吉林省长春市二道区2025年中考二模数学试题
1．（2025·二道模拟）下列各数中与相加，和最小的是（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，，，，
又∵，
选项中各数与相加，和最小的是，
故答案为：A．
【分析】根据有理数的加法运算求出，，，，再根据求解即可.
2．（2025·二道模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项运算错误，不符合题意；
B、，选项运算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能进行加减运算，选项运算错误，不符合题意；
D、，选项运算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、整式加减运算法则、同底数幂的除法运算法则计算求解即可.
3．（2025·二道模拟）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图和俯视图同时发生变化，则应取走（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：若取走标有①的小正方体，则新几何体的左视图和俯视图都发生变化，
故答案为：A．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，上面看得到的图形是俯视图，结合图形求解即可。
4．（2025·二道模拟）小明为了验证学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，按照如图所示的方式分别测出，从而得到结论．这种验证方法的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴内错角相等，两直线平行，
即学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，
故答案为：C.
【分析】根据内错角相等，两直线平行，结合题意作答即可.
5．（2025·二道模拟）已知a、b、c三个实数表示的点在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴得：；
∵，
∴由不等式基本性质1得：；
由不等式基本性质2得：；
即选项A、B正确；
∵，
∴由不等式基本性质1得：；
即选项C正确；
∵，
∴由不等式基本性质3得：；
故选项D错误；
故答案为：D．
【分析】先根据数轴求出，再根据不等式的基本性质对每个选项逐一判断求解即可.
6．（2025·二道模拟）如图，小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线（近似的看做直线）与平地面构成的角为．若小明身高1.4米，那么他的风筝高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意可知：米，米，，，
∴（米），
∴米，
即他的风筝高为米，
故答案为：C．
【分析】先根据正弦的定义求出（米），再结合图形求出AC即可作答.
7．（2025·二道模拟）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件的只有选项B．
故答案为：B．
【分析】先观察图形，再根据是的角平分线，以及折叠求解即可.
8．（2025·二道模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点，是直线与双曲线的交点，线段及其下方的双曲线围成的封闭区域为G．图形G内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点，是直线与双曲线的交点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
把代入得，，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得，
∴；
∴图形G是双曲线上方与直线下方之间的部分，且；
所以，当时，，，
∴，
∴点是图形G内的整数点；
同理可得，当时的整数点是；
当时的整数点是；
当时，无整数点；
综上所述，符合条件的整数点共有3个，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，再利用待定系数法求出，最后结合函数图象计算求解即可.
9．（2025·二道模拟）比较大小： 5（填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
即，
故答案为：．
【分析】先求出，再比较大小求解即可.
10．（2025·二道模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据题意，直接提取公因式分解因式求解即可.
11．（2025·二道模拟）若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为 ．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的一个内角为，
正多边形的一个外角为，
多边形的外角和为，
该多边形的边数为．
故答案为：8．
【分析】根据题意先求出正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角和为计算求解即可.
12．（2025·二道模拟）若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是 ．
【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴或，
当时，
原方程为：，
∴，
解得：，
当时，
原方程为：，
∴，
解得：，
故答案为：或.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根求出，再求出或，再分类讨论，计算求解即可.
13．（2025·二道模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P在线段上，与x轴交于M、O两点．若与直线相切，则线段的长度为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当时，；当时， ，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
如图，设与直线相切于点，连接，
∴，，
设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】利用勾股定理求出，再利用三角形的面积求出PO=3，最后计算求解即可.
14．（2025·二道模拟）如图，在正方形中，点E和点F分别是边和的中点，连结、交于点G，点H是延长线上一点，连结，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴
∵点E和点F分别是边和的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故①正确；
设，则，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
∴，即，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
过点作于点，如图，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
，
∴，
故⑤错误，
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】①根据证明即可；②利用勾股定理求出BF的值，再利用相似三角形的判定方法求出，最后计算求解即可；③根据相似三角形的性质求出，再利用三角形和正方形的面积计算求解即可；④先求出，再求出，最后证明求解即可；⑤先求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后证明求解即可.
15．（2025·二道模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据题意先化简整式，再将代入计算求解即可.
16．（2025·二道模拟）一个不透明的箱子里装有1个红色小球和3个白色小球，每个小球除颜色外其它完全相同．小亮从箱子里随机摸出一个小球，记下颜色后不放回箱子，然后小亮的爸爸又从箱子中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小亮和爸爸抽到同一颜色小球的概率．
【答案】解：画出树状图如下：
故P（小亮和爸爸抽到同一颜色）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据题意先画出树状图，再求概率即可.
17．（2025·二道模拟）小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市M，A公司的运输速度是B公司的1.5倍，选用A公司送此文件会比B公司早到5小时，求B公司的运输速度．
【答案】解：设B公司的运输速度为x千米/小时，
由题意可得：
解得
经检验是原方程的解且符合题意，
答：B公司的运输速度为60千米/小时．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据路程速度时间这个等量关系列方程求出，再解方程计算求解即可.
18．（2025·二道模拟）如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形．
【答案】解：，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法求出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质求出AE=BD，最后根据矩形的判定方法证明求解即可.
19．（2025·二道模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使；
（2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线；
（3）在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使．
【答案】（1）解：如图所示，取格点M，连接，则点M即为所求；
（2）解：如图所示，取格点E，作直线，则直线即为所求；
（3）解：如图所示，取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先取格点M，再连接，则点M即为所求；
（2）根据题意先取格点E，再作直线，则直线即为所求，可证明；
（3）根据题意先取格点F，连接交于M，再设与交于N，连接，则即为所求．可证明．
（1）解：如图所示，取格点M，连接，则点M即为所求；
（2）解：如图所示，取格点E，作直线，则直线即为所求；
（3）解：如图所示，取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．
20．（2025·二道模拟）为了了解学生体育锻炼的情况，某校对七年级部分学生每天体育锻炼的时间进行调查，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：七年级部分学生每天体育锻炼时间的条形统计图及扇形统计图如下：（数据分成4组：，，，．单位：小时）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求C组人数，并补全条形统计图；
（2）若七年级学生每天体育锻炼的时间不低于1小时为达到标准，估计该校600名七年级学生体育锻炼时间达到标准的人数；
（3）下列结论一定正确的是________（填序号）．
①这组数据的中位数在范围内；
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为；
③根据题目中所给条件能求出这组数据的平均数．
【答案】（1）解：调查总人数为：（人），
C组人数为：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校600名七年级学生体育锻炼时间达到标准的人数为345人；
（3）①②
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（3）解：①将40个数据按从小到大的顺序排列，最中间的2个数据是第20和21个，
而，C组有21人，
∴中位数在范围内，故①正确；
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为，故②正确；
③根据题目中所给条件无法求出这组数据的平均数，故③错误．
故答案为：①②.
【分析】（1）根据题意先求出调查总人数为40人，再求出C组的人数，最后补全条形统计图求解即可；
（2）用样本估计总体计算求解即可；
（3）根据平均数、中位数和圆心角的度数的求法计算求解即可.
（1）解：调查总人数为：（人），
C组人数为：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校600名七年级学生体育锻炼时间达到标准的人数为345人；
（3）解：①将40个数据按从小到大的顺序排列，最中间的2个数据是第20和21个，
而，C组有21人，
∴中位数在范围内，故①正确；
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为，故②正确；
③根据题目中所给条件能无法求出这组数据的平均数，故③错误．
故答案为：①②
21．（2025·二道模拟）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，将该信号进行处理并输出到显示器，显示出体重数据．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如表：
人的质量 0 30 60 90 120
可变电阻 240 180 120 60 0
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，根据点的分布规律，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”） ；
（2）根据以上判断，当时，求R关于m的函数关系式；
（3）当可变电阻R为时，求人的质量m．
【答案】（1）一次
（2）解：设R关于m的函数关系式为，
将代入，
得，
解得，
即R关于m的函数关系式为.
（3）解：当时，，
解得，，
即当可变电阻R为时，人的质量m应为．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示：
由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系，
故答案为∶一次；
【分析】（1）根据表格中的数据，可以得到R与m符合一次函数关系；
（2）根据题意先设R关于m的函数关系式为，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（3）将代入一次函数解析式求出，再求出m的值即可.
（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示：
由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系，
故答案为∶一次；
（2）解：设R关于m的函数关系式为，
将代入，
得，
解得，
即R关于m的函数关系式为
（3）解：当时，，
解得，，
即当可变电阻R为时，人的质量m应为．
22．（2025·二道模拟）【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值．
【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹．
以下是小明证明的部分过程：
证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结．
证明过程缺失 ……
又，，
，
．
请你补全缺失的证明过程．
【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹）
【答案】【问题探究】
解：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连接．
∴；
∵，
∴，
∴；
又，，
，
．
【解决问题】
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】【问题解决】
解：以O为圆心，为半径作，作图如下：
连接，则；
当点D在线段上时，最小，最小值为；
在中，，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：.
【分析】【问题探究】根据题意先求出，再求出，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
【解决问题】先求出当点D在线段上时，最小，最小值为，再利用勾股定理求出OA的值，最后计算求解即可.
23．（2025·二道模拟）如图，在中，，，，点在边上，连结，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
（1）求的面积；
（2）当时，求正方形的周长；
（3）当点落在上时，求的长；
（4）当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为 ．
【答案】（1）解：过点作于点，如图所示：
，
，
设，则，
，
，
则，
，
，
解得，
，则，
，
的面积为；
（2）解：当时，，如图所示：
，
，
，
，解得，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
正方形的周长为；
（3）解：过点作于点，如图所示：
，
，
则，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，，
，，
在和中，
，
，，
即，
，
，
，
，
设，则，
，由勾股定理可得，
在中，，，则由勾股定理可得，
，，
，
，解得，
则，
在等腰中，，
由（1）知，，则，
当点落在上时，；
（4）或
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】（4）解：由题意，分两种情况：
当点在边同侧，过点分别作边的垂线，连接，如图所示：
，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，且，
，
即点在边上，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，
，
，
，
，
，
即点在边上，如图所示：
在中，，，则，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理可得，解得，
由（1）知，，则；
当点在边异侧，过点分别作边的垂线，过点作，过点作，过点作，过点作，如图所示：
，，
在正方形中，，则，
，
，
，
，
由，得，
，
点是的中点，
，
，
由，得，
，
，
设，，则正方形的边长为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由，得，
则由平行线分线段成比例得，
是的中位线，则，
在等腰中，，，则由勾股定理可得，
，则，
在等腰中，，
设，则，
，即，
，解得，
由（1）知，，则，
；
综上所述，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出，再由等腰直角三角形的判定与性质求出，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形的性质求周长即可作答；
（3）利用AAS证明，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可；
（4）分两种情况：①当点在边同侧；②当点在边异侧；再结合图形计算求解即可.
（1）解：过点作于点，如图所示：
，
，
设，则，
，
，则，
，
，解得，
，则，
，
的面积为；
（2）解：当时，，如图所示：
，
，
，
，解得，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
正方形的周长为；
（3）解：过点作于点，如图所示：
，
，
则，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，，
，，
在和中，
，
，，
即，
，
，
，
，
设，则，
，由勾股定理可得，
在中，，，则由勾股定理可得，
，，
，
，解得，
则，
在等腰中，，
由（1）知，，则，
当点落在上时，；
（4）解：由题意，分两种情况：
当点在边同侧，过点分别作边的垂线，连接，如图所示：
，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，且，
，
即点在边上，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，
，
，
，
，
，
即点在边上，如图所示：
在中，，，则，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理可得，解得，
由（1）知，，则；
当点在边异侧，过点分别作边的垂线，过点作，过点作，过点作，过点作，如图所示：
，，
在正方形中，，则，
，
，
，
，
由，得，
，
点是的中点，
，
，
由，得，
，
，
设，，则正方形的边长为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由，得，
则由平行线分线段成比例得，
是的中位线，则，
在等腰中，，，则由勾股定理可得，
，则，
在等腰中，，
设，则，
，即，
，解得，
由（1）知，，则，
；
综上所述，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为或，
故答案为：或．
24．（2025·二道模拟）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连结、、．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）试说明线段的长度为4；
（3）当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）．
①若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值；
②连结、，若点M在对称轴右侧，当时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：把点代入抛物线中，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点A关于点M的对称点为点B，点A关于点N的对称点为点C，
∴点M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为，
∴，
∴；
（3）解：①设点A到的距离为h，点A到的距离为；由（2）知，，
∴，
∴，
即；
∵抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2，
即点M到的距离为2，
∴，
解得；
当点A在上方时，如图；
∵，轴，
∴点的纵坐标为，
由题意得，
∴，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
当点A在下方时，则得点的纵坐标为，
同理得：，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
综上，m的值为或；
②m的值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②如图，取的中点H，连接，则，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
过M作于G，则点G是的中点，点G的横坐标为m；
∵
∴由中心对称知，点B的横坐标为，
其纵坐标为：
同理，点C的横坐标为，
∴点H的横坐标为；
∴点P的横坐标为；
∵点P在抛物线上，
∴当时，，
即点P的坐标为；
∵轴，
∴点B，点P的纵坐标相同，
即，
整理得：，
解得：，
由于点M在抛物线对称轴的右侧，则，
∴．
【分析】（1）将点（1，4）代入抛物线解析式求出，再计算求解即可；
（2）根据题意先求出点M、N分别是的中点，再根据是的中位线求出，最后求解即可；
（3）①分两种情况，当点A在上方时；当点A在下方时；再利用相似三角形的判定与性质以及函数图象求解即可；
②根据题意先求出四边形是平行四边形，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：把点代入抛物线中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点A关于点M的对称点为点B，点A关于点N的对称点为点C，
∴点M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为，
∴，
∴；
（3）解：①设点A到的距离为h，点A到的距离为；
由（2）知，，
∴，
∴，
即；
∵抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2，
即点M到的距离为2，
∴，
解得；
当点A在上方时，如图；
∵，轴，
∴点的纵坐标为，
由题意得，
∴，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
当点A在下方时，则得点的纵坐标为，
同理得：，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
综上，m的值为或；
②如图，取的中点H，连接，则，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
过M作于G，则点G是的中点，点G的横坐标为m；
∵
∴由中心对称知，点B的横坐标为，
其纵坐标为：
同理，点C的横坐标为，
∴点H的横坐标为；
∴点P的横坐标为；
∵点P在抛物线上，
∴当时，，
即点P的坐标为；
∵轴，
∴点B，点P的纵坐标相同，
即，
整理得：，
解得：，
由于点M在抛物线对称轴的右侧，则，
∴．
1 / 1吉林省长春市二道区2025年中考二模数学试题
1．（2025·二道模拟）下列各数中与相加，和最小的是（ ）
A． B．2 C．0 D．1
2．（2025·二道模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·二道模拟）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图和俯视图同时发生变化，则应取走（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2025·二道模拟）小明为了验证学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，按照如图所示的方式分别测出，从而得到结论．这种验证方法的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
5．（2025·二道模拟）已知a、b、c三个实数表示的点在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·二道模拟）如图，小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线（近似的看做直线）与平地面构成的角为．若小明身高1.4米，那么他的风筝高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
7．（2025·二道模拟）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·二道模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点，是直线与双曲线的交点，线段及其下方的双曲线围成的封闭区域为G．图形G内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2025·二道模拟）比较大小： 5（填“”“”或“”）．
10．（2025·二道模拟）因式分解： ．
11．（2025·二道模拟）若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为 ．
12．（2025·二道模拟）若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是 ．
13．（2025·二道模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P在线段上，与x轴交于M、O两点．若与直线相切，则线段的长度为 ．
14．（2025·二道模拟）如图，在正方形中，点E和点F分别是边和的中点，连结、交于点G，点H是延长线上一点，连结，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ．
15．（2025·二道模拟）先化简，再求值：，其中．
16．（2025·二道模拟）一个不透明的箱子里装有1个红色小球和3个白色小球，每个小球除颜色外其它完全相同．小亮从箱子里随机摸出一个小球，记下颜色后不放回箱子，然后小亮的爸爸又从箱子中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小亮和爸爸抽到同一颜色小球的概率．
17．（2025·二道模拟）小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市M，A公司的运输速度是B公司的1.5倍，选用A公司送此文件会比B公司早到5小时，求B公司的运输速度．
18．（2025·二道模拟）如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形．
19．（2025·二道模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使；
（2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线；
（3）在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使．
20．（2025·二道模拟）为了了解学生体育锻炼的情况，某校对七年级部分学生每天体育锻炼的时间进行调查，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：七年级部分学生每天体育锻炼时间的条形统计图及扇形统计图如下：（数据分成4组：，，，．单位：小时）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求C组人数，并补全条形统计图；
（2）若七年级学生每天体育锻炼的时间不低于1小时为达到标准，估计该校600名七年级学生体育锻炼时间达到标准的人数；
（3）下列结论一定正确的是________（填序号）．
①这组数据的中位数在范围内；
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为；
③根据题目中所给条件能求出这组数据的平均数．
21．（2025·二道模拟）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，将该信号进行处理并输出到显示器，显示出体重数据．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如表：
人的质量 0 30 60 90 120
可变电阻 240 180 120 60 0
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，根据点的分布规律，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”） ；
（2）根据以上判断，当时，求R关于m的函数关系式；
（3）当可变电阻R为时，求人的质量m．
22．（2025·二道模拟）【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值．
【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹．
以下是小明证明的部分过程：
证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结．
证明过程缺失 ……
又，，
，
．
请你补全缺失的证明过程．
【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹）
23．（2025·二道模拟）如图，在中，，，，点在边上，连结，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
（1）求的面积；
（2）当时，求正方形的周长；
（3）当点落在上时，求的长；
（4）当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为 ．
24．（2025·二道模拟）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连结、、．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）试说明线段的长度为4；
（3）当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）．
①若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值；
②连结、，若点M在对称轴右侧，当时，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，，，，
又∵，
选项中各数与相加，和最小的是，
故答案为：A．
【分析】根据有理数的加法运算求出，，，，再根据求解即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项运算错误，不符合题意；
B、，选项运算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能进行加减运算，选项运算错误，不符合题意；
D、，选项运算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、整式加减运算法则、同底数幂的除法运算法则计算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：若取走标有①的小正方体，则新几何体的左视图和俯视图都发生变化，
故答案为：A．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，上面看得到的图形是俯视图，结合图形求解即可。
4．【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴内错角相等，两直线平行，
即学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，
故答案为：C.
【分析】根据内错角相等，两直线平行，结合题意作答即可.
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴得：；
∵，
∴由不等式基本性质1得：；
由不等式基本性质2得：；
即选项A、B正确；
∵，
∴由不等式基本性质1得：；
即选项C正确；
∵，
∴由不等式基本性质3得：；
故选项D错误；
故答案为：D．
【分析】先根据数轴求出，再根据不等式的基本性质对每个选项逐一判断求解即可.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意可知：米，米，，，
∴（米），
∴米，
即他的风筝高为米，
故答案为：C．
【分析】先根据正弦的定义求出（米），再结合图形求出AC即可作答.
7．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件的只有选项B．
故答案为：B．
【分析】先观察图形，再根据是的角平分线，以及折叠求解即可.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点，是直线与双曲线的交点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
把代入得，，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得，
∴；
∴图形G是双曲线上方与直线下方之间的部分，且；
所以，当时，，，
∴，
∴点是图形G内的整数点；
同理可得，当时的整数点是；
当时的整数点是；
当时，无整数点；
综上所述，符合条件的整数点共有3个，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，再利用待定系数法求出，最后结合函数图象计算求解即可.
9．【答案】
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
即，
故答案为：．
【分析】先求出，再比较大小求解即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据题意，直接提取公因式分解因式求解即可.
11．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的一个内角为，
正多边形的一个外角为，
多边形的外角和为，
该多边形的边数为．
故答案为：8．
【分析】根据题意先求出正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角和为计算求解即可.
12．【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴或，
当时，
原方程为：，
∴，
解得：，
当时，
原方程为：，
∴，
解得：，
故答案为：或.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根求出，再求出或，再分类讨论，计算求解即可.
13．【答案】2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当时，；当时， ，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
如图，设与直线相切于点，连接，
∴，，
设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】利用勾股定理求出，再利用三角形的面积求出PO=3，最后计算求解即可.
14．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴
∵点E和点F分别是边和的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故①正确；
设，则，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
∴，即，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
过点作于点，如图，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
，
∴，
故⑤错误，
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】①根据证明即可；②利用勾股定理求出BF的值，再利用相似三角形的判定方法求出，最后计算求解即可；③根据相似三角形的性质求出，再利用三角形和正方形的面积计算求解即可；④先求出，再求出，最后证明求解即可；⑤先求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后证明求解即可.
15．【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据题意先化简整式，再将代入计算求解即可.
16．【答案】解：画出树状图如下：
故P（小亮和爸爸抽到同一颜色）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据题意先画出树状图，再求概率即可.
17．【答案】解：设B公司的运输速度为x千米/小时，
由题意可得：
解得
经检验是原方程的解且符合题意，
答：B公司的运输速度为60千米/小时．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据路程速度时间这个等量关系列方程求出，再解方程计算求解即可.
18．【答案】解：，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法求出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质求出AE=BD，最后根据矩形的判定方法证明求解即可.
19．【答案】（1）解：如图所示，取格点M，连接，则点M即为所求；
（2）解：如图所示，取格点E，作直线，则直线即为所求；
（3）解：如图所示，取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先取格点M，再连接，则点M即为所求；
（2）根据题意先取格点E，再作直线，则直线即为所求，可证明；
（3）根据题意先取格点F，连接交于M，再设与交于N，连接，则即为所求．可证明．
（1）解：如图所示，取格点M，连接，则点M即为所求；
（2）解：如图所示，取格点E，作直线，则直线即为所求；
（3）解：如图所示，取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．
20．【答案】（1）解：调查总人数为：（人），
C组人数为：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校600名七年级学生体育锻炼时间达到标准的人数为345人；
（3）①②
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（3）解：①将40个数据按从小到大的顺序排列，最中间的2个数据是第20和21个，
而，C组有21人，
∴中位数在范围内，故①正确；
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为，故②正确；
③根据题目中所给条件无法求出这组数据的平均数，故③错误．
故答案为：①②.
【分析】（1）根据题意先求出调查总人数为40人，再求出C组的人数，最后补全条形统计图求解即可；
（2）用样本估计总体计算求解即可；
（3）根据平均数、中位数和圆心角的度数的求法计算求解即可.
（1）解：调查总人数为：（人），
C组人数为：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校600名七年级学生体育锻炼时间达到标准的人数为345人；
（3）解：①将40个数据按从小到大的顺序排列，最中间的2个数据是第20和21个，
而，C组有21人，
∴中位数在范围内，故①正确；
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为，故②正确；
③根据题目中所给条件能无法求出这组数据的平均数，故③错误．
故答案为：①②
21．【答案】（1）一次
（2）解：设R关于m的函数关系式为，
将代入，
得，
解得，
即R关于m的函数关系式为.
（3）解：当时，，
解得，，
即当可变电阻R为时，人的质量m应为．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示：
由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系，
故答案为∶一次；
【分析】（1）根据表格中的数据，可以得到R与m符合一次函数关系；
（2）根据题意先设R关于m的函数关系式为，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（3）将代入一次函数解析式求出，再求出m的值即可.
（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示：
由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系，
故答案为∶一次；
（2）解：设R关于m的函数关系式为，
将代入，
得，
解得，
即R关于m的函数关系式为
（3）解：当时，，
解得，，
即当可变电阻R为时，人的质量m应为．
22．【答案】【问题探究】
解：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连接．
∴；
∵，
∴，
∴；
又，，
，
．
【解决问题】
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】【问题解决】
解：以O为圆心，为半径作，作图如下：
连接，则；
当点D在线段上时，最小，最小值为；
在中，，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：.
【分析】【问题探究】根据题意先求出，再求出，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
【解决问题】先求出当点D在线段上时，最小，最小值为，再利用勾股定理求出OA的值，最后计算求解即可.
23．【答案】（1）解：过点作于点，如图所示：
，
，
设，则，
，
，
则，
，
，
解得，
，则，
，
的面积为；
（2）解：当时，，如图所示：
，
，
，
，解得，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
正方形的周长为；
（3）解：过点作于点，如图所示：
，
，
则，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，，
，，
在和中，
，
，，
即，
，
，
，
，
设，则，
，由勾股定理可得，
在中，，，则由勾股定理可得，
，，
，
，解得，
则，
在等腰中，，
由（1）知，，则，
当点落在上时，；
（4）或
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】（4）解：由题意，分两种情况：
当点在边同侧，过点分别作边的垂线，连接，如图所示：
，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，且，
，
即点在边上，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，
，
，
，
，
，
即点在边上，如图所示：
在中，，，则，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理可得，解得，
由（1）知，，则；
当点在边异侧，过点分别作边的垂线，过点作，过点作，过点作，过点作，如图所示：
，，
在正方形中，，则，
，
，
，
，
由，得，
，
点是的中点，
，
，
由，得，
，
，
设，，则正方形的边长为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由，得，
则由平行线分线段成比例得，
是的中位线，则，
在等腰中，，，则由勾股定理可得，
，则，
在等腰中，，
设，则，
，即，
，解得，
由（1）知，，则，
；
综上所述，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出，再由等腰直角三角形的判定与性质求出，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形的性质求周长即可作答；
（3）利用AAS证明，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可；
（4）分两种情况：①当点在边同侧；②当点在边异侧；再结合图形计算求解即可.
（1）解：过点作于点，如图所示：
，
，
设，则，
，
，则，
，
，解得，
，则，
，
的面积为；
（2）解：当时，，如图所示：
，
，
，
，解得，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
正方形的周长为；
（3）解：过点作于点，如图所示：
，
，
则，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，，
，，
在和中，
，
，，
即，
，
，
，
，
设，则，
，由勾股定理可得，
在中，，，则由勾股定理可得，
，，
，
，解得，
则，
在等腰中，，
由（1）知，，则，
当点落在上时，；
（4）解：由题意，分两种情况：
当点在边同侧，过点分别作边的垂线，连接，如图所示：
，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，且，
，
即点在边上，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，
，
，
，
，
，
即点在边上，如图所示：
在中，，，则，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理可得，解得，
由（1）知，，则；
当点在边异侧，过点分别作边的垂线，过点作，过点作，过点作，过点作，如图所示：
，，
在正方形中，，则，
，
，
，
，
由，得，
，
点是的中点，
，
，
由，得，
，
，
设，，则正方形的边长为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由，得，
则由平行线分线段成比例得，
是的中位线，则，
在等腰中，，，则由勾股定理可得，
，则，
在等腰中，，
设，则，
，即，
，解得，
由（1）知，，则，
；
综上所述，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为或，
故答案为：或．
24．【答案】（1）解：把点代入抛物线中，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点A关于点M的对称点为点B，点A关于点N的对称点为点C，
∴点M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为，
∴，
∴；
（3）解：①设点A到的距离为h，点A到的距离为；由（2）知，，
∴，
∴，
即；
∵抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2，
即点M到的距离为2，
∴，
解得；
当点A在上方时，如图；
∵，轴，
∴点的纵坐标为，
由题意得，
∴，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
当点A在下方时，则得点的纵坐标为，
同理得：，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
综上，m的值为或；
②m的值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②如图，取的中点H，连接，则，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
过M作于G，则点G是的中点，点G的横坐标为m；
∵
∴由中心对称知，点B的横坐标为，
其纵坐标为：
同理，点C的横坐标为，
∴点H的横坐标为；
∴点P的横坐标为；
∵点P在抛物线上，
∴当时，，
即点P的坐标为；
∵轴，
∴点B，点P的纵坐标相同，
即，
整理得：，
解得：，
由于点M在抛物线对称轴的右侧，则，
∴．
【分析】（1）将点（1，4）代入抛物线解析式求出，再计算求解即可；
（2）根据题意先求出点M、N分别是的中点，再根据是的中位线求出，最后求解即可；
（3）①分两种情况，当点A在上方时；当点A在下方时；再利用相似三角形的判定与性质以及函数图象求解即可；
②根据题意先求出四边形是平行四边形，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：把点代入抛物线中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点A关于点M的对称点为点B，点A关于点N的对称点为点C，
∴点M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为，
∴，
∴；
（3）解：①设点A到的距离为h，点A到的距离为；
由（2）知，，
∴，
∴，
即；
∵抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2，
即点M到的距离为2，
∴，
解得；
当点A在上方时，如图；
∵，轴，
∴点的纵坐标为，
由题意得，
∴，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
当点A在下方时，则得点的纵坐标为，
同理得：，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
综上，m的值为或；
②如图，取的中点H，连接，则，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
过M作于G，则点G是的中点，点G的横坐标为m；
∵
∴由中心对称知，点B的横坐标为，
其纵坐标为：
同理，点C的横坐标为，
∴点H的横坐标为；
∴点P的横坐标为；
∵点P在抛物线上，
∴当时，，
即点P的坐标为；
∵轴，
∴点B，点P的纵坐标相同，
即，
整理得：，
解得：，
由于点M在抛物线对称轴的右侧，则，
∴．
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