重庆市2025年中考数学试题
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（2025·重庆市）6的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
2．（2025·重庆市）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·重庆市）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况
B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况
D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
4．（2025·重庆市）如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·重庆市）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
6．（2025·重庆市）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·重庆市）下列四个数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·重庆市）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·重庆市）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·重庆市）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（2025·重庆市）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ．
12．（2025·重庆市）如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是 ．
13．（2025·重庆市）若为正整数，且满足，则 ．
14．（2025·重庆市）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
15．（2025·重庆市）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为 ，的长度为 ．
16．（2025·重庆市）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（2025·重庆市）求不等式组：的所有整数解．
18．（2025·重庆市）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（2025·重庆市）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息：
七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，．
八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？
20．（2025·重庆市）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·重庆市）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
22．（2025·重庆市）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
23．（2025·重庆市）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）
（1）求的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
24．（2025·重庆市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式：
（2）点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
25．（2025·重庆市）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，，，求的度数；
（2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明：
（3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵6的相反数为-6，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．故答案为：B．
【分析】如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A.调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C.调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似对每个选项逐一判断求解即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理求出即可作答.
5．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是（个），
故答案为：C．
【分析】先观察图形，再找出规律：第个图案中有个黑色圆点，最后计算求解即可.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴，
点所在的反比例函数的，
反比例函数的图象一定经过的点是，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再根据反比例函数图象上点的坐标特点求解即可.
7．【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，，，，
，
，
∴四个数中，最大的是，
故答案为：D．
【分析】根据题意，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再比较大小求解即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，
由题意可得：，
解得或（舍去负值），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可.
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
四边形是正方形，
，，
点E是边的中点，
，
将沿直线翻折得，
，，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
，
和的平分线相交于点H，
点到的距离相等，
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质求出，，再利用HL证明，最后利用勾股定理和三角形的面积公式等计算求解即可.
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；配方法的应用
【解析】【解答】解：当时，，
当，时，整式M为，
当时，整式M不可能为单项式，
当时，
，，…，为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当时，，
当时，，
则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，
当时，，
则故会有一种情况，对应的整式M为，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是个，
故答案为：C．
【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，找出规律计算求解即可.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子里一共有（个）球，红球有1个，
∴摸出红球的概率。
故答案为：．
【分析】根据题意先求出袋子里一共有4个球，红球有1个，再根据概率公式计算求解即可.
12．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】结合图形，根据平行线的性质求出即可作答.
13．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后根据计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】负整数指数幂；解含绝对值符号的一元一次方程；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
当时，方程无解，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后根据负整数指数幂的法则计算求解即可.
15．【答案】3；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，即，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，；
∴
如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
解得：；
，即，
解得：；
∵菱形，
∴，
∴，
如图：过H作于M，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：3；．
【分析】根据菱形的性质求出，再利用勾股定理求出AD的值，最后利用锐角三角函数和垂直平分线的性质计算求解即可.
16．【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设四位数，
∵要求最小的“十全数”，
∴，
∴，
∴最小的“十全数”是；
∵一个“十全数”，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵与均是整数
∴与均是整数
∴能被13整除，能被17整除
∵，
∴，
∴
∴的值可以为13，26，39，52，65
∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意
∴，
∴满足条件的M的值是．
故答案为：，．
【分析】根据“十全数”的定义求出a，b，c，d的值，再求出M和M'的值，最后计算求解即可.
17．【答案】解：，
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
∴不等式组的解集为．
所以该不等式组的所有整数解是，，．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质求出x＜2，x≥-1，再求出不等式组的解集为，最后求整数解即可.
18．【答案】解：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：，，
．
在和中，
，
．
，
平分．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意先作图，再根据HL的判定方法证明，得出，最后根据全等三角形的性质求解即可.
19．【答案】（1），，
（2）解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
（3）解：（人），
即该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人．
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人），
∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，，
∴，
∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是，
∴，
∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个，
∴，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据题意先求出组和组的人数，再根据中位数，众数求出a和b，最后利用扇形和组人数即可求出的值即可作答；
（2）根据平均分、中位数及众数，结合题意分析求解即可；
（3）根据该校七年级有学生人，八年级有学生人， 利用样本估计总体计算求解即可.
（1）解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人），
∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，，
∴，
∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是，
∴，
∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
（3）解：（人），
即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人．
20．【答案】解：原式
；
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据题意先化简分式，再求出x的值，最后将x=4代入计算求解即可.
21．【答案】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个，
，
解得：，
则甲文创产品数量为，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个，再找出等量关系求出，最后解方程计算求解即可；
（2）先设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个，再找出等量关系求出，最后解方程计算求解即可.
（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个．
，
解得：，
则甲文创产品数量为个，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
22．【答案】（1），
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大（不唯一）；
当时，随的增大而减小；
（3）（或或或或）
【知识点】分段函数；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）.
【分析】（1）利用勾股定理求出AC=5，再分类讨论，结合图形，利用三角形和矩形的面积公式等计算求解即可；
（2）根据函数解析式画图，再根据函数图象写出性质求解即可；
（3）根据函数图象，结合题意作答求解即可.
（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．
23．【答案】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，（千米），
（千米），
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，（千米），
（千米），
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴（千米），
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数求出AE和DE的值，再根据矩形的判定方法证明四边形是矩形，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数求出BC和CF的值，再根据勾股定理求出x的值，最后计算求解即可.
（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴千米，
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
24．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，
即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，
解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；
如图所示，∵，
即，
解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据题意利用待定系数法求出，再利用相似三角形的判定方法证明，最后结合题意，利用勾股定理等计算求解即可；
（3）根据平移求出，再求出，最后结合函数图象，利用锐角三角函数等计算求解即可.
（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；
如图所示，则∵，
即，解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．
25．【答案】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转得，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即；
（3）
【知识点】旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：取中点，中点，连接，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，
即点和点重合时，最小，
此时如图，
由翻折可知，
∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，
此时如图，连接，过点作于点，过点作于点，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴．
【分析】（1）根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，再根据旋转求出，最后计算求解即可；
（2）利用SAS证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据等腰直角三角形的判定与性质求解即可；
（3）利用SAS证明，再利用相似三角形的判定方法证明，最后根据相似三角形的性质和三角形的面积公式等计算求解即可.
（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转得，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即；
（3）解：取中点，中点，连接，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，
即点和点重合时，最小，
此时如图，
由翻折可知，
∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，
此时如图，连接，过点作于点，过点作于点，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴．
1 / 1重庆市2025年中考数学试题
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（2025·重庆市）6的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵6的相反数为-6，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．（2025·重庆市）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．故答案为：B．
【分析】如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．（2025·重庆市）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况
B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况
D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A.调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C.调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似对每个选项逐一判断求解即可.
4．（2025·重庆市）如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理求出即可作答.
5．（2025·重庆市）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是（个），
故答案为：C．
【分析】先观察图形，再找出规律：第个图案中有个黑色圆点，最后计算求解即可.
6．（2025·重庆市）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴，
点所在的反比例函数的，
反比例函数的图象一定经过的点是，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再根据反比例函数图象上点的坐标特点求解即可.
7．（2025·重庆市）下列四个数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，，，，
，
，
∴四个数中，最大的是，
故答案为：D．
【分析】根据题意，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再比较大小求解即可.
8．（2025·重庆市）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，
由题意可得：，
解得或（舍去负值），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可.
9．（2025·重庆市）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
四边形是正方形，
，，
点E是边的中点，
，
将沿直线翻折得，
，，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
，
和的平分线相交于点H，
点到的距离相等，
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质求出，，再利用HL证明，最后利用勾股定理和三角形的面积公式等计算求解即可.
10．（2025·重庆市）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；配方法的应用
【解析】【解答】解：当时，，
当，时，整式M为，
当时，整式M不可能为单项式，
当时，
，，…，为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当时，，
当时，，
则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，
当时，，
则故会有一种情况，对应的整式M为，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是个，
故答案为：C．
【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，找出规律计算求解即可.
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（2025·重庆市）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子里一共有（个）球，红球有1个，
∴摸出红球的概率。
故答案为：．
【分析】根据题意先求出袋子里一共有4个球，红球有1个，再根据概率公式计算求解即可.
12．（2025·重庆市）如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】结合图形，根据平行线的性质求出即可作答.
13．（2025·重庆市）若为正整数，且满足，则 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后根据计算求解即可.
14．（2025·重庆市）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂；解含绝对值符号的一元一次方程；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
当时，方程无解，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后根据负整数指数幂的法则计算求解即可.
15．（2025·重庆市）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为 ，的长度为 ．
【答案】3；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，即，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，；
∴
如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
解得：；
，即，
解得：；
∵菱形，
∴，
∴，
如图：过H作于M，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：3；．
【分析】根据菱形的性质求出，再利用勾股定理求出AD的值，最后利用锐角三角函数和垂直平分线的性质计算求解即可.
16．（2025·重庆市）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ．
【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设四位数，
∵要求最小的“十全数”，
∴，
∴，
∴最小的“十全数”是；
∵一个“十全数”，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵与均是整数
∴与均是整数
∴能被13整除，能被17整除
∵，
∴，
∴
∴的值可以为13，26，39，52，65
∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意
∴，
∴满足条件的M的值是．
故答案为：，．
【分析】根据“十全数”的定义求出a，b，c，d的值，再求出M和M'的值，最后计算求解即可.
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（2025·重庆市）求不等式组：的所有整数解．
【答案】解：，
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
∴不等式组的解集为．
所以该不等式组的所有整数解是，，．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质求出x＜2，x≥-1，再求出不等式组的解集为，最后求整数解即可.
18．（2025·重庆市）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
【答案】解：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：，，
．
在和中，
，
．
，
平分．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意先作图，再根据HL的判定方法证明，得出，最后根据全等三角形的性质求解即可.
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（2025·重庆市）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息：
七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，．
八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？
【答案】（1），，
（2）解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
（3）解：（人），
即该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人．
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人），
∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，，
∴，
∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是，
∴，
∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个，
∴，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据题意先求出组和组的人数，再根据中位数，众数求出a和b，最后利用扇形和组人数即可求出的值即可作答；
（2）根据平均分、中位数及众数，结合题意分析求解即可；
（3）根据该校七年级有学生人，八年级有学生人， 利用样本估计总体计算求解即可.
（1）解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人），
∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，，
∴，
∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是，
∴，
∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
（3）解：（人），
即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人．
20．（2025·重庆市）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据题意先化简分式，再求出x的值，最后将x=4代入计算求解即可.
21．（2025·重庆市）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
【答案】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个，
，
解得：，
则甲文创产品数量为，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个，再找出等量关系求出，最后解方程计算求解即可；
（2）先设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个，再找出等量关系求出，最后解方程计算求解即可.
（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个．
，
解得：，
则甲文创产品数量为个，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
22．（2025·重庆市）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】（1），
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大（不唯一）；
当时，随的增大而减小；
（3）（或或或或）
【知识点】分段函数；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）.
【分析】（1）利用勾股定理求出AC=5，再分类讨论，结合图形，利用三角形和矩形的面积公式等计算求解即可；
（2）根据函数解析式画图，再根据函数图象写出性质求解即可；
（3）根据函数图象，结合题意作答求解即可.
（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．
23．（2025·重庆市）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）
（1）求的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
【答案】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，（千米），
（千米），
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，（千米），
（千米），
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴（千米），
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数求出AE和DE的值，再根据矩形的判定方法证明四边形是矩形，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数求出BC和CF的值，再根据勾股定理求出x的值，最后计算求解即可.
（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴千米，
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
24．（2025·重庆市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式：
（2）点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，
即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，
解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；
如图所示，∵，
即，
解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据题意利用待定系数法求出，再利用相似三角形的判定方法证明，最后结合题意，利用勾股定理等计算求解即可；
（3）根据平移求出，再求出，最后结合函数图象，利用锐角三角函数等计算求解即可.
（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；
如图所示，则∵，
即，解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．
25．（2025·重庆市）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，，，求的度数；
（2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明：
（3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转得，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即；
（3）
【知识点】旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：取中点，中点，连接，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，
即点和点重合时，最小，
此时如图，
由翻折可知，
∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，
此时如图，连接，过点作于点，过点作于点，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴．
【分析】（1）根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，再根据旋转求出，最后计算求解即可；
（2）利用SAS证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据等腰直角三角形的判定与性质求解即可；
（3）利用SAS证明，再利用相似三角形的判定方法证明，最后根据相似三角形的性质和三角形的面积公式等计算求解即可.
（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转得，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即；
（3）解：取中点，中点，连接，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，
即点和点重合时，最小，
此时如图，
由翻折可知，
∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，
此时如图，连接，过点作于点，过点作于点，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴．
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