广东省清远市清城区2025年中考二模数学试题
1．（2025·清城模拟）的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．（2025·清城模拟）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，据此即可判断
3．（2025·清城模拟）截止至2024年12月底，广东清远市的常住人口约为397万人，397万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：397万．
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数，据此即可求解
4．（2025·清城模拟）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式：
去括号得
移项得
系数化为1得
在数轴上表示为右边的部分（不包括），
故答案为：A。
【分析】先求出不等式的解集，然后根据在表示解集时， 要用实心圆点表示， 要用空心圆点表示，据此即可求解。
5．（2025·清城模拟）下列式子计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.， 故该选项符合题意；
D.， 故该选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，然后再逐一对各个选项进行分析，即可求解
6．（2025·清城模拟）如图，直线，直线与直线分别相交于点和，，垂足为点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，
直线交于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：C 。
【分析】根据直线 交于点A，可得，根据平行线的性质以及垂直的定义，可得，，即，由此即可求解。
7．（2025·清城模拟）对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限
B．函数图象经过点
C．函数图象与y轴的交点坐标为
D．y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：对于一次函数，
∵，，
∴函数图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故A正确，D错误，
当时，，即函数图象经过点，故B正确，
当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故C正确，
故答案为：D。
【分析】根据一次函数图象的性质，确定函数经过的象限；令y=0，求出x的值，即可求出函数经过的定点坐标；令x=0，求出y的值，即可求出交点坐标；根据一次函数的K值，据此即可求解
8．（2025·清城模拟）如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∴斜坡的坡度为；
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理求出的长，根据斜坡的坡度等于的值，然后再根据正切函数的定义，对AB进行求解即可。
9．（2025·清城模拟）如图，在矩形中，，，交于点，交于点，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：。
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据，代入数据，即可求解。
10．（2025·清城模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴该图象经过点；故①正确；
由图象可知：，
∵对称轴为，
∴，
∴；故②④错误；
∵图象经过点；
∴，故③正确；
故答案为：B。
【分析】根据二次函数的对称性和A点坐标，即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标；根据图像的开口与y的交点，可确定a和c的范围；然后再根据对称轴的公式，可确定b和a的关系，进而可得bc的符号；再根据 图象经过点 ，将该点坐标代入二次函数的解析式，即可判断
11．（2025·清城模拟）9的算术平方根是 ．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．（2025·清城模拟） ．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：。
故答案为：。
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，然后再对各个式子进行运算，最后再进行加减运算即可
13．（2025·清城模拟）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，∴所得点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴.
故答案为：．
【分析】根据点的坐标的平移规律“右加左减、上加下减”即可求解．
14．（2025·清城模拟）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
【答案】或
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：或。
【分析】根据正方形的性质，易得 ，然后根据平行线的性质，可得 ，易证四边形是矩形，求出AB的值，最后再根据黄金分割的定义可得，代入数据，即可求出BC的值。
15．（2025·清城模拟）在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设此圆锥的母线长为R，
根据题意得，
解得，即在中，，
∴由勾股定理，可得，
即此圆锥的高为．
故答案为：。
【分析】设此圆锥的母线长为R，观察图形，可知圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 ，求出R的值，在中 ，根据勾股定理，即可求出OA的长。
16．（2025·清城模拟）基本概念与代数推理：
（1）若两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，则括号里面可填______；
（2）请说明，不管取何值，二次根式有意义．
【答案】（1）或
（2）解：
不管取何值，二次根式都有意义。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，
括号里面可填或，
故答案为：或。
【分析】（1）根据平方差公式的定义，然后再进行求解即可。
（2）先对二次根式进行展开，然后再进行运算，最后再根据完全平方的性质，即可求解
（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，
括号里面可填或，
故答案为：或；
（2）不管取何值，二次根式都有意义．
17．（2025·清城模拟）为了贯彻落实“阳光2小时”，清远某学校准备一次性购买若干个足球和篮球，已知用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍，且篮球的单价比足球多30元，求足球与篮球的单价．
【答案】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意得：，解得：，
经检验，为原分式方程的解，并符合题意，
所以，篮球的单价为元；
答：足球与篮球的单价分别为90元和120元。
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍”，建立等量关系，列出分式方程然后再进行求解并检验即可。
18．（2025·清城模拟）如图，在中，点E为中点，交于点D．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断（1）中得到的四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如答图所示，为所求，
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：
由（1）得，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，然后再进行画图即可
（2）根据（1）易得，然后再根据平行四边形的判定定理，即可证明。
（1）解：如答图所示，为所求，
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：
由（1）得，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形．
19．（2025·清城模拟）“国家喊你该减肥了”，国家卫生健康委联合民政部等部门启动实施了“体重管理年”行动.某社区积极响应，安装了两款健身器材，方便居民健身活动，并对两款健身器材进行了满意度测评，社区工作人员从居民对两款健身器材的满意度评分中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析．（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，单位：分）抽取的对款健身器材的评分数据中“满意”包含的所有数据：，，，，，；抽取的对B款健身器材的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的对款健身器材的满意度评分统计表
健身器材 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______；
（2）若有名居民对款健身器材进行评分，请你估计“满意”的有多少人；
（3）社区甲乙两人进行健身活动，用列表或树状图求甲选器材乙选器材的概率．
【答案】（1）15
（2）解：由题意可得，抽取的人数中“对B款健身器材满意”的有8人，
（人），
答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为320人。
（3）解：列表如下：
甲
乙
由表知，共有种等可能得结果，其中甲选器材乙选器材的有1种结果，
∴甲选器材乙选器材的概率为。
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，对A款健身器材“满意”的百分比为：，
∴对A款健身器材“比较满意”的百分比：，
∴，
故答案为：15。
【分析】（1）根据题干信息，找出A款器材在的分数有：，，，，， ，一共有6个，然后用6除以20，求出A款器材满意的占比，然后用1分别减去非常满意、满意、不满意的占比，即可求出比较满意的占比。
（2）用对B款健身器材满意的人数除以抽取的总人数，然后再乘以800，即可求解。
（3）根据题意列出表格，然后再根据概率的公式，据此即可求解。
（1）解：由题意得，对款健身器材“满意”的百分比为，
∴对款健身器材“比较满意”的百分比，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，抽取的人数中“对款健身器材满意”的有人，
（人），
答：估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为人；
（3）解：列表如下：
甲 乙
由表知，共有种等可能得结果，其中甲选器材乙选器材的有种结果，
∴甲选器材乙选器材的概率为．
20．（2025·清城模拟）如图，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求，的值，并求反比例函数的解析式；
（2）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】（1）解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得：，
，
，，
将代入反比例函数中得：，
解得：，
反比例函数的解析式为。
（2）解：如图，
当时，，
解得：，
，
设，则，
的面积为，，
，
，
即，
解得：或，
当的面积为时，点的坐标为或
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将，两点分别代入，即可求出，的值，进而求出、两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入，据此即可求出其解析式；
（2）令y=0，先求出，C的坐标，设，则，根据，代入数据求出的值，即，求出，即可求解。
（1）解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得：，
，
，，
将代入反比例函数中得：，
解得：，
反比例函数的解析式为；
（2）如图，
当时，，
解得：，
，
设，则，
的面积为，，
，
，
即，
解得：或，
当的面积为时，点的坐标为或．
21．（2025·清城模拟）综合与实践
【主题】自制环保笔筒
【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶．
【实践操作】
步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；
步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；
步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；
步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒．
【实践探索】
（1）求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留）
（2）如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号）
【答案】（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图
由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积
∴裁剪出的包装纸的面积为。
（2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短，
∴绕2圈所需绳子的最短长度为
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆柱的侧面积和表面积
【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面展开图为长方形，然后再利用圆柱形的侧面积的公式即可求解
（2） 作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，可得，此时最短 ，然后再根据勾股定理，求出AE即可
（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图
由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积
∴裁剪出的包装纸的面积为
（2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短，
∴绕2圈所需绳子的最短长度为
22．（2025·清城模拟）抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．
【答案】（1）解：将、两点代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：。
（2）解：∵、，
∴，，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵∠，
∴，即为等腰直角三角形，，
∴，，
设直线的解析式为，
将、两点分别代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设与y轴的交点为S，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，
解得：
∴点D坐标为
∵，
∴
∴
解得：，
∵点P在第四象限，
∴，
将代入抛物线得：，
∴此时点P坐标为。
（3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H，
设，直线的表达式为：，
将P，C的坐标代入得，，
解得：，
∴直线的表达式为：，
将代入得，，即，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去）。
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将将、两点代入，建立方程组：，最后再解方程组即可
（2）根据B和C的坐标，易得为等腰直角三角形，，得到，，设直线的解析式为，将B和C的坐标代入，求出直线的解析式；过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，可求出，，，易证
，则可求出E的坐标，设与y轴的交点为S，可得，，求出直线解析式，得到点D坐标为，根据，代入数据即可求解。
（3）作轴，连接交x轴于点H，设，直线的表达式为：，将P，C的坐标代入，求出直线的表达式，由可表示，分别求，证，利用相似三角形的性质列出比例式即可求解。
（1）解：将、两点代入，得，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵、，
∴，，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵∠，
∴，即为等腰直角三角形，，
∴，，
设直线的解析式为，
将、两点分别代入得，，
解得，
∴直线的解析式为；
如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设与y轴的交点为S，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得：
∴点D坐标为
∵，
∴
∴
解得：，
∵点P在第四象限，
∴，
将代入抛物线得：，
∴此时点P坐标为；
（3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H，
设，直线的表达式为：，
将P，C的坐标代入得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
将代入得，，即，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
23．（2025·清城模拟）如1图，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：1图中，数线段与的量关系是______，位置关系是______；
（2）探究证明：如2图在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．把绕点逆时针方向旋转到3图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的基础上，把绕点在平面内自由旋转，若，，请你求出周长的最大值．
【答案】（1），
（2）解：是直角三角形，理由如下：
连接，
，，
，
由旋转知，，
，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，，
，
，
，
是直角三形。
（3）解：由（2）可得，，，，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
，，
，
周长为，
当最大，即最大时，的周长最大，
当点在的延长线上时，最大值为，
的最大值为，
的最大为，
周长的最大值为。
【知识点】旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：，，
，即，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
，
，
，即，
数线段与的量关系是，位置关系是，
故答案为：，。
【分析】（1）根据题意，易得，根据中位线定理，可得，，，，可知，，，再根据，可得，推出，即可求解；
（2）根据旋转知，，易证，得到，根据三角形的中位线定理可得
，，可得，，然后再结合
，即可求解；
（3）由（2）可得，易得，，，推出，根据中位线定理得到，，推出，根据勾股定理求出，则周长为，得到当最大，即最大时，的周长最大，当点在的延长线上时，取得最大值，进而得到最大值，的最大值，即可求解．
（1）解：，，
，即，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
，
，
，即，
数线段与的量关系是，位置关系是，
故答案为：，；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
连接，
，，
，
由旋转知，，
，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，，
，
，
，
是直角三形；
（3）由（2）可得，，，，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
，，
，
周长为，
当最大，即最大时，的周长最大，
当点在的延长线上时，最大值为，
的最大值为，
的最大为，
周长的最大值为．
1 / 1广东省清远市清城区2025年中考二模数学试题
1．（2025·清城模拟）的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
2．（2025·清城模拟）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·清城模拟）截止至2024年12月底，广东清远市的常住人口约为397万人，397万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·清城模拟）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·清城模拟）下列式子计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·清城模拟）如图，直线，直线与直线分别相交于点和，，垂足为点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·清城模拟）对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限
B．函数图象经过点
C．函数图象与y轴的交点坐标为
D．y随x的增大而减小
8．（2025·清城模拟）如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·清城模拟）如图，在矩形中，，，交于点，交于点，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·清城模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025·清城模拟）9的算术平方根是 ．
12．（2025·清城模拟） ．
13．（2025·清城模拟）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ．
14．（2025·清城模拟）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
15．（2025·清城模拟）在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为 ．
16．（2025·清城模拟）基本概念与代数推理：
（1）若两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，则括号里面可填______；
（2）请说明，不管取何值，二次根式有意义．
17．（2025·清城模拟）为了贯彻落实“阳光2小时”，清远某学校准备一次性购买若干个足球和篮球，已知用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍，且篮球的单价比足球多30元，求足球与篮球的单价．
18．（2025·清城模拟）如图，在中，点E为中点，交于点D．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断（1）中得到的四边形的形状，并说明理由．
19．（2025·清城模拟）“国家喊你该减肥了”，国家卫生健康委联合民政部等部门启动实施了“体重管理年”行动.某社区积极响应，安装了两款健身器材，方便居民健身活动，并对两款健身器材进行了满意度测评，社区工作人员从居民对两款健身器材的满意度评分中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析．（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，单位：分）抽取的对款健身器材的评分数据中“满意”包含的所有数据：，，，，，；抽取的对B款健身器材的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的对款健身器材的满意度评分统计表
健身器材 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______；
（2）若有名居民对款健身器材进行评分，请你估计“满意”的有多少人；
（3）社区甲乙两人进行健身活动，用列表或树状图求甲选器材乙选器材的概率．
20．（2025·清城模拟）如图，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求，的值，并求反比例函数的解析式；
（2）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标．
21．（2025·清城模拟）综合与实践
【主题】自制环保笔筒
【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶．
【实践操作】
步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；
步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；
步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；
步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒．
【实践探索】
（1）求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留）
（2）如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号）
22．（2025·清城模拟）抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．
23．（2025·清城模拟）如1图，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：1图中，数线段与的量关系是______，位置关系是______；
（2）探究证明：如2图在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．把绕点逆时针方向旋转到3图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的基础上，把绕点在平面内自由旋转，若，，请你求出周长的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，据此即可判断
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：397万．
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数，据此即可求解
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式：
去括号得
移项得
系数化为1得
在数轴上表示为右边的部分（不包括），
故答案为：A。
【分析】先求出不等式的解集，然后根据在表示解集时， 要用实心圆点表示， 要用空心圆点表示，据此即可求解。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.， 故该选项符合题意；
D.， 故该选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，然后再逐一对各个选项进行分析，即可求解
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，
直线交于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：C 。
【分析】根据直线 交于点A，可得，根据平行线的性质以及垂直的定义，可得，，即，由此即可求解。
7．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：对于一次函数，
∵，，
∴函数图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故A正确，D错误，
当时，，即函数图象经过点，故B正确，
当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故C正确，
故答案为：D。
【分析】根据一次函数图象的性质，确定函数经过的象限；令y=0，求出x的值，即可求出函数经过的定点坐标；令x=0，求出y的值，即可求出交点坐标；根据一次函数的K值，据此即可求解
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∴斜坡的坡度为；
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理求出的长，根据斜坡的坡度等于的值，然后再根据正切函数的定义，对AB进行求解即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：。
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据，代入数据，即可求解。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴该图象经过点；故①正确；
由图象可知：，
∵对称轴为，
∴，
∴；故②④错误；
∵图象经过点；
∴，故③正确；
故答案为：B。
【分析】根据二次函数的对称性和A点坐标，即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标；根据图像的开口与y的交点，可确定a和c的范围；然后再根据对称轴的公式，可确定b和a的关系，进而可得bc的符号；再根据 图象经过点 ，将该点坐标代入二次函数的解析式，即可判断
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：。
故答案为：。
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，然后再对各个式子进行运算，最后再进行加减运算即可
13．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，∴所得点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴.
故答案为：．
【分析】根据点的坐标的平移规律“右加左减、上加下减”即可求解．
14．【答案】或
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：或。
【分析】根据正方形的性质，易得 ，然后根据平行线的性质，可得 ，易证四边形是矩形，求出AB的值，最后再根据黄金分割的定义可得，代入数据，即可求出BC的值。
15．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设此圆锥的母线长为R，
根据题意得，
解得，即在中，，
∴由勾股定理，可得，
即此圆锥的高为．
故答案为：。
【分析】设此圆锥的母线长为R，观察图形，可知圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 ，求出R的值，在中 ，根据勾股定理，即可求出OA的长。
16．【答案】（1）或
（2）解：
不管取何值，二次根式都有意义。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，
括号里面可填或，
故答案为：或。
【分析】（1）根据平方差公式的定义，然后再进行求解即可。
（2）先对二次根式进行展开，然后再进行运算，最后再根据完全平方的性质，即可求解
（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，
括号里面可填或，
故答案为：或；
（2）不管取何值，二次根式都有意义．
17．【答案】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意得：，解得：，
经检验，为原分式方程的解，并符合题意，
所以，篮球的单价为元；
答：足球与篮球的单价分别为90元和120元。
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍”，建立等量关系，列出分式方程然后再进行求解并检验即可。
18．【答案】（1）解：如答图所示，为所求，
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：
由（1）得，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，然后再进行画图即可
（2）根据（1）易得，然后再根据平行四边形的判定定理，即可证明。
（1）解：如答图所示，为所求，
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：
由（1）得，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形．
19．【答案】（1）15
（2）解：由题意可得，抽取的人数中“对B款健身器材满意”的有8人，
（人），
答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为320人。
（3）解：列表如下：
甲
乙
由表知，共有种等可能得结果，其中甲选器材乙选器材的有1种结果，
∴甲选器材乙选器材的概率为。
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，对A款健身器材“满意”的百分比为：，
∴对A款健身器材“比较满意”的百分比：，
∴，
故答案为：15。
【分析】（1）根据题干信息，找出A款器材在的分数有：，，，，， ，一共有6个，然后用6除以20，求出A款器材满意的占比，然后用1分别减去非常满意、满意、不满意的占比，即可求出比较满意的占比。
（2）用对B款健身器材满意的人数除以抽取的总人数，然后再乘以800，即可求解。
（3）根据题意列出表格，然后再根据概率的公式，据此即可求解。
（1）解：由题意得，对款健身器材“满意”的百分比为，
∴对款健身器材“比较满意”的百分比，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，抽取的人数中“对款健身器材满意”的有人，
（人），
答：估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为人；
（3）解：列表如下：
甲 乙
由表知，共有种等可能得结果，其中甲选器材乙选器材的有种结果，
∴甲选器材乙选器材的概率为．
20．【答案】（1）解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得：，
，
，，
将代入反比例函数中得：，
解得：，
反比例函数的解析式为。
（2）解：如图，
当时，，
解得：，
，
设，则，
的面积为，，
，
，
即，
解得：或，
当的面积为时，点的坐标为或
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将，两点分别代入，即可求出，的值，进而求出、两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入，据此即可求出其解析式；
（2）令y=0，先求出，C的坐标，设，则，根据，代入数据求出的值，即，求出，即可求解。
（1）解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得：，
，
，，
将代入反比例函数中得：，
解得：，
反比例函数的解析式为；
（2）如图，
当时，，
解得：，
，
设，则，
的面积为，，
，
，
即，
解得：或，
当的面积为时，点的坐标为或．
21．【答案】（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图
由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积
∴裁剪出的包装纸的面积为。
（2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短，
∴绕2圈所需绳子的最短长度为
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆柱的侧面积和表面积
【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面展开图为长方形，然后再利用圆柱形的侧面积的公式即可求解
（2） 作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，可得，此时最短 ，然后再根据勾股定理，求出AE即可
（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图
由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积
∴裁剪出的包装纸的面积为
（2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短，
∴绕2圈所需绳子的最短长度为
22．【答案】（1）解：将、两点代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：。
（2）解：∵、，
∴，，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵∠，
∴，即为等腰直角三角形，，
∴，，
设直线的解析式为，
将、两点分别代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设与y轴的交点为S，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，
解得：
∴点D坐标为
∵，
∴
∴
解得：，
∵点P在第四象限，
∴，
将代入抛物线得：，
∴此时点P坐标为。
（3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H，
设，直线的表达式为：，
将P，C的坐标代入得，，
解得：，
∴直线的表达式为：，
将代入得，，即，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去）。
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将将、两点代入，建立方程组：，最后再解方程组即可
（2）根据B和C的坐标，易得为等腰直角三角形，，得到，，设直线的解析式为，将B和C的坐标代入，求出直线的解析式；过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，可求出，，，易证
，则可求出E的坐标，设与y轴的交点为S，可得，，求出直线解析式，得到点D坐标为，根据，代入数据即可求解。
（3）作轴，连接交x轴于点H，设，直线的表达式为：，将P，C的坐标代入，求出直线的表达式，由可表示，分别求，证，利用相似三角形的性质列出比例式即可求解。
（1）解：将、两点代入，得，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵、，
∴，，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵∠，
∴，即为等腰直角三角形，，
∴，，
设直线的解析式为，
将、两点分别代入得，，
解得，
∴直线的解析式为；
如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设与y轴的交点为S，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得：
∴点D坐标为
∵，
∴
∴
解得：，
∵点P在第四象限，
∴，
将代入抛物线得：，
∴此时点P坐标为；
（3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H，
设，直线的表达式为：，
将P，C的坐标代入得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
将代入得，，即，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
23．【答案】（1），
（2）解：是直角三角形，理由如下：
连接，
，，
，
由旋转知，，
，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，，
，
，
，
是直角三形。
（3）解：由（2）可得，，，，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
，，
，
周长为，
当最大，即最大时，的周长最大，
当点在的延长线上时，最大值为，
的最大值为，
的最大为，
周长的最大值为。
【知识点】旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：，，
，即，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
，
，
，即，
数线段与的量关系是，位置关系是，
故答案为：，。
【分析】（1）根据题意，易得，根据中位线定理，可得，，，，可知，，，再根据，可得，推出，即可求解；
（2）根据旋转知，，易证，得到，根据三角形的中位线定理可得
，，可得，，然后再结合
，即可求解；
（3）由（2）可得，易得，，，推出，根据中位线定理得到，，推出，根据勾股定理求出，则周长为，得到当最大，即最大时，的周长最大，当点在的延长线上时，取得最大值，进而得到最大值，的最大值，即可求解．
（1）解：，，
，即，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
，
，
，即，
数线段与的量关系是，位置关系是，
故答案为：，；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
连接，
，，
，
由旋转知，，
，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，，
，
，
，
是直角三形；
（3）由（2）可得，，，，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
，，
，
周长为，
当最大，即最大时，的周长最大，
当点在的延长线上时，最大值为，
的最大值为，
的最大为，
周长的最大值为．
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