四川省绵阳市三台县2025年中考二模数学试题
1．（2025·三台模拟）在实数，0，，，中无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025·三台模拟）绵阳市作为中国科技城，据统计全市拥有高新技术企业658家，平均每家企业年产值约7.41亿元，2023年高新技术产业产值达到惊人的4876亿元．将4876亿元用科学记数法表示为（ ）元
A． B．
C． D．
3．（2025·三台模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·三台模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·三台模拟）据调查，某班38名学生所穿校服尺码统计如下：
尺码 150 155 160 165 170 175 180
频数 1 6 8 12 5 4 2
则该班38名学生所穿校服尺码的中位数是（ ）
A．8 B．12 C．160 D．165
6．（2025·三台模拟）一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·三台模拟）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·三台模拟）某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·三台模拟）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（ ）米（精确到1米）．（参考数据：，，，）
A．74 B．91 C．57 D．40
10．（2025·三台模拟）已知关于x的分式方程无解，则a的值是（ ）
A． B．3或0 C．或4 D．4
11．（2025·三台模拟）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．
12．（2025·三台模拟）如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则；⑤当时则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．（2025·三台模拟）分解因式： ．
14．（2025·三台模拟）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为 ．
15．（2025·三台模拟）若单项式的系数是m，次数是n，则 ．
16．（2025·三台模拟）若，那么x的最小整数值是 ．
17．（2025·三台模拟）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动翻转，使它的三边依次与x轴重合，第一次翻转后圆心为，第二次翻转后圆心为，依此规律，第21次翻转后，内切圆的圆心的坐标是 ．
18．（2025·三台模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为 ．
19．（2025·三台模拟）（1）计算： ；
（2）化简求值：，其中满足．
20．（2025·三台模拟）近年来绵阳市初中毕业升学体育考试采用“”模式，即3个必考项目和1个选考项目，总分80分，其中跳绳和中长跑由抽签决定考查其中一项．某校为了了解全校学生跳绳项目的成绩水平，学校随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了统计表和统计图（如图）．
一分钟跳绳次数的频数表
等级 次数 频数
不合格 4
合格 10
良好 a
优秀 12
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）__________，补全一分钟跳绳次数的频数分布直方图．
（2）若该校有800名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为__________．
（3）在本次比赛结果为“优秀”等级的学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达190次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别不同的概率．
21．（2025·三台模拟）绵阳作为四川省重要的区域中心城市和成渝地区双城经济圈的重要节点，近年来物流业发展迅速，绵阳有望成为川西北物流新高地．现在绵阳某物流公司需要从涪城区运送360吨蔬菜和210吨水果到三台县城，物流公司准备派大货车和小货车共20辆来完成此次运送任务，其每辆车的运载量和运费如下表，
可载蔬菜吨数（吨/辆） 可载水果吨数（吨/辆） 运费（元/辆）
小货车 10 15 500
大货车 20 10 800
设物流公司派小货车x辆，请解决下面的问题：
（1）求物流公司有哪几种运送方案？
（2）求物流公司采用哪种运送方案使运送费用最低？
22．（2025·三台模拟）如图，在矩形中，点E为边上一点，将沿翻折到，点B恰好落在边上的点F处．延长、交于点G，连接，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，且，求菱形的面积．
23．（2025·三台模拟）如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，过点C作双曲线．，点A的坐标为．
（1）求直线的解析式与点E的坐标；
（2）连接，，当时，求m的值．
24．（2025·三台模拟）如图，在中，，点B在上，以为直径的交于点C，连接并延长交于点E，连接、，连接交于点F，恰好平分．
（1）求证：为的切线；
（2）已知，，求的半径和的长．
25．（2025·三台模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标；
（3）如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有，共1个，
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤|a|<10，n为原数字的整数位数减1，1亿=108.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项正确，符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断B选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形，可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故答案Wie：A．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状即可．
5．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：一共有38个数，从小到大排列第19和第20个数分别是165，165，
∴这组数据的中位数是.
故答案为：D
【分析】利用求中位数的方法：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；据此可求出已知数据的中位数.
6．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
H O C N
H
O
C
N
共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种，
所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为，
故答案为：D．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
∵两个同号的实数根，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式42-4k≥0，求解得出k≤4，由根与系数的关系及有理数的乘法法则“同号两数相乘，积为正”列出不等式k＞0，综上即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，由题意得：
，
故答案为：D．
【分析】根据题意得等量关系“生产侧面的人数+生产底面的人数=120”，“生产侧面的数量=生产底面的数量×4”据此列出方程组，即可解答．
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
由题意可得，，，米，.
在中，，
∴(米)，
在中，
(米)，
(米)，
故这栋楼的高度约为74米.
故答案为：A．
【分析】过点作于点，则，，米，分别在中和中，解直角三角形，可求得和的长，相加即可得到楼的高度.
10．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘，得：，
整理得：，
①若，该整式方程无解，原分式方程也无解，
此时；
②若，该整式方程的解为：，
∵原分式方程无解，
∴是方程的增根，
∵，
∴x=0或x=3.
∴或，
解得：，
综上所述，a的值为4或3．
故答案为：C．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解是原分式方程的增根．分式方程整理得．再分两种情况讨论：①若，方程无解；②若，整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到或，求解即可．
11．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长到点G，使，连接，如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴.
∵E是中线的中点，
∴，
∵，
∴
∴.
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，.
∵，
∴.
∴，
∴
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】延长到点G，使，连接，利用中点的定义得BD=CD=2，AE=DE，于是可利用SAS证明出△AEG≌△DEC，得到，再证明，得到，代入数据即可求得BF的长．
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；等腰三角形的判定与性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，，
∴，故结论①正确，符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故结论②不正确，不符合题意；
若点，，在抛物线上，在图上标点如图所示：
由图象可知，，故结论③不正确，不符合题意；
∵抛物线与直线有交点，故，
此时方程有解，即方程有实数解，
要使有实数解，
∴，故结论④不正确，不符合题意；
过点作轴于点，如图：
由抛物线的对称性可知，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，b2－4ac≥0，
∵点是抛物线的顶点，n<0，
∴，，
∵，
∴，即，
∴.
∴，
∴，故结论⑤正确，符合题意，
综上，符合题意的有，共个，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，抛物线的对称轴在轴的右侧，得到，，可判断①；由图象可知，当时，，可判断②；在图象上描出三个点，观察图象可判断③；由抛物线与直线有交点，方程有解，，则有实数解，要使有实数解，则，可判断④；过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，则，设，，由根与系数的关系得，结合a>0可得，再由，可得，整理可得，于是有，可判断⑤.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式m后继续应用平方差公式分解即可
14．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在图中标字母如下所示：
由题意得：∠CAB=α=31.5°，CB⊥AB，OD//AF，OE⊥OD，
∴∠ABC=90°，
∴∠OCF=∠ACB=90°－∠CAB=58.5°，
∵OD//AF，
，
故答案为：．
【分析】标出字母，求出重力G的方向与斜面的夹角，再根据平行线的性质求解即可。
15．【答案】
【知识点】单项式的次数与系数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意，单项式的系数，次数是，
∴.
故答案为：
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求得m，n值即可求解．
16．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，即
∴，
∴，
故x的最小整数值是，
故答案为：．
【分析】根据绝对值的意义，可得，再估算无理数的取值范围即可解答．
17．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形变化﹣旋转；切线长定理；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∴，
∴的内切圆的半径，
∴的坐标为，
过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥OA于点F，PD⊥OB于点D，如图所示：
∴，OD=OF=1，，
∴点的坐标为，即（5，1）；
的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
... ... ...
∴每滚动3次一个循环，第n个循环的第1个坐标为：，即.
(21+1)÷3=7...1，
∴第次滚动后，是第8个循环的第一个点，
∴的圆心的横坐标为12×8－11=85，
∴的横坐标是，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】
由勾股定理得出，得出Rt△OAB的内切圆的半径，因此点P的纵坐标为1，计算出点P，P1，P2，P3，P4，P5，P6的横坐标，得出规律：每滚动3次一个循环，由(21+1)÷3=7...1，得是第8个循环的第一个点，即可得到结果．
18．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：以OA为边向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于点E，如图1所示：
∴AO=AD=OD，∠OAD=∠AOD=60°，
∵△ABP是等边三角形，
∴AB=BP=AP，∠BAP=60°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠OAD+∠PAC，即∠BAO=∠PAD，
∴△BAO≌△PAD(SAS)，
∴∠ADP=∠AOB=90°.
∴点P在经过点D且与垂直的直线上运动.
当点P运动到y轴时，根据对称性得，点P经过点C，即点C在直线CD上.
作点A关于直线的对称点G，连接，过点P作轴于F，连接，如图3所示，
∵A、G两点关于直线对称，且，
∴AG=2AD，即点D为的中点.
∵点A的坐标为，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，即点G在x轴上，
∴.
∵AD⊥CD，∠DAC=60°，
∴∠ACD=30°=∠FCP，
∴，
由轴对称的性质可知，
∴，
∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，此时GF⊥AC，
∴点F与原点O重合，故最小值即为的长，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】以OA为边向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于点E，先证明△BAO≌△PAD，可得
∠ADP=∠AOB=90°，于是可得点P在经过点D且与垂直的直线上运动；根据对称性得，点P经过点C，可得点C在直线CD上；作点A关于直线的对称点G，连接，过点P作轴于F，连接，可得AG=2AD，即点D为的中点；再证明△ACG是等边三角形，可得点G在x轴上，即可计算得OG的长；证明∠ACD=30°，可得，结合对称性得，可得
G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，此时GF⊥AC，故最小值即可OG的长.
19．【答案】解；（1）原式
；
（2）原式
；
∵，，，
∴，，
∴，，
代入得：原式.
【知识点】负整数指数幂；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂和负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、并且去绝对值，再进行四则混合运算即可.
（2）先把括号内分式的分子、分母分解因式并约分，再进行同分母分式的减法计算，最后把除法转化为乘法，进一步约分化简即可；根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出a和b的值，再代入化简后的结果运算即可.
20．【答案】（1）解：14；
补充频数统计图如下：
（2）720
（3）
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
故答案为：14.
（2）解：（人），
故该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数约由720人．
故答案为：720；
（3）解：设男生为A，B，女生为C，D，画树状图如图所示：
一共有12种等可能结果，其中抽到两人的性别恰好不同的有8种，
∴ P（性别不同）．
【分析】（1）求出的值即可补全统计图；
（2）用该校学生数乘以该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数的占比即可；
（3）画书中途得到所有情况数，以及符合条件的情况数，再用符合题意的情况数除以总情况数即可．
（1）解：由题意得，，
补充图如下：
（2）解：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数约（人）．
（3）解：设男生为，女生为．
一共有12种等可能结果，其中抽到两人的性别恰好不同的有8种，
所以P（性别不同）．
21．【答案】（1）解：∵物流公司派小货车x辆，可得派大货车(20－x)辆，
由题意得：
，
解得：．
为整数，
，3，4，
共有3种运送方案：
方案1：小货车2辆，大货车18辆；
方案2：小货车3辆，大货车17辆；
方案3：小货车4辆，大货车16辆．
（2）解：设运送费用为W元，小货车x辆，由题意得：
．
∵一次项系数，
随x的增大而减小，
又，
当时，运送费最小，且，
物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆时运送费用最低．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据题意，以及表格数据列不等式组求解即可；
（2）设运送费用为W元，小货车x辆，根据题意得到．利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：，解得：．
为整数，
，3，4，
共有3种运送方案：
方案1：小货车2辆，大货车18辆；
方案2：小货车3辆，大货车17辆；
方案3：小货车4辆，大货车16辆．
（2）解：设运送费用为W元，小货车x辆，
则：．
，
随x的增大而减小，
又，
当时，，
物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆使运送费用最低．
22．【答案】（1）证明：∵ △BCE沿翻折到△FCE，
∴BC=FC，BE=FE，∠BCE=∠FCE.
∴CE垂直平分BF，
∴GB=GF.
四边形是矩形，
，即，
，
，
∴FG=FC，
∴FG=FC=BC=BG.
∴四边形BCFG是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
由翻折的性质可得：，
设，
四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
，，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由翻折的性质可得BC=FC，BE=FE，∠BCE=∠FCE，继而可证得CE垂直平分BF，故有GB=GF.由矩形的性质得，于是可证得，再由等腰三角形的判定定理可得FG=FC，于是有FG=FC=BC=BG，再利用菱形的判定即可证明；
（2）在和中分别利用正切的定义得到，，设，在利用勾股定理列出方程，解出的值，求出和的长，再利用菱形的面积公式即可求解．
（1）证明：四边形是矩形，
，即，
，，
由翻折的性质可得：，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
由翻折的性质可得：，
是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
由翻折的性质可得：，
设，则，
四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
，，
，
．
23．【答案】（1）解：过点B作于点F，记AG与x轴相交于点G，如图所示：
，
，
∵点A的坐标为，，
.
，，
点B的纵坐标为2，
双曲线过点，
，
点B的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，可得-2x+10=0，
解得，
点E的坐标为．
（2）解：，
，
，
点，
，代入
∴，
，
把点C坐标代入中，即，
解得．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）过点B作于点F，根据平行线分线段成比例定理得出，由点A的坐标为，，得出，，则点B的纵坐标为2．先求出反比例函数的解析式，代入即可得点B的坐标，再根据待定系数法即可求出直线的解析式与点E的坐标；
（2）由可得，可求点，代入得，则，可求m的值．
（1）解：过点B作于点F，
，
，
点A的坐标为，，
，
，，
点B的纵坐标为2，
双曲线过点，
，
点B的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，解得，
点E的坐标为．
（2）解：，
，
，
点，
，代入得，
，
代入中，即，
解得．
．
24．【答案】（1）证明：，
，
又平分，
，
，
，
，，
又，
，
又，，
，
，
，
，
，
又为半径，
为的切线．
（2）解：连接AC，如图所示：
，
，
是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴
∵，即
∴CD=3OC，即
∴
，
∴，
，
∵，
，，
，
∴，即半径为8．
∴，
，
∴
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△AOD≌△COD，得到，再由切线的判定定理即可得出结论 ；
（2）连接AC， 证明，得；根据，求得；再由，可得，代入PB=2可得，，，半径为8．继而可利用正弦函数求得，最后证明，得，即，即可求解．
（1）证明：，
，
又平分，
，
，
，
，，
又，
，
又，，
，
，
，
，
，
又为半径，
为的切线．
（2）解：连接AC，
，
，
是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
∵
∴
∴
∵，即
∴
∴
，，
∴，
，
∵，
，，
，
∴，即半径为8．
∵
∴，
，
∴
，
，
．
25．【答案】（1）解：抛物线过点、点、点，
可设抛物线的解析式为：，
把点C坐标代入可得：2=-4a，
∴，
抛物线的解析式为：．
（2）解：∵PE⊥BD，
∴∠PEQ=∠PEB=90°=∠DOB，
∴∠EPQ+∠PQB=90°=∠PQB+∠QBO，
∴∠EPQ=∠QBO.
∴△EPQ∽△OBD，
∴.
，，
∴OB=1，，.
∴，
∴，，
∴，
当PQ最大时，的周长最大.
设直线的解析式为，
，，
∴
∴
直线的解析式为：，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
，
，
∴当时，，
点P的坐标为．
（3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，
，
，，
，
，
，
，要使与相似，
∴或2，
设点，
，，
或，
，，点不合题意，应舍去，
把点代入抛物线的解析式为：，
解得：，（舍去），
点E的坐标为．
【知识点】利用交点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据AB点坐标设抛物线的解析式为：，再把点C坐标代入，即可得到抛物线的解析式；
（2）先证明△EPQ∽△OBD，可得.根据点B和D的坐标，可得OB，OD和BD的长，于是可用PQ表示出PE和QE，进而可得当PQ最大时，的周长最大；表示出直线BD的解析式，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，进而得到，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，再证明可得，由，则要使与相似，即或2；设点，、，进而得到或，即，最后求点E的坐标即可．
（1）解：抛物线过点、点、点，
设抛物线的解析式为：，
，解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）解：设直线的解析式为，
，，
∴
直线的解析式为：，
如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，
点M的坐标为，
，，，
，
，
，
又，
，
．
当PQ最大时，的周长最大，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
，
，
∴当时，，
点P的坐标为．
（3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，
，
，，
，
，
，
，要使与相似，
∴或2，
设点，
，，
或，
，，点不合题意，应舍去，
把点代入抛物线的解析式为：，
解得：，（舍去），
点E的坐标为．
1 / 1四川省绵阳市三台县2025年中考二模数学试题
1．（2025·三台模拟）在实数，0，，，中无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有，共1个，
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．（2025·三台模拟）绵阳市作为中国科技城，据统计全市拥有高新技术企业658家，平均每家企业年产值约7.41亿元，2023年高新技术产业产值达到惊人的4876亿元．将4876亿元用科学记数法表示为（ ）元
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤|a|<10，n为原数字的整数位数减1，1亿=108.
3．（2025·三台模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项正确，符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断B选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
4．（2025·三台模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形，可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故答案Wie：A．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状即可．
5．（2025·三台模拟）据调查，某班38名学生所穿校服尺码统计如下：
尺码 150 155 160 165 170 175 180
频数 1 6 8 12 5 4 2
则该班38名学生所穿校服尺码的中位数是（ ）
A．8 B．12 C．160 D．165
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：一共有38个数，从小到大排列第19和第20个数分别是165，165，
∴这组数据的中位数是.
故答案为：D
【分析】利用求中位数的方法：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；据此可求出已知数据的中位数.
6．（2025·三台模拟）一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
H O C N
H
O
C
N
共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种，
所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为，
故答案为：D．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可.
7．（2025·三台模拟）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
∵两个同号的实数根，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式42-4k≥0，求解得出k≤4，由根与系数的关系及有理数的乘法法则“同号两数相乘，积为正”列出不等式k＞0，综上即可得出答案.
8．（2025·三台模拟）某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，由题意得：
，
故答案为：D．
【分析】根据题意得等量关系“生产侧面的人数+生产底面的人数=120”，“生产侧面的数量=生产底面的数量×4”据此列出方程组，即可解答．
9．（2025·三台模拟）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（ ）米（精确到1米）．（参考数据：，，，）
A．74 B．91 C．57 D．40
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
由题意可得，，，米，.
在中，，
∴(米)，
在中，
(米)，
(米)，
故这栋楼的高度约为74米.
故答案为：A．
【分析】过点作于点，则，，米，分别在中和中，解直角三角形，可求得和的长，相加即可得到楼的高度.
10．（2025·三台模拟）已知关于x的分式方程无解，则a的值是（ ）
A． B．3或0 C．或4 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘，得：，
整理得：，
①若，该整式方程无解，原分式方程也无解，
此时；
②若，该整式方程的解为：，
∵原分式方程无解，
∴是方程的增根，
∵，
∴x=0或x=3.
∴或，
解得：，
综上所述，a的值为4或3．
故答案为：C．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解是原分式方程的增根．分式方程整理得．再分两种情况讨论：①若，方程无解；②若，整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到或，求解即可．
11．（2025·三台模拟）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长到点G，使，连接，如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴.
∵E是中线的中点，
∴，
∵，
∴
∴.
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，.
∵，
∴.
∴，
∴
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】延长到点G，使，连接，利用中点的定义得BD=CD=2，AE=DE，于是可利用SAS证明出△AEG≌△DEC，得到，再证明，得到，代入数据即可求得BF的长．
12．（2025·三台模拟）如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则；⑤当时则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；等腰三角形的判定与性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，，
∴，故结论①正确，符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故结论②不正确，不符合题意；
若点，，在抛物线上，在图上标点如图所示：
由图象可知，，故结论③不正确，不符合题意；
∵抛物线与直线有交点，故，
此时方程有解，即方程有实数解，
要使有实数解，
∴，故结论④不正确，不符合题意；
过点作轴于点，如图：
由抛物线的对称性可知，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，b2－4ac≥0，
∵点是抛物线的顶点，n<0，
∴，，
∵，
∴，即，
∴.
∴，
∴，故结论⑤正确，符合题意，
综上，符合题意的有，共个，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，抛物线的对称轴在轴的右侧，得到，，可判断①；由图象可知，当时，，可判断②；在图象上描出三个点，观察图象可判断③；由抛物线与直线有交点，方程有解，，则有实数解，要使有实数解，则，可判断④；过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，则，设，，由根与系数的关系得，结合a>0可得，再由，可得，整理可得，于是有，可判断⑤.
13．（2025·三台模拟）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式m后继续应用平方差公式分解即可
14．（2025·三台模拟）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为 ．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在图中标字母如下所示：
由题意得：∠CAB=α=31.5°，CB⊥AB，OD//AF，OE⊥OD，
∴∠ABC=90°，
∴∠OCF=∠ACB=90°－∠CAB=58.5°，
∵OD//AF，
，
故答案为：．
【分析】标出字母，求出重力G的方向与斜面的夹角，再根据平行线的性质求解即可。
15．（2025·三台模拟）若单项式的系数是m，次数是n，则 ．
【答案】
【知识点】单项式的次数与系数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意，单项式的系数，次数是，
∴.
故答案为：
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求得m，n值即可求解．
16．（2025·三台模拟）若，那么x的最小整数值是 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，即
∴，
∴，
故x的最小整数值是，
故答案为：．
【分析】根据绝对值的意义，可得，再估算无理数的取值范围即可解答．
17．（2025·三台模拟）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动翻转，使它的三边依次与x轴重合，第一次翻转后圆心为，第二次翻转后圆心为，依此规律，第21次翻转后，内切圆的圆心的坐标是 ．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形变化﹣旋转；切线长定理；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∴，
∴的内切圆的半径，
∴的坐标为，
过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥OA于点F，PD⊥OB于点D，如图所示：
∴，OD=OF=1，，
∴点的坐标为，即（5，1）；
的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
... ... ...
∴每滚动3次一个循环，第n个循环的第1个坐标为：，即.
(21+1)÷3=7...1，
∴第次滚动后，是第8个循环的第一个点，
∴的圆心的横坐标为12×8－11=85，
∴的横坐标是，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】
由勾股定理得出，得出Rt△OAB的内切圆的半径，因此点P的纵坐标为1，计算出点P，P1，P2，P3，P4，P5，P6的横坐标，得出规律：每滚动3次一个循环，由(21+1)÷3=7...1，得是第8个循环的第一个点，即可得到结果．
18．（2025·三台模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：以OA为边向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于点E，如图1所示：
∴AO=AD=OD，∠OAD=∠AOD=60°，
∵△ABP是等边三角形，
∴AB=BP=AP，∠BAP=60°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠OAD+∠PAC，即∠BAO=∠PAD，
∴△BAO≌△PAD(SAS)，
∴∠ADP=∠AOB=90°.
∴点P在经过点D且与垂直的直线上运动.
当点P运动到y轴时，根据对称性得，点P经过点C，即点C在直线CD上.
作点A关于直线的对称点G，连接，过点P作轴于F，连接，如图3所示，
∵A、G两点关于直线对称，且，
∴AG=2AD，即点D为的中点.
∵点A的坐标为，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，即点G在x轴上，
∴.
∵AD⊥CD，∠DAC=60°，
∴∠ACD=30°=∠FCP，
∴，
由轴对称的性质可知，
∴，
∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，此时GF⊥AC，
∴点F与原点O重合，故最小值即为的长，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】以OA为边向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于点E，先证明△BAO≌△PAD，可得
∠ADP=∠AOB=90°，于是可得点P在经过点D且与垂直的直线上运动；根据对称性得，点P经过点C，可得点C在直线CD上；作点A关于直线的对称点G，连接，过点P作轴于F，连接，可得AG=2AD，即点D为的中点；再证明△ACG是等边三角形，可得点G在x轴上，即可计算得OG的长；证明∠ACD=30°，可得，结合对称性得，可得
G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，此时GF⊥AC，故最小值即可OG的长.
19．（2025·三台模拟）（1）计算： ；
（2）化简求值：，其中满足．
【答案】解；（1）原式
；
（2）原式
；
∵，，，
∴，，
∴，，
代入得：原式.
【知识点】负整数指数幂；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂和负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、并且去绝对值，再进行四则混合运算即可.
（2）先把括号内分式的分子、分母分解因式并约分，再进行同分母分式的减法计算，最后把除法转化为乘法，进一步约分化简即可；根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出a和b的值，再代入化简后的结果运算即可.
20．（2025·三台模拟）近年来绵阳市初中毕业升学体育考试采用“”模式，即3个必考项目和1个选考项目，总分80分，其中跳绳和中长跑由抽签决定考查其中一项．某校为了了解全校学生跳绳项目的成绩水平，学校随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了统计表和统计图（如图）．
一分钟跳绳次数的频数表
等级 次数 频数
不合格 4
合格 10
良好 a
优秀 12
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）__________，补全一分钟跳绳次数的频数分布直方图．
（2）若该校有800名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为__________．
（3）在本次比赛结果为“优秀”等级的学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达190次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别不同的概率．
【答案】（1）解：14；
补充频数统计图如下：
（2）720
（3）
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
故答案为：14.
（2）解：（人），
故该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数约由720人．
故答案为：720；
（3）解：设男生为A，B，女生为C，D，画树状图如图所示：
一共有12种等可能结果，其中抽到两人的性别恰好不同的有8种，
∴ P（性别不同）．
【分析】（1）求出的值即可补全统计图；
（2）用该校学生数乘以该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数的占比即可；
（3）画书中途得到所有情况数，以及符合条件的情况数，再用符合题意的情况数除以总情况数即可．
（1）解：由题意得，，
补充图如下：
（2）解：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数约（人）．
（3）解：设男生为，女生为．
一共有12种等可能结果，其中抽到两人的性别恰好不同的有8种，
所以P（性别不同）．
21．（2025·三台模拟）绵阳作为四川省重要的区域中心城市和成渝地区双城经济圈的重要节点，近年来物流业发展迅速，绵阳有望成为川西北物流新高地．现在绵阳某物流公司需要从涪城区运送360吨蔬菜和210吨水果到三台县城，物流公司准备派大货车和小货车共20辆来完成此次运送任务，其每辆车的运载量和运费如下表，
可载蔬菜吨数（吨/辆） 可载水果吨数（吨/辆） 运费（元/辆）
小货车 10 15 500
大货车 20 10 800
设物流公司派小货车x辆，请解决下面的问题：
（1）求物流公司有哪几种运送方案？
（2）求物流公司采用哪种运送方案使运送费用最低？
【答案】（1）解：∵物流公司派小货车x辆，可得派大货车(20－x)辆，
由题意得：
，
解得：．
为整数，
，3，4，
共有3种运送方案：
方案1：小货车2辆，大货车18辆；
方案2：小货车3辆，大货车17辆；
方案3：小货车4辆，大货车16辆．
（2）解：设运送费用为W元，小货车x辆，由题意得：
．
∵一次项系数，
随x的增大而减小，
又，
当时，运送费最小，且，
物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆时运送费用最低．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据题意，以及表格数据列不等式组求解即可；
（2）设运送费用为W元，小货车x辆，根据题意得到．利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：，解得：．
为整数，
，3，4，
共有3种运送方案：
方案1：小货车2辆，大货车18辆；
方案2：小货车3辆，大货车17辆；
方案3：小货车4辆，大货车16辆．
（2）解：设运送费用为W元，小货车x辆，
则：．
，
随x的增大而减小，
又，
当时，，
物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆使运送费用最低．
22．（2025·三台模拟）如图，在矩形中，点E为边上一点，将沿翻折到，点B恰好落在边上的点F处．延长、交于点G，连接，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，且，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵ △BCE沿翻折到△FCE，
∴BC=FC，BE=FE，∠BCE=∠FCE.
∴CE垂直平分BF，
∴GB=GF.
四边形是矩形，
，即，
，
，
∴FG=FC，
∴FG=FC=BC=BG.
∴四边形BCFG是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
由翻折的性质可得：，
设，
四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
，，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由翻折的性质可得BC=FC，BE=FE，∠BCE=∠FCE，继而可证得CE垂直平分BF，故有GB=GF.由矩形的性质得，于是可证得，再由等腰三角形的判定定理可得FG=FC，于是有FG=FC=BC=BG，再利用菱形的判定即可证明；
（2）在和中分别利用正切的定义得到，，设，在利用勾股定理列出方程，解出的值，求出和的长，再利用菱形的面积公式即可求解．
（1）证明：四边形是矩形，
，即，
，，
由翻折的性质可得：，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
由翻折的性质可得：，
是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
由翻折的性质可得：，
设，则，
四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
，，
，
．
23．（2025·三台模拟）如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，过点C作双曲线．，点A的坐标为．
（1）求直线的解析式与点E的坐标；
（2）连接，，当时，求m的值．
【答案】（1）解：过点B作于点F，记AG与x轴相交于点G，如图所示：
，
，
∵点A的坐标为，，
.
，，
点B的纵坐标为2，
双曲线过点，
，
点B的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，可得-2x+10=0，
解得，
点E的坐标为．
（2）解：，
，
，
点，
，代入
∴，
，
把点C坐标代入中，即，
解得．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）过点B作于点F，根据平行线分线段成比例定理得出，由点A的坐标为，，得出，，则点B的纵坐标为2．先求出反比例函数的解析式，代入即可得点B的坐标，再根据待定系数法即可求出直线的解析式与点E的坐标；
（2）由可得，可求点，代入得，则，可求m的值．
（1）解：过点B作于点F，
，
，
点A的坐标为，，
，
，，
点B的纵坐标为2，
双曲线过点，
，
点B的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，解得，
点E的坐标为．
（2）解：，
，
，
点，
，代入得，
，
代入中，即，
解得．
．
24．（2025·三台模拟）如图，在中，，点B在上，以为直径的交于点C，连接并延长交于点E，连接、，连接交于点F，恰好平分．
（1）求证：为的切线；
（2）已知，，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：，
，
又平分，
，
，
，
，，
又，
，
又，，
，
，
，
，
，
又为半径，
为的切线．
（2）解：连接AC，如图所示：
，
，
是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴
∵，即
∴CD=3OC，即
∴
，
∴，
，
∵，
，，
，
∴，即半径为8．
∴，
，
∴
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△AOD≌△COD，得到，再由切线的判定定理即可得出结论 ；
（2）连接AC， 证明，得；根据，求得；再由，可得，代入PB=2可得，，，半径为8．继而可利用正弦函数求得，最后证明，得，即，即可求解．
（1）证明：，
，
又平分，
，
，
，
，，
又，
，
又，，
，
，
，
，
，
又为半径，
为的切线．
（2）解：连接AC，
，
，
是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
∵
∴
∴
∵，即
∴
∴
，，
∴，
，
∵，
，，
，
∴，即半径为8．
∵
∴，
，
∴
，
，
．
25．（2025·三台模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标；
（3）如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标．
【答案】（1）解：抛物线过点、点、点，
可设抛物线的解析式为：，
把点C坐标代入可得：2=-4a，
∴，
抛物线的解析式为：．
（2）解：∵PE⊥BD，
∴∠PEQ=∠PEB=90°=∠DOB，
∴∠EPQ+∠PQB=90°=∠PQB+∠QBO，
∴∠EPQ=∠QBO.
∴△EPQ∽△OBD，
∴.
，，
∴OB=1，，.
∴，
∴，，
∴，
当PQ最大时，的周长最大.
设直线的解析式为，
，，
∴
∴
直线的解析式为：，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
，
，
∴当时，，
点P的坐标为．
（3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，
，
，，
，
，
，
，要使与相似，
∴或2，
设点，
，，
或，
，，点不合题意，应舍去，
把点代入抛物线的解析式为：，
解得：，（舍去），
点E的坐标为．
【知识点】利用交点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据AB点坐标设抛物线的解析式为：，再把点C坐标代入，即可得到抛物线的解析式；
（2）先证明△EPQ∽△OBD，可得.根据点B和D的坐标，可得OB，OD和BD的长，于是可用PQ表示出PE和QE，进而可得当PQ最大时，的周长最大；表示出直线BD的解析式，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，进而得到，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，再证明可得，由，则要使与相似，即或2；设点，、，进而得到或，即，最后求点E的坐标即可．
（1）解：抛物线过点、点、点，
设抛物线的解析式为：，
，解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）解：设直线的解析式为，
，，
∴
直线的解析式为：，
如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，
点M的坐标为，
，，，
，
，
，
又，
，
．
当PQ最大时，的周长最大，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
，
，
∴当时，，
点P的坐标为．
（3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，
，
，，
，
，
，
，要使与相似，
∴或2，
设点，
，，
或，
，，点不合题意，应舍去，
把点代入抛物线的解析式为：，
解得：，（舍去），
点E的坐标为．
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