2.1.1 建立空间直角坐标系 学案（含答案）高二数学湘教版（2019）选择性必修2

2．1.1　建立空间直角坐标系
(1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性．
(2)会用空间直角坐标系刻画点的位置．
课前预习
教 材 要 点
要点一　空间直角坐标系
要点二　空间直角坐标系中的坐标
有了空间直角坐标系，空间中的点P与有序实数组(x，y，z)之间就建立了一一对应的关系．有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(　　)
(2)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　)
(3)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.(　　)
2．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　)
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
3．在空间直角坐标系O xyz，点A(1，－2，5)关于平面yOz对称的点B为(　　)
A．(1，－2，－5) B．(－1，－2，5)
C．(－1，－2，－5) D．(1，2，－5)
4．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．
题型探究
题型1　在空间坐标系下确定点的位置
例1　在空间直角坐标系O xyz中，画出下列各点：
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，
A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．
方法归纳
在空间坐标系下确定点的位置的方法
(1)先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；
(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
巩固训练1　在空间直角坐标系中，标出点M(2，－6，4)．
题型2　在空间坐标系下求点的坐标
例2　设正四棱锥S P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系．求点S，P1，P2，P3和P4的坐标．
方法归纳
在空间坐标系下求点的坐标
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
巩固训练2　在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，试建立适当的坐标系，写出E，F，G的坐标．
题型3　在空间坐标系下求对称点的坐标
例3　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
方法归纳
巩固训练3　求点(－2，1，4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．
2．1.1　建立空间直角坐标系
课前预习
[教材要点]
要点一
两两垂直　xOy　yOz　xOz　x轴　y轴　z轴
要点二
(x，0，0)　(0，y，0)　(0，0，z)　(x，y，0)　(0，y，z)　(x，0，z)
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：点(2，0，3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．
答案：C
3．解析：关于平面yOz对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同．
答案：B
4．解析：∵点P(－4，－2，3)，∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4，0，0)．
答案：(－4，0，0)
题型探究
例1　解析：点A为原点．点B为x轴上坐标为2的点．点C的竖坐标为0，因此点C就是xOy平面内横坐标为2、纵坐标为3的点．点D是y轴上坐标为3的点．点A′是z轴上坐标为2的点．点B′是zOx平面内横坐标为2、竖坐标也为2的点．要作出点C′(2，3，2)，只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α，过y轴上坐标为3的点D作垂直于y轴的平面β，根据几何知识可以得出：这两个平面的交线就是经过点C(2，3，0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为2的点A′作垂直于z轴的平面γ，
那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α，β，γ，的交点，就是点C′.点D′是yOz平面内纵坐标为3、竖坐标为2的点．
在同一空间直角坐标系中，画出以上各点，它们刚好是长方体ABCD －A′B′C′D′的八个顶点(如图)．
巩固训练1　解析：方法一　先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
方法二　以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
例2　解析：
以正四棱锥的底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|P1P2|＝a，P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1，P2.
又P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3，P4.
又∵|OP1|＝a，∴在Rt△SOP1中，
|SO|＝＝ a.
∴S.
巩固训练2　解析：
建立如图所示的空间直角坐标系．
点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，
而E为DD1的中点，
故其坐标为.
由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N，
由平面几何知识知FM＝，
故F点坐标为.
因为CG＝CD，G，C均在y轴上，
故G点坐标为.
例3　解析：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
巩固训练3　解析：点P关于y轴的对称点坐标为P1(2，1，－4)；
点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1，4)；
点P关于平面yOz的对称点为P3(2，1，4)；
点P关于平面xOz的对称点为P4(－2，－1，4)．