天津市2025年中考数学真题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·天津市） 计算的结果等于（ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：=3
故答案为：B
【分析】根据有理数的除法即可求出答案.
2．（2025·天津市） 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该组合体的主视图为
故答案为：D
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·天津市）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
4．（2025·天津市）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
5．（2025·天津市）据2025年5月7日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到31492000人次．将数据31492000用科学记数法表示应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据31492000用科学记数法表示应为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
6．（2025·天津市）的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=1-1
=0
故答案为：A
【分析】根据特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
7．（2025·天津市）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
8．（2025·天津市）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可以追上慢马
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设快马天可以追上慢马，根据题意建立方程即可求出答案.
9．（2025·天津市）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A
【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
10．（2025·天津市）如图，CD是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点，与边AC相交于点；②以点为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点；③以点为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线BH，与CD相交于点，与边AC相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法可得，∠CBN=∠A
根据题意无法得到∠ABN与∠CBN的大小关系
∴无法确定∠ABN与∠CBN的大小关系，A错误
∵CD是∠ABC的角平分线
∴∠BCD=∠ACD
∵∠BMD=∠BCD+∠CBN，∠BDM=∠A+∠ACD
∴∠BMD=∠BDM
∴BD=BM，D正确
题目中没有说明∠ACB，∠A的大小关系
∴无法判断∠ACB，∠CBN的大小关系，则无法得到∠BNC的度数，B错误
根据题意无法得到AD，CM的大小关系，C错误
故答案为：D
【分析】 由作法可得，∠CBN=∠A，根据三角形外角性质，等腰三角形的判定逐项进行判断即可求出答案.
11．（2025·天津市）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边BC相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接AD，∠CC'于点O
由旋转性质可得AC'=AC=4，∠AC'B'=∠ACB=90°
∴∠AC'D=90°
在Rt△AC'D和Rt△ACD中
∴Rt△AC'D≌Rt△ACD
∴C'D=CD=3
∴AD垂直平分CC'
∴CC'=2OC，AD⊥CC'
∵∠ACB=90°，AC=4，CD=3
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接AD，∠CC'于点O，由旋转性质可得AC'=AC=4，∠AC'B'=∠ACB=90°，则∠AC'D=90°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△AC'D≌Rt△ACD，则C'D=CD=3，根据垂直平分线判定定理可得AD垂直平分CC'，则CC'=2OC，AD⊥CC'，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
12．（2025·天津市）四边形ABCD中，．动点从点出发，以的速度沿边BA、边AD向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边CB向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；②当时，的最大面积为；③有两个不同的值满足的面积为39．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】三角形的面积；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，点M在AB上的运动时间为
点M在AD上的运动时间为
点N在CB上的运动时间为16s
①当t=6s时，点M在AD上
此时AM=2×6-8=4cm，CN=6cm
∴DM=AD-AM=6cm
∴CN=DM，①正确
②当时，点M在AB上
此时BM=2tcm，CN=tcm
∴BN=(16-t)cm
∴
∵-1<0
∴当t<8时，随t的增大而增大
∴当t=2时，取得最大值，最大值为28
即当时，的最大面积为28cm2，②错误
③当点M在AB上时
∵的面积为39
∴
解得：t=3或t=13(舍去)
当点M在AD上时
∵AD∥BC，∠B=90°
∴∠A=180°-∠B=90°，即AB⊥AD
∴
解得：
综上所述，当t=3或时，满足的面积为，③正确
故答案为：C
【分析】由题意可得点M在AB上的运动时间为4s，点M在AD上的运动时间为5s，点N在CB上的运动时间为16s，①当t=6s时，点M在AD上，求出AM，CN长度，再根据边之间的关系即可判断①；②当时，点M在AB上，此时BM=2tcm，CN=tcm，则BN=(16-t)cm，根据三角形面积，结合二次函数性质可判断②；③分情况讨论：当点M在AB上时，当点M在AD 上时，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（2025·天津市）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．（2025·天津市）计算的结果为 ．
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
=
故答案为：
【分析】根据合并同类项法则即可求出答案.
15．（2025·天津市）计算的结果为 ．
【答案】60
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=61-1
=60
故答案为：60
【分析】根据平方差公式逆运算即可求出答案.
16．（2025·天津市）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
17．（2025·天津市）如图，在矩形ABCD中，，点在边BC上，且．
（I）线段AE的长为 ；
（II）为CD的中点，为AF的中点，为EF上一点，若，则线段MN的长为 ．
【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=BE+CE=BE+2BE=3
∴BE=1
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABE=90°
∴
故答案为：
（2）过点M作MH⊥EF于点H
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°
∵F为CD的中点
∴
∴CF=BE
∵CE=2BE=2=AB
∴△ABE≌△ECF(SAS)
∴EF=EA，∠BAE=∠CEF
∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90°
∴∠AEF=90°
∴∠EAF=∠EFA=45°
∴∠MNF=180°-∠NFM-∠NMF=60°
∴
∵M为AF的中点
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据边之间的关系可得BE=1，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点M作MH⊥EF于点H，根据矩形性质可得CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°，根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得CE=2BE=2=AB，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ECF(SAS)，则EF=EA，∠BAE=∠CEF，再根据角之间的关系可得∠EAF=∠EFA=45°，根据三角形内角和定理可得∠MNF，根据勾股定理可得AF，则，再解直角三角形即可求出答案.
18．（2025·天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（I）线段PA的长为 ▲ ；
（II）直线PA与的外接圆相切于点．点在射线BC上，点在线段BA的延长线上，满足，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】解：（I）；
（II）如图，直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接DE；取格点，连接AF，与DE相交于点；连接BO并延长，与AC相交于点，与直线PA相交于点；连接CH并延长，与网格线相交于点，连接AI，与网格线相交于点；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点，则点M，N即为所求．
【知识点】勾股定理；圆的综合题；尺规作图-垂线；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接DE；取格点，连接AF，与DE相交于点；连接BO并延长，与AC相交于点，与直线PA相交于点；连接CH并延长，与网格线相交于点，连接AI，与网格线相交于点；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点，则点M，N即为所求.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（2025·天津市）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式①，得 ▲ ；
（II）解不等式②，得 ▲ ；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为 ▲ ．
【答案】解：解：（I）；
（II）；
（III）
（IV）．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，可得不等式组的解集.
20．（2025·天津市）为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（I）填空：的值为 ▲ ，图①中的值为 ▲ ，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为 ▲ 和 ▲ ；
（II）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
（III）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？
【答案】解：（I）40，25，4，3．
（II）观察条形统计图，
，
这组数据的平均数是3.2．
（III）在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占，
根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有.
估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
a=5+6+10+14+5=40
m%=1-35%-12.5%-12.5%-15%=25%
∴m=25
4小时出现的人数最多，为14人
∴众数为4
将数据按照从小到大的顺序排列，最中间的两个数都在3小时中
∴中位数为3
故答案为：40，25，4，3
【分析】（1）将所有人数相加可得a值，用1减去其他占比可得m值，再根据众数与中位数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以4小时的占比即可求出答案.
21．（2025·天津市）已知AB与相切于点与相交于点D，E为上一点．
（I）如图①，求的大小；
（II）如图②，当时，EC与OB相交于点，延长BO与相交于点，若的半径为3，求ED和EG的长．
【答案】解：（I）如图，连接OC．
与相切于点，
．又，
平分．得．
，
．
在中，，
．
（II）如图，连接OC．
同（I），得．
，
．
为的一个外角，
．
根据题意，DG为的直径，
．又的半径为3，得．
在Rt中，，
．
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质；圆的综合题；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线性质可得，再根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
（2）连接OC，同（I），得，根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质可得，根据圆周角定理可得，再解直角三角形即可求出答案.
22．（2025·天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点依次在同一条水平直线上，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）．
参考数据：．
【答案】解：如图，延长DF与AB相交于点．
根据题意，可得．
有．
在Rt中，，
．
在Rt中，，
．
，
．
．
．
答：世纪钟建筑AB的高度约为40m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长DF与AB相交于点，根据正切定义可得GF，GD，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得GB，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2025·天津市）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（I）①填表：
小华离开家的时间 1 6 18 50
小华离家的距离 0.6
②填空：小华从公园返回家的速度为 ▲ ；
③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式；
（II）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】解：（I）①0.1，0.6，1.8；
②0.12；
③当时，；
当时，；
当时，．
（II）．
【知识点】分段函数；两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）①由图可得：
小华去书店的的速度为
∴1min时， 小华离家的距离为1×0.1=0.1km
18min时， 小华离家的距离为0.6km
50min时， 小华离家的距离为1.8km
故答案为：0.1，0.6，1.8
②小华从公园返回家的速度为
故答案为：0.12
③由①得小华去书店的速度为0.1
∴当时，
由图可得，当时，
当时，设直线解析式为t=kx+b
将(18，0.6)，(30，1.8)代入解析式得
解得：
∴
（2）如图，y2为妈妈的图形
由题意可得，小华妈妈的速度为0.05
∴其直线解析式为y2=0.05x
当y1=y2时
0.05x=0.6，解得x=12
令0.05x=0.1x-1.2，解得x=24
∴当时，
【分析】（1）①结合图形即可求出答案.
②根据速度=路程÷时间即可求出答案.
③分情况讨论：当时，当时，当时，结合待定系数法即可求出答案.
（2）求出y2解析式，求出y1=y2时x对应的值，结合函数图象即可求出答案.
24．（2025·天津市）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．
（I）填空：如图①，点的坐标为 ▲ ，点的坐标为 ▲ ；
（II）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．
①如图②，若边与边AB相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段GA的长，并直接写出的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）.
【答案】解：（I）．
（II）①等边中，顶点，
．
由平移知，．
．又，
．
在Rt中，，
．
由点，得．
．
，其中的取值范围是．
②．
【知识点】解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）作FG⊥OE于点G，作CH⊥AB于点H
∵，为等边三角形
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
（2）②当时，则重叠的部分为四边形OO'F'G，作F'M⊥x轴
由(1)和(2)①可知，
∴
∴当时，S的值最小，为
∴
设BC交x轴于点N，则
∴当时，此时点E'于点O重合，O'与点N重合，重叠的部分为△O'E'F'
∴
当，S随着t的增大而减小
∴当，S有最小值，此时点CO'⊥x轴
此时重叠部分为五边形，
∵∠CNO'=∠BNO=90°-∠ABC=30°，∠E'OF'=60°
∴∠NQO'=90°
∴
∴
∵∠ACB-60°，∠CQP=∠NO'Q=90°
∴∠F''PG=∠CPQ=30°
∴∠F''GP=180°-30°-60°=90°
由平移可得，
∴∠F'F''G=∠O'E'F''=60°
∴∠F''F'G=30°=∠F''PG
∴
同理可得：
∴
综上所述，
【分析】（1）作FG⊥OE于点G，作CH⊥AB于点H，根据等边三角形性质可得，再根据两点间距离及边之间的关系可得，则，根据勾股定理可得FG，CH，即可求出答案.
（2）①根据等边三角形性质可得，再根据平移性质可得，根据全等三角形性质可得，根据边之间的关系可得E''O，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得OG，根据边之间的关系可得GA，即可求出答案.
②分情况讨论：当时，则重叠的部分为四边形OO'F'G，作F'M⊥x轴，由(1)和(2)①可知，，根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可答案；设BC交x轴于点N，解直角三角形可得ON，当时，此时点E'于点O重合，O'与点N重合，重叠的部分为△O'E'F'，根据三角形面积即可求出答案；当，S随着t的增大而减小，当，S有最小值，此时点CO'⊥x轴，此时重叠部分为五边形，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据三角形面积可得，再根据平移性质可得，根据直线平行性质可得∠F''F'G=30°=∠F''PG，则，同理可得：，再根据三角形面积即可求出答案.
25．（2025·天津市）已知抛物线为常数，．
（I）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（II）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以AC为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
【答案】解：（I），
该抛物线的解析式为．
，
该抛物线顶点的坐标为．
（II）①点在抛物线上，
得．即．又，点，
．
根据题意，点在第四象限，过点作轴于点．
．得．
，有．
得．
∵，
∴．
．
由，得．
点的坐标为．
点在抛物线上，
．即．
解得（舍）．
点的坐标为．
②由，得．
在轴上点的左侧取点，使，连接GC．
，得．
，
．有，进而．
在Rt中，根据勾股定理，，
．有．
．
∵点，得．
．即．（*）
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段BC上时，取得最小值，即．
在Rt中，，
．
将（*）式代入，得．
解得（舍）．有．
点．
可得直线BC的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出顶点P的坐标.
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式可得，由，点可得，过点作轴于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，则点的坐标为，再将点D坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
②由，得，在轴上点的左侧取点，使，连接GC，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，进而，根据勾股定理可得GA，根据边之间的关系可得GO，根据两点间距离可得，建立方程可得，根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得，根据平行四边形性质可得．得，再根据边之间的关系可得，当点在线段BC上时，取得最小值，即，根据勾股定理可得，联立返程，解方程可得，则点，求出直线BC的解析式为，设点的横坐标为，建立方程，解方程可得点的坐标为，再根据平移的性质即可求出答案.
1 / 1天津市2025年中考数学真题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·天津市） 计算的结果等于（ ）
A．-3 B．3 C． D．
2．（2025·天津市） 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·天津市）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2025·天津市）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天津市）据2025年5月7日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到31492000人次．将数据31492000用科学记数法表示应为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·天津市）的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
7．（2025·天津市）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·天津市）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·天津市）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．1
10．（2025·天津市）如图，CD是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点，与边AC相交于点；②以点为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点；③以点为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线BH，与CD相交于点，与边AC相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·天津市）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边BC相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
12．（2025·天津市）四边形ABCD中，．动点从点出发，以的速度沿边BA、边AD向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边CB向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；②当时，的最大面积为；③有两个不同的值满足的面积为39．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（2025·天津市）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
14．（2025·天津市）计算的结果为 ．
15．（2025·天津市）计算的结果为 ．
16．（2025·天津市）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
17．（2025·天津市）如图，在矩形ABCD中，，点在边BC上，且．
（I）线段AE的长为 ；
（II）为CD的中点，为AF的中点，为EF上一点，若，则线段MN的长为 ．
18．（2025·天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（I）线段PA的长为 ▲ ；
（II）直线PA与的外接圆相切于点．点在射线BC上，点在线段BA的延长线上，满足，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（2025·天津市）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式①，得 ▲ ；
（II）解不等式②，得 ▲ ；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为 ▲ ．
20．（2025·天津市）为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（I）填空：的值为 ▲ ，图①中的值为 ▲ ，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为 ▲ 和 ▲ ；
（II）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
（III）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？
21．（2025·天津市）已知AB与相切于点与相交于点D，E为上一点．
（I）如图①，求的大小；
（II）如图②，当时，EC与OB相交于点，延长BO与相交于点，若的半径为3，求ED和EG的长．
22．（2025·天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点依次在同一条水平直线上，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）．
参考数据：．
23．（2025·天津市）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（I）①填表：
小华离开家的时间 1 6 18 50
小华离家的距离 0.6
②填空：小华从公园返回家的速度为 ▲ ；
③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式；
（II）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
24．（2025·天津市）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．
（I）填空：如图①，点的坐标为 ▲ ，点的坐标为 ▲ ；
（II）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．
①如图②，若边与边AB相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段GA的长，并直接写出的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）.
25．（2025·天津市）已知抛物线为常数，．
（I）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（II）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以AC为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：=3
故答案为：B
【分析】根据有理数的除法即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该组合体的主视图为
故答案为：D
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
5．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据31492000用科学记数法表示应为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
6．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=1-1
=0
故答案为：A
【分析】根据特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可以追上慢马
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设快马天可以追上慢马，根据题意建立方程即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A
【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法可得，∠CBN=∠A
根据题意无法得到∠ABN与∠CBN的大小关系
∴无法确定∠ABN与∠CBN的大小关系，A错误
∵CD是∠ABC的角平分线
∴∠BCD=∠ACD
∵∠BMD=∠BCD+∠CBN，∠BDM=∠A+∠ACD
∴∠BMD=∠BDM
∴BD=BM，D正确
题目中没有说明∠ACB，∠A的大小关系
∴无法判断∠ACB，∠CBN的大小关系，则无法得到∠BNC的度数，B错误
根据题意无法得到AD，CM的大小关系，C错误
故答案为：D
【分析】 由作法可得，∠CBN=∠A，根据三角形外角性质，等腰三角形的判定逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接AD，∠CC'于点O
由旋转性质可得AC'=AC=4，∠AC'B'=∠ACB=90°
∴∠AC'D=90°
在Rt△AC'D和Rt△ACD中
∴Rt△AC'D≌Rt△ACD
∴C'D=CD=3
∴AD垂直平分CC'
∴CC'=2OC，AD⊥CC'
∵∠ACB=90°，AC=4，CD=3
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接AD，∠CC'于点O，由旋转性质可得AC'=AC=4，∠AC'B'=∠ACB=90°，则∠AC'D=90°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△AC'D≌Rt△ACD，则C'D=CD=3，根据垂直平分线判定定理可得AD垂直平分CC'，则CC'=2OC，AD⊥CC'，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，点M在AB上的运动时间为
点M在AD上的运动时间为
点N在CB上的运动时间为16s
①当t=6s时，点M在AD上
此时AM=2×6-8=4cm，CN=6cm
∴DM=AD-AM=6cm
∴CN=DM，①正确
②当时，点M在AB上
此时BM=2tcm，CN=tcm
∴BN=(16-t)cm
∴
∵-1<0
∴当t<8时，随t的增大而增大
∴当t=2时，取得最大值，最大值为28
即当时，的最大面积为28cm2，②错误
③当点M在AB上时
∵的面积为39
∴
解得：t=3或t=13(舍去)
当点M在AD上时
∵AD∥BC，∠B=90°
∴∠A=180°-∠B=90°，即AB⊥AD
∴
解得：
综上所述，当t=3或时，满足的面积为，③正确
故答案为：C
【分析】由题意可得点M在AB上的运动时间为4s，点M在AD上的运动时间为5s，点N在CB上的运动时间为16s，①当t=6s时，点M在AD上，求出AM，CN长度，再根据边之间的关系即可判断①；②当时，点M在AB上，此时BM=2tcm，CN=tcm，则BN=(16-t)cm，根据三角形面积，结合二次函数性质可判断②；③分情况讨论：当点M在AB上时，当点M在AD 上时，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
=
故答案为：
【分析】根据合并同类项法则即可求出答案.
15．【答案】60
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=61-1
=60
故答案为：60
【分析】根据平方差公式逆运算即可求出答案.
16．【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
17．【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=BE+CE=BE+2BE=3
∴BE=1
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABE=90°
∴
故答案为：
（2）过点M作MH⊥EF于点H
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°
∵F为CD的中点
∴
∴CF=BE
∵CE=2BE=2=AB
∴△ABE≌△ECF(SAS)
∴EF=EA，∠BAE=∠CEF
∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90°
∴∠AEF=90°
∴∠EAF=∠EFA=45°
∴∠MNF=180°-∠NFM-∠NMF=60°
∴
∵M为AF的中点
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据边之间的关系可得BE=1，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点M作MH⊥EF于点H，根据矩形性质可得CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°，根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得CE=2BE=2=AB，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ECF(SAS)，则EF=EA，∠BAE=∠CEF，再根据角之间的关系可得∠EAF=∠EFA=45°，根据三角形内角和定理可得∠MNF，根据勾股定理可得AF，则，再解直角三角形即可求出答案.
18．【答案】解：（I）；
（II）如图，直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接DE；取格点，连接AF，与DE相交于点；连接BO并延长，与AC相交于点，与直线PA相交于点；连接CH并延长，与网格线相交于点，连接AI，与网格线相交于点；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点，则点M，N即为所求．
【知识点】勾股定理；圆的综合题；尺规作图-垂线；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接DE；取格点，连接AF，与DE相交于点；连接BO并延长，与AC相交于点，与直线PA相交于点；连接CH并延长，与网格线相交于点，连接AI，与网格线相交于点；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点，则点M，N即为所求.
19．【答案】解：解：（I）；
（II）；
（III）
（IV）．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，可得不等式组的解集.
20．【答案】解：（I）40，25，4，3．
（II）观察条形统计图，
，
这组数据的平均数是3.2．
（III）在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占，
根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有.
估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
a=5+6+10+14+5=40
m%=1-35%-12.5%-12.5%-15%=25%
∴m=25
4小时出现的人数最多，为14人
∴众数为4
将数据按照从小到大的顺序排列，最中间的两个数都在3小时中
∴中位数为3
故答案为：40，25，4，3
【分析】（1）将所有人数相加可得a值，用1减去其他占比可得m值，再根据众数与中位数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以4小时的占比即可求出答案.
21．【答案】解：（I）如图，连接OC．
与相切于点，
．又，
平分．得．
，
．
在中，，
．
（II）如图，连接OC．
同（I），得．
，
．
为的一个外角，
．
根据题意，DG为的直径，
．又的半径为3，得．
在Rt中，，
．
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质；圆的综合题；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线性质可得，再根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
（2）连接OC，同（I），得，根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质可得，根据圆周角定理可得，再解直角三角形即可求出答案.
22．【答案】解：如图，延长DF与AB相交于点．
根据题意，可得．
有．
在Rt中，，
．
在Rt中，，
．
，
．
．
．
答：世纪钟建筑AB的高度约为40m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长DF与AB相交于点，根据正切定义可得GF，GD，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得GB，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】解：（I）①0.1，0.6，1.8；
②0.12；
③当时，；
当时，；
当时，．
（II）．
【知识点】分段函数；两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）①由图可得：
小华去书店的的速度为
∴1min时， 小华离家的距离为1×0.1=0.1km
18min时， 小华离家的距离为0.6km
50min时， 小华离家的距离为1.8km
故答案为：0.1，0.6，1.8
②小华从公园返回家的速度为
故答案为：0.12
③由①得小华去书店的速度为0.1
∴当时，
由图可得，当时，
当时，设直线解析式为t=kx+b
将(18，0.6)，(30，1.8)代入解析式得
解得：
∴
（2）如图，y2为妈妈的图形
由题意可得，小华妈妈的速度为0.05
∴其直线解析式为y2=0.05x
当y1=y2时
0.05x=0.6，解得x=12
令0.05x=0.1x-1.2，解得x=24
∴当时，
【分析】（1）①结合图形即可求出答案.
②根据速度=路程÷时间即可求出答案.
③分情况讨论：当时，当时，当时，结合待定系数法即可求出答案.
（2）求出y2解析式，求出y1=y2时x对应的值，结合函数图象即可求出答案.
24．【答案】解：（I）．
（II）①等边中，顶点，
．
由平移知，．
．又，
．
在Rt中，，
．
由点，得．
．
，其中的取值范围是．
②．
【知识点】解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）作FG⊥OE于点G，作CH⊥AB于点H
∵，为等边三角形
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
（2）②当时，则重叠的部分为四边形OO'F'G，作F'M⊥x轴
由(1)和(2)①可知，
∴
∴当时，S的值最小，为
∴
设BC交x轴于点N，则
∴当时，此时点E'于点O重合，O'与点N重合，重叠的部分为△O'E'F'
∴
当，S随着t的增大而减小
∴当，S有最小值，此时点CO'⊥x轴
此时重叠部分为五边形，
∵∠CNO'=∠BNO=90°-∠ABC=30°，∠E'OF'=60°
∴∠NQO'=90°
∴
∴
∵∠ACB-60°，∠CQP=∠NO'Q=90°
∴∠F''PG=∠CPQ=30°
∴∠F''GP=180°-30°-60°=90°
由平移可得，
∴∠F'F''G=∠O'E'F''=60°
∴∠F''F'G=30°=∠F''PG
∴
同理可得：
∴
综上所述，
【分析】（1）作FG⊥OE于点G，作CH⊥AB于点H，根据等边三角形性质可得，再根据两点间距离及边之间的关系可得，则，根据勾股定理可得FG，CH，即可求出答案.
（2）①根据等边三角形性质可得，再根据平移性质可得，根据全等三角形性质可得，根据边之间的关系可得E''O，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得OG，根据边之间的关系可得GA，即可求出答案.
②分情况讨论：当时，则重叠的部分为四边形OO'F'G，作F'M⊥x轴，由(1)和(2)①可知，，根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可答案；设BC交x轴于点N，解直角三角形可得ON，当时，此时点E'于点O重合，O'与点N重合，重叠的部分为△O'E'F'，根据三角形面积即可求出答案；当，S随着t的增大而减小，当，S有最小值，此时点CO'⊥x轴，此时重叠部分为五边形，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据三角形面积可得，再根据平移性质可得，根据直线平行性质可得∠F''F'G=30°=∠F''PG，则，同理可得：，再根据三角形面积即可求出答案.
25．【答案】解：（I），
该抛物线的解析式为．
，
该抛物线顶点的坐标为．
（II）①点在抛物线上，
得．即．又，点，
．
根据题意，点在第四象限，过点作轴于点．
．得．
，有．
得．
∵，
∴．
．
由，得．
点的坐标为．
点在抛物线上，
．即．
解得（舍）．
点的坐标为．
②由，得．
在轴上点的左侧取点，使，连接GC．
，得．
，
．有，进而．
在Rt中，根据勾股定理，，
．有．
．
∵点，得．
．即．（*）
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段BC上时，取得最小值，即．
在Rt中，，
．
将（*）式代入，得．
解得（舍）．有．
点．
可得直线BC的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出顶点P的坐标.
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式可得，由，点可得，过点作轴于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，则点的坐标为，再将点D坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
②由，得，在轴上点的左侧取点，使，连接GC，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，进而，根据勾股定理可得GA，根据边之间的关系可得GO，根据两点间距离可得，建立方程可得，根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得，根据平行四边形性质可得．得，再根据边之间的关系可得，当点在线段BC上时，取得最小值，即，根据勾股定理可得，联立返程，解方程可得，则点，求出直线BC的解析式为，设点的横坐标为，建立方程，解方程可得点的坐标为，再根据平移的性质即可求出答案.
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