湖南省岳阳市2025年中考数学二模试卷
1．（2025·岳阳模拟）下列实数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴最大的实数是．
故答案为：D．
【分析】根据实数的定义：一切正实数都大于零，一切负实数都小于零，任何正实数均大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此即可求解
2．（2025·岳阳模拟）在下列几何体中，俯视图为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的俯视图是正方形，因此本选项符合题意；
B、圆锥的俯视图是圆形，不是正方形，因此本选项不符合题意；
C、三棱柱的俯视图是三角形，不是正方形，因此本选项不符合题意；
D、圆柱的俯视图是圆形，不是正方形，因此本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据正方体、圆锥、圆柱、三棱柱的俯视图，然后再根据选项进行分析即可判断
3．（2025·岳阳模拟）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为；
故答案为：C．
【分析】根据点的平移规律：左右平移—纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移—横坐标不变，纵坐标上加下减。然后再根据点向下平移2个单位长度，则纵坐标减2，即可求解
4．（2025·岳阳模拟）“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句，在这句话中，“之”字出现的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵先天下之忧而忧，后天下之乐而乐一共有14个字，其中“之”有2个
∴“之”字出现的概率是：，
故答案为：C
【分析】根据“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”，可知，一共有14个字，其中“之”有2个，然后根据概率公式：可能发生的事件数除以总事件数，代入数据即可求出概率
5．（2025·岳阳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，正确，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方、合并同类项的方法，然后逐一对各个选项进行计算即可判断
6．（2025·岳阳模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故答案为：B。
【分析】先对不等式组进行标注，分别对两个不等式进行求解，根据等号用实心，大于号或者小于号用空信号，然后再将不等式的解集在数轴上标示出来即可
7．（2025·岳阳模拟）下列命题中，正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．对顶角相等
C．圆内接四边形对角相等 D．三角形的外角和为
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；轴对称图形；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，符合题意；
C、圆内接四边形对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角和为，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的特点，对顶角的性质以、圆内接四边形的性质和三角外角和的性质，逐一对各个选项逐一分析即可判断
8．（2025·岳阳模拟）如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理：，代入数据，求出AB的长，然后再结合D为AC的中点，可求出AD的长，易证 ，可得 ，代入数据，即可求出DE的长
9．（2025·岳阳模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车 设共有x辆车，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：．
故答案为：D．
【分析】根据总人数不变这一等量关系，然后再根据“每4人共乘一车，空余1车”和“每3人共乘一车，余9个人无车可乘”建立方程： ，即可求解
10．（2025·岳阳模拟）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴每三次变换为一个循环，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据新定义，可得，，，发现，每三次变换为一个循环，用2025除以循环节，求出循环数，即可求解
11．（2025·岳阳模拟）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
12．（2025·岳阳模拟）草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选5株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 方差
甲 79 81 80 78 82 80 2
乙 80 77 79 83 81 80 4
则每百克草莓中维生素含量更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由表可知：甲、乙的平均数相等，其中甲的方差比乙的方差小，所以每百克草莓中维生素含量更稳定的是甲；
故答案为：甲。
【分析】根据方差的意义： 方差越小越稳定，据此即可求解
13．（2025·岳阳模拟）人工智能分析平台最新发布的报告称，成为全球增长最快的工具，年月，其访问量达亿次．数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据科学记数法的方法：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解
14．（2025·岳阳模拟）如图，直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，若，则 ．
【答案】35
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵的直角顶点在直线a上，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，可知，再结合，又因为，据此即可求解
15．（2025·岳阳模拟）已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x2
因为一元二次方程的一个根是1．
根据根与系数的关系，，得．
故答案是：2．
【分析】设方程的另一个根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，可得，即可求解.
16．（2025·岳阳模拟）如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，的周长为，则的周长为 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，垂直平分线段，
，，
的周长为，
，
，
的周长为，
故答案为：．
【分析】根据做法的步骤，可知，EH是AB的垂直平分线，所以，AD=BD，所以三角形BCD的周长等于BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC；然后再根据三角形ABC的周长=AC+BC+AB=AC+BC+2AE=22，代入数据，求出AC+BC的值，即可求出三角形BCD的周长
17．（2025·岳阳模拟）已知，则代数式的值是 ．
【答案】5
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：5．
【分析】先将代数式进行通分，运算，约分，最后再将 代入，即可求解
18．（2025·岳阳模拟）如图1，先把一张矩形纸片对折两次，展开后得到三条折痕，设其中一条折痕为；如图2，再把点叠在折痕线上，得到，则：① ；② ．
【答案】90；
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正切值
【解析】【解答】解：过点作于点，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，垂足为点，四边形是矩形，
∵是由折叠得到的，
∴；
把一张矩形纸片对折两次，展开后得到三条折痕，设，则，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】根据折叠的性质，可得；过点作于点，则可得，设，则，求出，根据题干已知条件，易证，从而得出，代入数据，求出的值
19．（2025·岳阳模拟）计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负指数幂的运算法则，然后再结合特殊角的三角函数值，然后再进行加减运算即可
20．（2025·岳阳模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）是一次函数与轴的交点，过点作轴，垂足为，求的面积．
【答案】（1）解：一次函数过点．
，
点，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的关系式为；
（2）解：轴，垂足为，，
点，即，
．
答：三角形ABC的面积为3.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意，把点A的坐标代入一次函数的解析式可得关于m的方程，解方程求出m的值，再将点的坐标代入反比例函数关系式计算即可求解；
（2）根据三角形面积公式S=AC·OC计算可求解．
（1）解：一次函数过点．
，
点，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的关系式为；
（2）解：轴，垂足为，，
点，即，
．
21．（2025·岳阳模拟）为了引导师生走出教室、走向户外、走进阳光，享受更加健康活力的校园生活，促进学生身心健康发展．某学校严格落实教育部提出的要求，将课间时间延长至15分钟，分年级开展“阳光大课间”活动．九年级同学每天利用大课间时间进行跳绳训练，为了检验训练效果，九年级全体同学举办了一分钟跳绳比赛，并随机抽取了一部分同学一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下统计图和表格：
等级 次数 频数
不合格
合格
良好
优秀
请结合上述信息完成下列问题：
（1）此次抽取的学生人数为_____人；
（2）____，____；
（3）在扇形统计图中，“合格”等级对应的圆心角的度数是______；
（4）若该校九年级共有1200名学生，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
【答案】（1）40
（2）14；10；
（3）
（4）解：根据题意，可得
（人）
∴估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：人，
故答案为：40；
（2）解：人，
合格等级的人数为人，
故答案为：14；10；
（3）解：，
故答案为：。
【分析】（1）根据表格中数据，可知，良好对应“ ”，然后再结合条状图中良好的人数，用良好的人数除以其对应的占比，即可求出抽取的学生总人数。
（2）用抽取的学生人数乘以其对应的占比，即可求出b的值，然后再用抽取的学生总人数减去不合格、良好、优秀的人数，即可求出合格人数。
（3）用合格的人数除以学生总人数，求出其占比，然后再用360度乘以其占比，即可求出“合格”等级对应的圆心角的度数。
（4）用1200乘以样本中合格等级及以上等级的人数占比即可得到答案。
（1）解：根据题意得：人，
故答案为：40；
（2）解：人，
合格等级的人数为人，
故答案为：14；10；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：人，
∴估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为人．
22．（2025·岳阳模拟）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求线段长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）根据，据此可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，再根据，即可证四边形是平行四边形．
（2）根据勾股定理可得，代入数据即可求解，然后再根据等面积法得出AE的值，根据勾股定理，代入数据即可求解
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23．（2025·岳阳模拟）年月日至日，第四届湖南省旅游发展大会将在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”，它们既展现了岳阳的历史韵味，又寓意着岳阳旅游的繁荣与吉祥．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购买个“岳小楼”玩偶和个“江小豚”玩偶共需元，购进个“岳小楼”玩偶和个“江小豚”玩偶共需元．
（1）请问每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？
（2）该玩具店计划购进两种玩偶共个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为元，每个“江小豚”玩偶的售价为元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？
【答案】（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，根据题意可得：
，
解得：，
答：每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元
（2）解：设需要购进个“岳小楼”玩偶，根据题意，可得：
，
解得：，
答：至少需要购进个“岳小楼”玩偶．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，根据“购买2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元”，可建立方程：2x+3y=85；根据“购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元”，可建立方程：x+2y=50，然后再解这两个方程即可
（2）设需要购进个“岳小楼”玩偶，则需要购买“江小豚”（100-a）个，根据“利润=售价-进价”，用每个“岳小楼”的利润乘以购买“岳小楼”的数量加上每个“江小豚”的利润乘以“江小豚”的数量，然后再根据“ 两者总利润不得低于元 ”，据此建立不等式：，然后再解不等式即可
（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
答：每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元；
（2）设需要购进个“岳小楼”玩偶，
根据题意可得：，
解得：，
答：至少需要购进个“岳小楼”玩偶．
24．（2025·岳阳模拟）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度； 第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度．
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中的长度 1
图②中的长度 5
．．．．．． ．．．
（1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
（2）如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度．
【答案】（1）解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：，
则在直角三角形中（图②），根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
所以旗杆的高度为12米.
（2）解：作于点G，如图，
又∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∴；
该同学前进的距离的长约为米．
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（米），则在直角三角形中，根据勾股定理：，然后再代入数据，即可求解
（2）作于点G，根据题意易证四边形是矩形，米，在直角三角形中，根据勾股定理：，代入数据求出的值，据此即可求解
（1）解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：，
则在直角三角形中（图②），根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
所以旗杆的高度为12米.
（2）解：作于点G，如图，
又∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∴；
该同学前进的距离的长约为米．
25．（2025·岳阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值．
【答案】（1）解：∵的图象过点和，
∴，
解得，
∴此抛物线的表达式为。
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点，
∴点，
连接，
由函数的对称性质知，
∴四边形的周长，
当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，
∴四边形周长的最小值为，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴
（3）解：由题意得，抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，翻折后的解析式为，如图，
当直线与图中的新图象只有三个交点时，
则直线与只有唯一的一个交点，
联立得，
整理得，
则，
解得或，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
当时，代数式
，
∵当时，的值随的增大而减少，
故当时，代数式的值最大；
当时，的值随的增大而增大，
故当时，代数式的值最大；
又∵当时，；
当时，；
而，
∴当时，代数式的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将A和C的坐标代入，然后再利用待定系数法求得即可；
（2）连接，利用对称性求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，然后再根据勾股定理，求出BC的长，据此求解即可；
（3）根据抛物线翻折的定义，求出抛物线翻折后的抛物线，然后再根据直线与只有唯一的一个交点，利用根的判别式求得K的值，进而求出，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵的图象过点和，
∴，
解得，
∴此抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点，
∴点，
连接，
由函数的对称性质知，
∴四边形的周长，
当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，
∴四边形周长的最小值为，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（3）解：由题意得，抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，翻折后的解析式为，如图，
当直线与图中的新图象只有三个交点时，
则直线与只有唯一的一个交点，
联立得，
整理得，
则，
解得或，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
当时，代数式
，
∵当时，的值随的增大而减少，
故当时，代数式的值最大；
当时，的值随的增大而增大，
故当时，代数式的值最大；
又∵当时，；
当时，；
而，
∴当时，代数式的最大值为．
26．（2025·岳阳模拟）如图1，已知是的直径，为弦，点在上，连接交于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，为的切线，连接交于点，若为的平分线．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
（2）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
为的平分线，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过作交于，连接、，
，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
，
，
解得：，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由圆周角定理得，进而可得
（2）连接，结合圆的基本性质，易证，由全等三角形的性质得，，然后再根据切线的性质及等腰三角形的判定及性质得，即可求解；
（3）过作交于，连接、，设，由正切函数的定义，可设，，然后再根据勾股定理可得，，由相似三角形的判定定理，可得，由相似三角形的性质得，可求出的值，同理可得，求出的值，由三角形面积得，代入数据即可求解
（1）证明：连接，
，
，
，
；
（2）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
为的平分线，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过作交于，连接、，
，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
，
，
解得：，
．
1 / 1湖南省岳阳市2025年中考数学二模试卷
1．（2025·岳阳模拟）下列实数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·岳阳模拟）在下列几何体中，俯视图为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·岳阳模拟）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·岳阳模拟）“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句，在这句话中，“之”字出现的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·岳阳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·岳阳模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·岳阳模拟）下列命题中，正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．对顶角相等
C．圆内接四边形对角相等 D．三角形的外角和为
8．（2025·岳阳模拟）如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2025·岳阳模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车 设共有x辆车，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·岳阳模拟）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·岳阳模拟）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
12．（2025·岳阳模拟）草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选5株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 方差
甲 79 81 80 78 82 80 2
乙 80 77 79 83 81 80 4
则每百克草莓中维生素含量更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）．
13．（2025·岳阳模拟）人工智能分析平台最新发布的报告称，成为全球增长最快的工具，年月，其访问量达亿次．数据用科学记数法表示为 ．
14．（2025·岳阳模拟）如图，直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，若，则 ．
15．（2025·岳阳模拟）已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为 ．
16．（2025·岳阳模拟）如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，的周长为，则的周长为 ．
17．（2025·岳阳模拟）已知，则代数式的值是 ．
18．（2025·岳阳模拟）如图1，先把一张矩形纸片对折两次，展开后得到三条折痕，设其中一条折痕为；如图2，再把点叠在折痕线上，得到，则：① ；② ．
19．（2025·岳阳模拟）计算：
20．（2025·岳阳模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）是一次函数与轴的交点，过点作轴，垂足为，求的面积．
21．（2025·岳阳模拟）为了引导师生走出教室、走向户外、走进阳光，享受更加健康活力的校园生活，促进学生身心健康发展．某学校严格落实教育部提出的要求，将课间时间延长至15分钟，分年级开展“阳光大课间”活动．九年级同学每天利用大课间时间进行跳绳训练，为了检验训练效果，九年级全体同学举办了一分钟跳绳比赛，并随机抽取了一部分同学一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下统计图和表格：
等级 次数 频数
不合格
合格
良好
优秀
请结合上述信息完成下列问题：
（1）此次抽取的学生人数为_____人；
（2）____，____；
（3）在扇形统计图中，“合格”等级对应的圆心角的度数是______；
（4）若该校九年级共有1200名学生，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
22．（2025·岳阳模拟）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求线段长．
23．（2025·岳阳模拟）年月日至日，第四届湖南省旅游发展大会将在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”，它们既展现了岳阳的历史韵味，又寓意着岳阳旅游的繁荣与吉祥．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购买个“岳小楼”玩偶和个“江小豚”玩偶共需元，购进个“岳小楼”玩偶和个“江小豚”玩偶共需元．
（1）请问每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？
（2）该玩具店计划购进两种玩偶共个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为元，每个“江小豚”玩偶的售价为元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？
24．（2025·岳阳模拟）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度； 第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度．
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中的长度 1
图②中的长度 5
．．．．．． ．．．
（1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
（2）如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度．
25．（2025·岳阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值．
26．（2025·岳阳模拟）如图1，已知是的直径，为弦，点在上，连接交于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，为的切线，连接交于点，若为的平分线．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积（结果用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴最大的实数是．
故答案为：D．
【分析】根据实数的定义：一切正实数都大于零，一切负实数都小于零，任何正实数均大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此即可求解
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的俯视图是正方形，因此本选项符合题意；
B、圆锥的俯视图是圆形，不是正方形，因此本选项不符合题意；
C、三棱柱的俯视图是三角形，不是正方形，因此本选项不符合题意；
D、圆柱的俯视图是圆形，不是正方形，因此本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据正方体、圆锥、圆柱、三棱柱的俯视图，然后再根据选项进行分析即可判断
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为；
故答案为：C．
【分析】根据点的平移规律：左右平移—纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移—横坐标不变，纵坐标上加下减。然后再根据点向下平移2个单位长度，则纵坐标减2，即可求解
4．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵先天下之忧而忧，后天下之乐而乐一共有14个字，其中“之”有2个
∴“之”字出现的概率是：，
故答案为：C
【分析】根据“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”，可知，一共有14个字，其中“之”有2个，然后根据概率公式：可能发生的事件数除以总事件数，代入数据即可求出概率
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，正确，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方、合并同类项的方法，然后逐一对各个选项进行计算即可判断
6．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故答案为：B。
【分析】先对不等式组进行标注，分别对两个不等式进行求解，根据等号用实心，大于号或者小于号用空信号，然后再将不等式的解集在数轴上标示出来即可
7．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；轴对称图形；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，符合题意；
C、圆内接四边形对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角和为，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的特点，对顶角的性质以、圆内接四边形的性质和三角外角和的性质，逐一对各个选项逐一分析即可判断
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理：，代入数据，求出AB的长，然后再结合D为AC的中点，可求出AD的长，易证 ，可得 ，代入数据，即可求出DE的长
9．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：．
故答案为：D．
【分析】根据总人数不变这一等量关系，然后再根据“每4人共乘一车，空余1车”和“每3人共乘一车，余9个人无车可乘”建立方程： ，即可求解
10．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴每三次变换为一个循环，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据新定义，可得，，，发现，每三次变换为一个循环，用2025除以循环节，求出循环数，即可求解
11．【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
12．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由表可知：甲、乙的平均数相等，其中甲的方差比乙的方差小，所以每百克草莓中维生素含量更稳定的是甲；
故答案为：甲。
【分析】根据方差的意义： 方差越小越稳定，据此即可求解
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据科学记数法的方法：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解
14．【答案】35
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵的直角顶点在直线a上，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，可知，再结合，又因为，据此即可求解
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x2
因为一元二次方程的一个根是1．
根据根与系数的关系，，得．
故答案是：2．
【分析】设方程的另一个根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，可得，即可求解.
16．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，垂直平分线段，
，，
的周长为，
，
，
的周长为，
故答案为：．
【分析】根据做法的步骤，可知，EH是AB的垂直平分线，所以，AD=BD，所以三角形BCD的周长等于BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC；然后再根据三角形ABC的周长=AC+BC+AB=AC+BC+2AE=22，代入数据，求出AC+BC的值，即可求出三角形BCD的周长
17．【答案】5
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：5．
【分析】先将代数式进行通分，运算，约分，最后再将 代入，即可求解
18．【答案】90；
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正切值
【解析】【解答】解：过点作于点，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，垂足为点，四边形是矩形，
∵是由折叠得到的，
∴；
把一张矩形纸片对折两次，展开后得到三条折痕，设，则，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】根据折叠的性质，可得；过点作于点，则可得，设，则，求出，根据题干已知条件，易证，从而得出，代入数据，求出的值
19．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负指数幂的运算法则，然后再结合特殊角的三角函数值，然后再进行加减运算即可
20．【答案】（1）解：一次函数过点．
，
点，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的关系式为；
（2）解：轴，垂足为，，
点，即，
．
答：三角形ABC的面积为3.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意，把点A的坐标代入一次函数的解析式可得关于m的方程，解方程求出m的值，再将点的坐标代入反比例函数关系式计算即可求解；
（2）根据三角形面积公式S=AC·OC计算可求解．
（1）解：一次函数过点．
，
点，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的关系式为；
（2）解：轴，垂足为，，
点，即，
．
21．【答案】（1）40
（2）14；10；
（3）
（4）解：根据题意，可得
（人）
∴估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：人，
故答案为：40；
（2）解：人，
合格等级的人数为人，
故答案为：14；10；
（3）解：，
故答案为：。
【分析】（1）根据表格中数据，可知，良好对应“ ”，然后再结合条状图中良好的人数，用良好的人数除以其对应的占比，即可求出抽取的学生总人数。
（2）用抽取的学生人数乘以其对应的占比，即可求出b的值，然后再用抽取的学生总人数减去不合格、良好、优秀的人数，即可求出合格人数。
（3）用合格的人数除以学生总人数，求出其占比，然后再用360度乘以其占比，即可求出“合格”等级对应的圆心角的度数。
（4）用1200乘以样本中合格等级及以上等级的人数占比即可得到答案。
（1）解：根据题意得：人，
故答案为：40；
（2）解：人，
合格等级的人数为人，
故答案为：14；10；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：人，
∴估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为人．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）根据，据此可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，再根据，即可证四边形是平行四边形．
（2）根据勾股定理可得，代入数据即可求解，然后再根据等面积法得出AE的值，根据勾股定理，代入数据即可求解
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，根据题意可得：
，
解得：，
答：每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元
（2）解：设需要购进个“岳小楼”玩偶，根据题意，可得：
，
解得：，
答：至少需要购进个“岳小楼”玩偶．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，根据“购买2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元”，可建立方程：2x+3y=85；根据“购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元”，可建立方程：x+2y=50，然后再解这两个方程即可
（2）设需要购进个“岳小楼”玩偶，则需要购买“江小豚”（100-a）个，根据“利润=售价-进价”，用每个“岳小楼”的利润乘以购买“岳小楼”的数量加上每个“江小豚”的利润乘以“江小豚”的数量，然后再根据“ 两者总利润不得低于元 ”，据此建立不等式：，然后再解不等式即可
（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
答：每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元；
（2）设需要购进个“岳小楼”玩偶，
根据题意可得：，
解得：，
答：至少需要购进个“岳小楼”玩偶．
24．【答案】（1）解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：，
则在直角三角形中（图②），根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
所以旗杆的高度为12米.
（2）解：作于点G，如图，
又∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∴；
该同学前进的距离的长约为米．
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（米），则在直角三角形中，根据勾股定理：，然后再代入数据，即可求解
（2）作于点G，根据题意易证四边形是矩形，米，在直角三角形中，根据勾股定理：，代入数据求出的值，据此即可求解
（1）解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：，
则在直角三角形中（图②），根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
所以旗杆的高度为12米.
（2）解：作于点G，如图，
又∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∴；
该同学前进的距离的长约为米．
25．【答案】（1）解：∵的图象过点和，
∴，
解得，
∴此抛物线的表达式为。
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点，
∴点，
连接，
由函数的对称性质知，
∴四边形的周长，
当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，
∴四边形周长的最小值为，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴
（3）解：由题意得，抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，翻折后的解析式为，如图，
当直线与图中的新图象只有三个交点时，
则直线与只有唯一的一个交点，
联立得，
整理得，
则，
解得或，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
当时，代数式
，
∵当时，的值随的增大而减少，
故当时，代数式的值最大；
当时，的值随的增大而增大，
故当时，代数式的值最大；
又∵当时，；
当时，；
而，
∴当时，代数式的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将A和C的坐标代入，然后再利用待定系数法求得即可；
（2）连接，利用对称性求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，然后再根据勾股定理，求出BC的长，据此求解即可；
（3）根据抛物线翻折的定义，求出抛物线翻折后的抛物线，然后再根据直线与只有唯一的一个交点，利用根的判别式求得K的值，进而求出，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵的图象过点和，
∴，
解得，
∴此抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点，
∴点，
连接，
由函数的对称性质知，
∴四边形的周长，
当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，
∴四边形周长的最小值为，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（3）解：由题意得，抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，翻折后的解析式为，如图，
当直线与图中的新图象只有三个交点时，
则直线与只有唯一的一个交点，
联立得，
整理得，
则，
解得或，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
当时，代数式
，
∵当时，的值随的增大而减少，
故当时，代数式的值最大；
当时，的值随的增大而增大，
故当时，代数式的值最大；
又∵当时，；
当时，；
而，
∴当时，代数式的最大值为．
26．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
（2）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
为的平分线，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过作交于，连接、，
，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
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解得：，
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解得：，
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解得：，
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解得：，
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【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由圆周角定理得，进而可得
（2）连接，结合圆的基本性质，易证，由全等三角形的性质得，，然后再根据切线的性质及等腰三角形的判定及性质得，即可求解；
（3）过作交于，连接、，设，由正切函数的定义，可设，，然后再根据勾股定理可得，，由相似三角形的判定定理，可得，由相似三角形的性质得，可求出的值，同理可得，求出的值，由三角形面积得，代入数据即可求解
（1）证明：连接，
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，
；
（2）证明：连接，
是的直径，
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，
，
为的平分线，
，
在和中
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（），
，，
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，
为的切线，
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；
（3）解：过作交于，连接、，
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设，
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，，
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整理得：，
解得：，（舍去），
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由（1）得，
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，，
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解得：，
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解得：，
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解得：，
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解得：，
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