2.4.3 向量与夹角 学案（含答案）

2．4.3　向量与夹角
(1)理解直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角定义．(2)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　异面直线所成的角
设两条异面直线l1与l2所成的角为θ(θ∈(0，])，它们的方向向量分别为v1，v2，则cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|＝.
要点二　直线与平面所成的角
直线l与平面α所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则sin θ＝|cos 〈v，n〉|＝.
要点三　平面与平面所成的角
设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝.
批注 　异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以计算公式中要加绝对值．
批注 　直线与平面所成角的范围为[0，]，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以计算公式中要加绝对值．
批注 　利用公式求二面角的平面角时，要注意〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)
(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　　)
(3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　)
2．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为(　　)
A．－　　　B． C．　　　D．
3．已知两平面的法向量分别为n1＝(0，1，0)，n2＝(0，－1，1)，则两平面所成的锐二面角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
4．若直线l的方向向量为v＝(1，0，3)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　向量法求两异面直线所成角
例1　如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角．
方法归纳
利用坐标法求两异面直线所成角的步骤
巩固训练1　在三棱锥O ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且2OA＝OB＝OC＝2，求直线AE与BC所成角的大小．
题型2　向量法求直线与平面所成角
例2　在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，N为BB1的中点，求直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值．
方法归纳
利用法向量计算直线与平面的夹角θ的步骤
巩固训练2　如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
题型3　向量法求两个平面所成的夹角
例3　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝90°，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2.
(1)求证：平面QAB∥平面PDC；
(2)求平面PBC与平面PBQ夹角的余弦值．
方法归纳
利用法向量求两个平面夹角的步骤
巩固训练3　在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱AB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．
2．4.3　向量与夹角
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：∵cos 〈s1，s2〉＝＝－，
∴l1，l2夹角的余弦值为.
答案：B
3．解析：cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°.
答案：B
4．解析：设v＝(1，0，3)与n＝(－2，0，2)的夹角为θ，直线l与平面α所成角为φ，
所以sin φ＝|cos θ|＝
＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1解析：分别以直线BC，BA，B1B为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)．
设AB＝1，则B(0，0，0)，E(0，，0)，F(0，0，)，C1(1，0，1)，
所以＝＝(1，0，1)，
于是，〉＝＝＝，
所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.
巩固训练1　
解析：由已知以O为原点，以的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由2OA＝OB＝OC＝2，知A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
所以＝(－1，0，1)，＝(0，－2，2)，
所以|cos 〈〉|＝
＝＝，
所以〈〉＝，即直线AE与BC所成角的大小为.
例2　解析：取AB中点O，A1B1中点O1，连接OC，OO1.
∵△ABC是边长为2的正三角形，∴OC⊥AB.
以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O xyz
则C(0，，0)，A1(－1，0，3)，B(1，0，0)，N(1，0，)，
＝＝(－2，0，3)，＝(2，0，－)，
设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
由，得，取n＝(3，，2)，
设直线A1N与平面A1BC所成的角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n，A1N〉|＝＝＝，
∴直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值为.
巩固训练2　
解析：以A为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)，D(0，3，0)，C1(，1，3)，D1(0，3，3)．
设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)，
＝＝(0，3，3)，
则即
令x＝1，则y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－)．
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为＝(0，1，0)，∴sin θ＝＝，
∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
例3　解析：(1)证明：四边形ABCD是正方形，可得AB∥CD,
又AB 平面DCP，CD 平面DCP，
则有AB∥平面DCP，
四边形ADPQ是梯形，可得QA∥PD，
又QA 平面DCP，PD 平面DCP，
则有QA∥平面DCP，
又QA＝A，
故平面QAB∥平面PDC.
(2)依题意知DA，DC，DP两两垂直，故以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有
C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，Q(2，0，1)
可得＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)，＝(2，0，－1)，
设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则有：
，
取y＝1，可得n＝(0，1，1)，
设平面PBQ的一个法向量m＝(x，y，z)，则有
，
取x＝1，可得m＝(1，1，2)，
设平面PBC与平面PBQ的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
故平面PBC与平面PBQ夹角的余弦值为.
巩固训练3　解析：(1)证明：取CD的中点G，连接EG，FG.
因为F，G分别是棱PC，CD的中点，所以FG∥PD，
又FG 平面PAD，PD 平面PAD，所以FG∥平面PAD.
因为BC∥AD，且E，G分别是棱AB，CD的中点，所以EG∥AD，
又EG 平面PAD，AD 平面PAD，所以EG∥平面PAD.
因为EG，FG 平面EFG，且EG＝G，所以平面EFG∥平面PAD.
因为EF 平面EFG，所以EF∥平面PAD.
(2)以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，P(0，0，2)．
因为F是棱PC的中点，所以F(1，1，1)，
所以＝(1，0，0)，＝(1，1，1)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则，令y1＝1，得n＝(0，1，－1)．
设平面CDF的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则令x2＝1，得m＝(1，1，2)．
设平面AEF与平面CDF的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝.
所以平面AEF与平面CDF夹角的余弦值为.