四川省成都市第七中学2024-2025学年高二下学期2026届零诊模拟考试数学试卷（含答案）

成都七中高 2026 届零诊模拟考试
数学试题
时间: 120 分钟 满分: 150 分
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1. 设 为两个随机事件,则下列等式一定成立的是
(A) (B)
(C) (D)
2. 点 函数 图像上三点, 的导函数为 ,若 成等差数列, 则 满足
(A) 成等差数列 (B) 成等比数列 (C) (D)
3. 某校高二年级 1000 名学生参加体能测试,经统计分析,成绩近似服从正态分布 ,已知成绩低于 70 分的人数有 100 人,则成绩在 的人数大约有
(A) 800 (B) 600 (C) 400 (D) 200
4. 数列 是公差不为零的等差数列,其中 是等比数列 的连续三项,则数列 的公比等于
(A) (B) (C) (D) 2
5. 已知双曲线 的上下焦点分别为 ,抛物线 与双曲线 有相同的焦点,点 为抛物线 与双曲线 在第一象限内的交点,直线 与抛物线 相切,则 的离心率为
(A) (B) (C) 2 (D)
6. 函数 恰有一个零点,则实数 的取值范围是
(A)(0,1) (B) (C) (D)
7. 用数字 0,1,2 组成一个五位数, 每个数字至少出现一次, 则能被 3 整除的五位数有
(A) 8 个 (B) 16 个 (C) 24 个 (D) 32 个
8. 某汽车 店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500,400,100辆进行销售,甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为 ,某消费者从该 店购买了一台此款智能汽车,在智驾过程中突然出现故障, 则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为
(A) (B) (C) (D)
二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 已知随机变量 的分布列如下表:
X 1 2 3 4 5
其中 成等比数列,则下列结论正确的是
(A) 成等差数列 (B) (C) (D)
10. 当 时,直线 与曲线 有交点,则 的值可以是
(A) (B) 1 (C) 2 (D) e
11. 已知函数 ,则下列叙述正确的是
(A) 有四个单调区间
(B) 存在最小值
(C) 有三个极值点,从小到大依次为 ,则 成等差数列
(D) 有三个极值点,从小到大依次为 ,则 成等比数列
三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 把答案填在答题卡上.
12. 设随机变量 ,则 _____.
13. 若 ,则 的等差中项为_____.
14. 在三棱锥 中, 与 均为边长为 2 的正三角形,平面 平面 是平面 内一动点, 到点 的距离等于到平面 的距离, 是平面 内一动点, ,且 , 则三棱锥 体积的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题,其中 15 题 13 分,16-17 题 15 分,18-19 题 17 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 .
(I) 令 ,证明数列 是等差数列,并求出通项公式;
(II) 求数列 的前 项和 .
16. 某保险公司给年龄在 20~70 岁的民众提供某种疾病的医疗保险,现从 10000 名参保人员中随机抽取 100 名进行分析,这 100 个样本按年龄段 分成了五组,其频率分布直方图如下图所示,每人每年应交纳的保费 (单位:元) 与参保年龄有关,年龄在 内所缴保费记为 ,数列 是公差为 30 的等差数列,前 项和为 .
(I)根据样本估计总体,求保险公司这一年的保费收入；
(II)经调查,年龄在 之间的老人每 50 人中有 1 人患该项疾病 (以此频率作为概率). 该病的治疗费为 12000 元,如果参保,保险公司补贴治疗费 10000 元. 某老人年龄 65 岁,若购买该项保险, 针对此疾病所支付的费用为 元; 若没有购买该保险,针对此疾病所支付的费用为 元. 试比较 和 的期望值大小,并判断该老人购买此项保险是否划算
17. 如图,在四边形 中, ,点 在 上, ,将 沿 翻折至 ,使 ,点 , 分别是 与 的中点.
(I)证明: 平面 ;
(II)求四棱锥 的体积；
(III)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系 中,椭圆 过点 ,直线 与椭圆相交于不同于 点的 ,
两点,当直线 过坐标原点 时,直线 的斜率乘积为 .
(I) 求椭圆的方程;
(II)直线 分别与直线 相交于 两点,线段 的中点为 .
①若直线 过坐标原点,记 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,证明 为定值；
②若 ,判断直线 是否过定点,若是,求出该定点,若不是,说明理由.
19. 已知函数 .
(I)令函数 ,
①若函数 无极值,求实数 的取值范围；
②讨论函数 的单调性;
( II ) 记 ,数列 的前 项和为 ,证明 .
成都七中高 2026 届零诊模拟考试数学试题(参考答案)
一、单项选择题:
DBAC ACDB
7. 解析:第一类,这五个数字为0,0,0,1,2,有 种,第二类,这五个数字为0,1,1,2,2,有 种, 所以能被 3 整除的五位数有 32 个.
8. 解析: 设事件 分别表示购买一辆汽车来自于甲乙丙车企,
事件 表示智驾出现故障,
则由全概率公式得
,
由贝叶斯公式得 ,
所以甲乙丙要承担的责任比为 10: 12: 5.
二、双项选择题:
AD BCD ABD
10. 解析: 据题意方程 在区间 内有解,即 ,使得 ,
令向量 ,
,令函数 ,
所以函数 在区间 上递增, ,即 ,故 BCD 满足条件.
11. 解析: ,令函数 ,
则 ,使 ,
所以函数 在区间 递增,在 递减,在 递增,且 ,
,使 ,
所以函数 在区间(0, a)递减,在(a,1)递增,在(1, c)递减,在 递增,
有四个单调区间,且存在最小值,
又函数 存在三个零点 ,且 ,
由 ,可得 ,
,即 成等比数列. 故选 ABD.
三、填空题:
13. 解析: 令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 ,即 .
14. 解析: 以 中点 为坐标原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系,
设 ,由题意知点 到 的距离等于到平面 的距离,故轨迹为抛物线 ,
的横坐标相等,设 ,由 知点 的轨迹为椭圆 ,
令 ,令函数 ,则 ,
当 时, 取得最大值 ,即三棱锥 体积的最大值为 .
四、解答题:
15. 解: ,
两端除以 ,得 ,即 , .3 分
由 ,得 ,
所以数列 是以 4 为首项,3 为公差的等差数列, .5 分
. .6 分
(II) , .8 分
,①
由①-②,得 , .10 分
. .13 分
16. 解: (I) 由 ,得 . .2 分
在等差数列 中,公差 ,解得 , .4 分
, .5 分
保险公司收取的保费为:
(元) .7 分
(II)①若老人购买了此项保险,则 的取值为150,2150.
,
(元). .10 分
②若老人没有购买此项保险,则 的取值为 0,12000 .
,
(元). .13 分
,
给该老人购买此项保险比较划算. 15 分
17. 解: (I) 取 中点 ,连接 ,
因为点 分别是 与 的中点,
,
,且 ,
故四边形 为平行四边形, 2 分
,又 平面 平面 ,
平面 ; 4 分
(II)由条件可知四边形 为边长为 1 的正方形,
,
又 ,又 ,
平面 ; 又 平面 ,
在 中, ,则 . 在 中,由余弦定理得 ,则 , 6 分由 平面 ,又 平面 ,得平面 平面 ,
过 作 于 ,则 平面 ,
在 中, ,则 , 8 分
到平面 的距离为 ,
所以四棱锥 的体积为 ; 9 分
(III)过 作 的平行线 ,如图,
分别以 为 轴建立空间直角坐标系,
,
设平面 的法向量为 ,
则 得
令 ,则 ,
设平面 的法向量为 , .11 分
则
令 ,则 . 13 分
记平面 与平面 夹角为 ,
,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18. 解:(I)由已知得 , 2 分
当直线 过坐标原点时,设 ,
,则
又 ,即 . 4 分
所以椭圆方程为 . 5 分
(II) ①若直线 过坐标原点,设 ,
,令 ,得 ,同理可得 , 7 分
,即 , 9 分
又 ; 10 分
②当直线 的斜率存在时,设直线 方程为 ,
由①可知 ,
,
,即 ,
,
整理得 12 分
联立 得 ,
,
所以 (*) 化简为 ,
整理得 ,即 , 14 分
若 ,直线 方程为 过点 ,舍去,
若 ,直线 方程为 ,过定点 . 15 分
当直线 的斜率不存在时,设直线 方程为 ,
,又 ,
解得 或 (舍去),所以直线 过点 ,
综上得,直线 过定点 . 17 分
19. 解(I)函数 ,
, 1 分
①因为函数 无极值,
所以函数 在区间 上单调递增或单调递减, 2 分
当 时, ,满足条件, 3 分
当 时,则 ,即 在区间 上恒成立,
,解得 满足条件, 4 分
综上,实数 的取值范围是 ; 5 分
②由①知,当 时,函数 在区间 上单调递减, 6 分
当 时,函数 在区间 上单调递增, .7 分
当 时,函数 在区间 上递增,在 上递减,
上递增; 9 分
(II)由(I)知当 时,函数 在区间 上单调递增,且 ,
所以当 时, ,即 , 10 分
当 时, ,即 , .11 分
所以当 时,有 ,即 , 12 分