD，AC=AC，即可根据“AAS”证明△ABC≌△ADC，则AB=AD.
19．【答案】解：
当 时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 先把括号内的2写成分母是a的分式，再根据同分母分式相加法则计算括号里面的，再把除式的分子分解因式，除法写成乘法进行约分，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可.
20．【答案】（1）解：即
因为
所以
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定.
（2）解：由已知得，获奖分数线的平均数为
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适.
（3）解：选甲更合适.理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】 （1）根据方差公式可得a的值，再根据平均数和方差的意义解答即可；
（2）10次成绩判断，甲达到平均数的次数更多；
（3）根据两人10次成绩判断即可.
21．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∵D 是AB 的中点，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°，
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=120°，
又∵AB=CB，
∴BE 垂直平分AC，
由（1）知，∠GCE=60°，
∴∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）等边三角形的性质推出∠DCB=30°，垂直，得到∠BCE=90°，角的和差关系求出∠DCE的大小即可；
（2）平移得到CD∥EF，进而得到∠EAC=∠DCA=30°，角的和差关系推出∠EAC=∠ECA，进而得到AE=CE，∠AEC=120°，根据AB=CB，推出BE垂直平分AC，进而得到∠GEC=60°， 推出∠GEC=∠GCE=∠EGC，进而得到△CEG是等边三角形即可．
22．【答案】（1）解：如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形.
（2）解：连接EG交 BD 于点 O.
∵四边形 EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC.
∴OB=OD.
在Rt△ABD中，AB=2，AD=4，
∵四边形 EFGH是正方形，
∴EG⊥FH，
∴∠DOE=∠DAB=90°.
又∵∠ODE=∠ADB，
∴△EOD ∽△BAD，
即
在Rt△EOH中，OE=OH，
即正方形EFGH的边长为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 （1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；
（2）利用勾股定理求出BD，OD，再根据△EOD ∽△BAD，利用边的比例关系求解即可.
23．【答案】（1）解：二次函数 的图象的对称轴为
因为点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，所以 所以 所以
（2）解：（i）由（1）可得，b=-3a，
所以该函数的表达式为
函数图象的顶点坐标为
因为函数的最大值为
所以a＜0，且
解得a=-1，或a=4（舍去）.
所以该二次函数的表达式为
（ii）因为点 在函数 的图象上，所以
由（i）知，点 关于直线 对称，不妨设 则 即
所以
=0，
所以
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 （1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出x1+x2=3，然后对通分代入求解即可.
24．【答案】（1）解：小明的猜想不正确.
反例：3×4=12.
（2）解： 所以 所以 与（*）矛盾，不合题意；
所以 又 所以
由（ *）知 所以p=m+n.
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是m-n+1；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设 A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A.
由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，
此时，m=n+x- 1，所以x=m-n+ 1；
当a＜b时，必有a＜c，
此时，m=n+x，所以x=m-n.
综上所述，当A 的数字大于或等于B的数字时，的位数是m-n+1；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
【知识点】不等式的性质；证明过程；举反例判断命题真假
【解析】【分析】 （1）举反例即可；
（2）①当c＜a且c≥b时，可得所以 与（*）矛盾，不合题意；
②当c＜a且c＜b时，可得又 所以 得 p=m+n；
（3）设=C， A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A．当a≥b时，必有a≥c，m=n+x-1，即x=m-n+1；当a＜b时，必有a＜c，m=n+x，即x=m-n.
25．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB.
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB，
∵∠ADB=∠DBE +∠E，
∴∠ABC=∠DBE+∠E.
（2）证明：
∴∠ABD=∠ACD.
∵BG=DG，
∴∠BDG=∠ABD=∠ACD，
又∵∠DHF=∠CHD，
∴△HDF∽△HCD，
由（1）知，∠ABC=∠DBE +∠E，
又∵∠ABC=∠DBE+∠ABD，
∴∠ABD=∠E，
∴∠BDG=∠E.
∴ ∠ADG=∠DBC.
∴∠DAC=∠DBC，
∴∠ADG=∠DAC，
∴AH=DH，
（3）解：由（2）知，AH=DH，
∴△AGH 的周长为 .设DE=m，则
由（2）可知，∠ACD=∠E.
又∵∠CAD=∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
又∵
∴EC=3.
过点C作CP⊥AE，垂足为P，则.
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
又∵∠ADC +∠CDP=180°，
∴∠CDP=∠ABC，
∴在Rt△DCP中， 即
∴PD=1，
在 中，
解得m=3，或m=-1（舍去）.
∴△AGH 的周长为
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 （1）利用等腰三角形的性质定理和圆周角定理解答即可；
（2）连接CD，利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到AH=HD，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到HD2=HC HF，利用等量代换的性质解答即可得出结论；
（3）分析可得，△AGH的周长即为AB长，社DE=m，根据△ACD∽△AEC，得，从而得EC=3，过点C作CP⊥AE，垂足为P，根据圆内接四边形性质，得∠CDP=∠ABC，已知∠CDP的正切值，通过解直角三角形，得到PD=1，最后利用勾股定理列式解得m的值即可.
1 / 1福建省2025年中考数真题试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2025·福建）下列实数中，最小的数是（ ）
A．-1 B．0 C． D．2
【答案】A
【知识点】无理数的估值；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-1<0<<2
故答案为：A.
【分析】比较大小即可.
2．（2025·福建）中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解： A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称和中心对称图形的定义判断即可.
轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．（2025·福建）若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 由题意，得x-1≥0，
∴x≥1，
∴实数x的值可以是2
故答案为：D.
【分析】根据二次根式中被开方数非负判断即可.
4．（2025·福建）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1.云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.图2为其示意图，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 从正面看，可得选项A的图形.
故答案为：A.
【分析】
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.
5．（2025·福建）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：可解得该不等式的解集为：x≤2.
故答案为C：.
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得.
6．（2025·福建）在分别写有-1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解： 画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，
∴概率为
故答案为：B.
【分析】 画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可.
7．（2025·福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为（ ）
A．5° B．15° C．25° D．35°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解： 根据题意得，∠ACB=45°，
∵AD∥BC，由猪蹄模型，
∴∠DEF=∠ACB+∠ADE=60°，
∴∠ADE=15°，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，利用猪蹄模型结论计算即可.
8．（2025·福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C．x（5-x）=6 D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 由题意可得，x（5-x）=6 ，
故答案为：C.
【分析】 设矩形的一边长为x米，根据矩形的面积公式即可得到结论.
9．（2025·福建）如图， PA与⊙O 相切于点A， PO 的延长线交⊙O 于点 C. AB∥PC，且交⊙O 于点 B.若 则 的大小为（ ）
A．30° B． C．60° D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 如图，连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60°，
∵AB∥PC，
∴∠OAB=∠AOP=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BCP=60°，
故答案为：C.
【分析】 连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可.
10．（2025·福建）已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵y=3x2+bx+1，
∴当x=0时，y=1，
∴抛物线过点（0，1），
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∵
∴，
点A（-2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离 ，
∴，
故答案为：A.
【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2025·福建）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加1.5kg 记作 ，那么体重减少1kg应记作 .
【答案】-1
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 体重减少1kg应记作-1，
故答案为：-1.
【分析】 增加和减少具有相反意义，根据正负数可以表示一对具有相反意义的量即可求解.
12．（2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC， E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=AC=8m，则DE的长为 m.
【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DE=0.5AB=4，
故答案为：4.
【分析】
由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算.
13．（2025·福建）若反比例函数 的图象过点，则常数 k= .
【答案】-2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解： 图象过点（-2，1），
∴k=-2×1=-2
故答案为：-2.
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
14．（2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O 且与边AB， CD 分别相交于点 E，F.若 则△AOE 与△DOF 的面积之和为 .
【答案】1
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=BO=1，CD∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴△DOF的面积=△BOE的面积，
∴△AOE与△DOF的面积之和=△BOA的面积= 1
故答案为：1.
【分析】 根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积=△BOE的面积，进而可以解决问题.
15．（2025·福建）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
项目 员工 听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A B.（填“＞”“=”或“＜”）
【答案】＞
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：甲的“说”比乙落后20分，而甲的“写”比乙高20分，
又∵“说”的权重比“写”高，而两人的最终成绩一致，
因此A>B
故答案为：>.
【分析】
根据加权平均数意义解答即可.
16．（2025·福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克.
【答案】0.8
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解： 将F=0.5g，x=6.5-6=0.5代入F=kx，
得0.5g=0.5k，
解得k=g，
∴F与x的函数关系式为F=gx，
将x=6.8-6=0.8，F=mg代入F=gx，
得mg=0.8g，
解得m=0.8，
故答案为：0.8.
【分析】
利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x=6.8-6=0.8，F=mg代入求出m的值即可.
三、解答题：本题共9 小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2025·福建）计算：
【答案】解：
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 根据零指数幂的性质、绝对值的性质和如何把二次根式化成最简二次根式进行计算即可.
18．（2025·福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， 求证：
【答案】证明：∵∠CBE=∠CDF，∠ABC +∠CBE=180°，∠ADC +∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴AB=AD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
由∠CBE=∠CDF，推导出∠ABC=∠ADC，而∠ACB=∠ACD，AC=AC，即可根据“AAS”证明△ABC≌△ADC，则AB=AD.
19．（2025·福建）先化简，再求值： 其中
【答案】解：
当 时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 先把括号内的2写成分母是a的分式，再根据同分母分式相加法则计算括号里面的，再把除式的分子分解因式，除法写成乘法进行约分，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可.
20．（2025·福建）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
日期 队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14 日 3月25 日 4月7日 4月17 日 4月27 日 5月8日 5月20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 方差分别是
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
（1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；
（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适 为什么
【答案】（1）解：即
因为
所以
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定.
（2）解：由已知得，获奖分数线的平均数为
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适.
（3）解：选甲更合适.理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】 （1）根据方差公式可得a的值，再根据平均数和方差的意义解答即可；
（2）10次成绩判断，甲达到平均数的次数更多；
（3）根据两人10次成绩判断即可.
21．（2025·福建）如图， 是等边三角形，D是AB的中点， ，垂足为 C，EF 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD 于点 G.
（1）求 的大小；
（2）求证： 是等边三角形.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∵D 是AB 的中点，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°，
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=120°，
又∵AB=CB，
∴BE 垂直平分AC，
由（1）知，∠GCE=60°，
∴∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）等边三角形的性质推出∠DCB=30°，垂直，得到∠BCE=90°，角的和差关系求出∠DCE的大小即可；
（2）平移得到CD∥EF，进而得到∠EAC=∠DCA=30°，角的和差关系推出∠EAC=∠ECA，进而得到AE=CE，∠AEC=120°，根据AB=CB，推出BE垂直平分AC，进而得到∠GEC=60°， 推出∠GEC=∠GCE=∠EGC，进而得到△CEG是等边三角形即可．
22．（2025·福建）如图，矩形ABCD中，
（1）求作正方形EFGH，使得点 E，G分别落在边AD， BC上，点 F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若 ，求（1）中所作的正方形的边长.
【答案】（1）解：如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形.
（2）解：连接EG交 BD 于点 O.
∵四边形 EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC.
∴OB=OD.
在Rt△ABD中，AB=2，AD=4，
∵四边形 EFGH是正方形，
∴EG⊥FH，
∴∠DOE=∠DAB=90°.
又∵∠ODE=∠ADB，
∴△EOD ∽△BAD，
即
在Rt△EOH中，OE=OH，
即正方形EFGH的边长为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 （1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；
（2）利用勾股定理求出BD，OD，再根据△EOD ∽△BAD，利用边的比例关系求解即可.
23．（2025·福建）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点A（1，t）， B（2，t）.
（1）求的值；
（2）已知二次函数 的最大值为
（i）求该二次函数的表达式；
（ii）若 为该二次函数图象上的不同两点，且
求证：
【答案】（1）解：二次函数 的图象的对称轴为
因为点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，所以 所以 所以
（2）解：（i）由（1）可得，b=-3a，
所以该函数的表达式为
函数图象的顶点坐标为
因为函数的最大值为
所以a＜0，且
解得a=-1，或a=4（舍去）.
所以该二次函数的表达式为
（ii）因为点 在函数 的图象上，所以
由（i）知，点 关于直线 对称，不妨设 则 即
所以
=0，
所以
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 （1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出x1+x2=3，然后对通分代入求解即可.
24．（2025·福建）阅读材料，回答问题.
主题 两个正数的积与商的位数探究
提 出 问 题 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2=92；35×21=735；663×11=7293；186×362=67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（ 位的正整数.
分析 探究 问题1 小明的猜想是否正确 若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
推广 延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 则称这个数的位数是 n+1，数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B=C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b.并且，当c≥a且 c≥b时，p = m+n-1；当c＜a且c＜b时，p =m+n. 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 其中a，b，c均为正数. 由A×B=C，得 即 （ * ） 当c≥a且c≥b时， 所以 又 所以 由（ *）知， 所以 当c≥a且c＜b时， ，所以 所以 与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，① ； 当c＜a且c＜b时，② 综上所述，命题成立.
拓展 迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么 的位数是多少 证明你的结论.
（1）解决问题1；
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；
（3）解决问题2.
【答案】（1）解：小明的猜想不正确.
反例：3×4=12.
（2）解： 所以 所以 与（*）矛盾，不合题意；
所以 又 所以
由（ *）知 所以p=m+n.
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是m-n+1；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设 A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A.
由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，
此时，m=n+x- 1，所以x=m-n+ 1；
当a＜b时，必有a＜c，
此时，m=n+x，所以x=m-n.
综上所述，当A 的数字大于或等于B的数字时，的位数是m-n+1；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
【知识点】不等式的性质；证明过程；举反例判断命题真假
【解析】【分析】 （1）举反例即可；
（2）①当c＜a且c≥b时，可得所以 与（*）矛盾，不合题意；
②当c＜a且c＜b时，可得又 所以 得 p=m+n；
（3）设=C， A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A．当a≥b时，必有a≥c，m=n+x-1，即x=m-n+1；当a＜b时，必有a＜c，m=n+x，即x=m-n.
25．（2025·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点 F. G是AB上一点， GD交AC于点 H，且.
（1）求证：
（2）求证：
（3）若 求 的周长.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB.
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB，
∵∠ADB=∠DBE +∠E，
∴∠ABC=∠DBE+∠E.
（2）证明：
∴∠ABD=∠ACD.
∵BG=DG，
∴∠BDG=∠ABD=∠ACD，
又∵∠DHF=∠CHD，
∴△HDF∽△HCD，
由（1）知，∠ABC=∠DBE +∠E，
又∵∠ABC=∠DBE+∠ABD，
∴∠ABD=∠E，
∴∠BDG=∠E.
∴ ∠ADG=∠DBC.
∴∠DAC=∠DBC，
∴∠ADG=∠DAC，
∴AH=DH，
（3）解：由（2）知，AH=DH，
∴△AGH 的周长为 .设DE=m，则
由（2）可知，∠ACD=∠E.
又∵∠CAD=∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
又∵
∴EC=3.
过点C作CP⊥AE，垂足为P，则.
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
又∵∠ADC +∠CDP=180°，
∴∠CDP=∠ABC，
∴在Rt△DCP中， 即
∴PD=1，
在 中，
解得m=3，或m=-1（舍去）.
∴△AGH 的周长为
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 （1）利用等腰三角形的性质定理和圆周角定理解答即可；
（2）连接CD，利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到AH=HD，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到HD2=HC HF，利用等量代换的性质解答即可得出结论；
（3）分析可得，△AGH的周长即为AB长，社DE=m，根据△ACD∽△AEC，得，从而得EC=3，过点C作CP⊥AE，垂足为P，根据圆内接四边形性质，得∠CDP=∠ABC，已知∠CDP的正切值，通过解直角三角形，得到PD=1，最后利用勾股定理列式解得m的值即可.
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