四川省南充市2025年中考真题数学试题
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题4分，共40分）
1．（2025·南充）下列计算正确的是（ ）
A．2a+a=3 B．2a-a=2 C． D．2a÷a=2a
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵2a+a=3a≠3，
∴此选项不符合题意；
B、∵2a-a=a≠2，
∴此选项不符合题意；
C、∵2a·a=2a2，
∴此选项符合题意；
D、∵2a÷a=2≠2a2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
2．（2025·南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得：
∠α=90°+60°=150°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.
3．（2025·南充）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了 一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒.用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（ ）
A．8.5×102米/秒 B．8.5×103米/秒
C．8.5×104米/秒 D．85×103米/秒
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得，
用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为：
25×340=8500=8.5×103（米/秒）.
故答案为：B.
【分析】由题意，先将单位马赫化为米/秒，再根据科学记数法“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
4．（2025·南充） 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ）
A．6 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得，
数据11出现了8次，是出现次数最多的数据，
∴这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数为11.
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合表格中的信息可求解.
5．（2025·南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ）
A．3x+2=5y+3 B．5x+2=3y+3 C．3x-2=5y-3 D．5x-2=3y-3
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
3x+2=5y+3 .
故答案为：A.
【分析】根据题中的相等关系“ 每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”可列方程，结合各选项可求解.
6．（2025·南充）如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动一周，圆上点A 到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A 对应的数是（ ）
A．2-2π B．π-2 C．5-2π D．2-π
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意得：AA =π×1=π，
设滚动前点A对应的数为x，
∴=π，
解得：x=2-π，
∴滚动前点A 对应的数为：2-π.
故答案为：D.
【分析】根据题意求出AA 的值，设滚动前点A对应的数为x，根据数轴上两点间的距离等于两点对应值之差的绝对值可得关于x的方程，解方程即可求解.
7．（2025·南充）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12 B． C．16 D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；正多边形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，
∵正六边形与矩形叠拼成一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴∠BCD=120°，∠A=90°，BC=CD=2，
∴∠ACB=60°，
∴AB=BC×sin∠ACB=2×=，AC=BC×cos∠ACB=2×=1，
同理可得：BF=，DE=1，
∴AF=2，AE=4，
∴矩形的面积=AE×AF=4×2=8.
故答案为：B.
【分析】根据正六边形与矩形的性质可得∠ACB=60°，解直角三角形可求得AB、AC、BF、DE的值，根据线段的和差AF=AB+BF、AE=AC+CD+DE求出AF、AE的值，然后根据矩形的面积=AE×AF可求解.
8．（2025·南充） 已知 则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】比例的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
9．（2025·南充） 如图，AB是⊙O的直径， AD⊥AB于点A， OD 交⊙O于点 C，AE⊥OD 于点E，交⊙O于点 F， F为弧 BC的中点， P 为线段AB上一动点， 若CD=4， 则 PE+PF的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM、PF、OF，
∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，
∴，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF，
∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，
∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，
∴点F关于AB的对称点为点M，
∴PM=PF，
∴PE+PF=PE+PM≥EM，
当E、P、M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，
∵∠AOC=60°，AD⊥AB，
∴∠D=30°，
∴OD=2OA，
∵CD=4，
∴OD=OC+4=2OA=2OC，
解得：OC=4，
∴OC=OA=OB=OM=OF=4，
∵AF⊥OC，∠AOC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴OE=OA=2，
∴PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6.
故答案为：C.
【分析】延长DO交⊙O于点M，连接PM、PF、OF，由垂径定理得，根据圆心角和所对弧之间的关系可得∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短可得：当E、P、M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，结合已知并根据直角三角形的性质即可求解.
10．（2025·南充）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，当x＞2时， y=2x-4. 若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ）
A． B．
C． D．或b＞0
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y=x2-2x，
∴当-2≤x＜0时，y=x2+2x；当x＜-2时，y=-2x-4.
如图，
当0≤x≤2时，y=x2-2x=（x-1）2-1，这是一个开口向上、顶点为（1，-1），与x轴交点为（0，0），（2，0）的抛物线的一部分.
当x＞2时，y=2x-4，是一条k为2且过点（2，0）的射线.
根据对称性画出x＜0时的函数图象.
联立可得x2+x-b=0，
当△=1+4b=0，即b=时，直线与y=x2+2x（-2≤x＜0）相切；
当直线过点（0，0）时，b=0，
结合图象可得：当＜b＜0时，直线y=x+b与这个图象有且仅有四个不同的交点.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象关于y轴对称，求出x＜0时的函数关系式，画出函数图象，结合直线y=x+b的平移，分析直线与函数图象有四个交点时b的取值范围.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2025·南充） 计算： .
【答案】-3a
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：原式=a2-3a-a2 =-3a.
故答案为：-3a.
【分析】根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"和合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解.
12．（2025·南充）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 由题意得，
随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率为：=.
故答案为：.
【分析】由题意，根据概率公式计算即可求解.
13．（2025·南充）不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是 .
【答案】m≤3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
不等式① 的解集为：x＞2，
不等式②的解集为：x＞m-1，
∵不等式组的解集为：x＞2，
∴m-1≤2，
解得：m≤3.
故答案为：m≤3.
【分析】由题意，先求出每一个不等式的解集，然后根据题意“不等式组的解集为x＞2”可得关于m的不等式，解之即可求解.
14．（2025·南充） 如图， ∠AOB=90°， 在射线OB 上取一点 C， 以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 D，连接并延长CD 交射线 OA于点E. 设OC=1， 则 OE 的长是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
由作图可得：OD=OC=CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∴OE=OC×tan∠C=1×=.
故答案为：.
【分析】连接OD，根据作图并结合等边三角形的定义可得△OCD是等边三角形，由等边三角形的每一个角都等于60度可得∠OCD=60°，然后根据锐角三角函数tan∠C=可求解.
15．（2025·南充） 已知直线y=m（x+1）（m≠0）与直线y=n（x-2）（n≠0）的交点在y轴上，则 的值是 .
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）得，
m(x+1)=n(x-2）
解得：x=，
∵两条直线的交点在y轴上，
∴=0，
∴n=-2m，
∴==-2+=.
故答案为：.
【分析】由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）可得关于x的方程，根据两条直线的交点在y轴上可得x=0，由此可将n用含m的代数式表示出来，然后把n代入所求代数式计算即可求解.
16．（2025·南充） 如图， AC 为正方形ABCD的对角线， CE平分∠ACB， 交AB 于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE 交 AF于点 M， 连接 DM， 交 AC 于点 N. 给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45°； 以上结论正确的是 .（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：①∵把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，
∴△CBE≌△ABF，
∴CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
又∵∠AEM=∠BEC，
∴∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°，
∴∠AMC=90°，
即CM⊥AF，
∴此结论正确，符合题意；
②∵在△ABF中，AB+BF＞AF，
且CF=BC+BF=AB+BF，
∴CF＞AF，
∴此结论错误，不符合题意；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=45°，
∴∠AMC=∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，如图，
∵，
∴∠CAD=∠CMD=45°，
∴此结论正确，符合题意；
④如图，过点N作NG⊥AC，交AD于G，
∵CE平分∠ACB，∠ACB=45°，
∴∠ACM=22.5°，
∵，
∴∠ACM=∠ADM=22.5°，
∵∠CAD=45°，
∴∠AGN=90°-∠CAD=45°，∠DNG=180°-∠CAD-∠ANG-∠ADN=22.5°，
∴∠CAD=∠AGN=45°，∠GDN=∠DNG=22.5°，
∴AN=NG=GD，
设AD=CD=BC=a，
在Rt△ANG中，由勾股定理得：
AN2+NG2=AG2，
∴2AN2=（a-AN）2，
∴AN=（-1）a，AN=-（-1）a（舍去），
∵AC=，
∴CN=AC-AN=a-（-1）a=a，
∴==-1，
∴此结论正确，符合题意.
∴正确的结论有：①③④.
故答案为：①③④.
【分析】①由旋转的性质可得△CBE≌△ABF，根据全等三角形的对应边（角）相等可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，再根据角的构成并结合垂直的定义可判断求解；
②根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可判断求解；
③由题意，易得A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，画出图形，根据圆周角定理可判断求解；
④设AD=CD=BC=a，在Rt△ANG中，由勾股定理可将AN用含a的代数式表示出来，在Rt△ACD中，由勾股定理可将AC用含a的代数式表示出来，根据线段的和差CN=AC-AN将CN用含a的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解.
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）
17．（2025·南充）计算：
【答案】解：原式
=1.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-2025）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，由特殊角的三角函数值可得sin45°=，由算术平方根的意义可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
18．（2025·南充）如图， 在五边形ABCDE中， AB=AE， AC=AD， ∠BAD=∠EAC.
（1）求证： △ABC≌△AED.
（2）求证： ∠BCD=∠EDC.
【答案】（1）证明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.
∴ ∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED. (SAS)
（2）证明：∵△ABC≌△AED，
∴ ∠ACB=∠ADE.
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，结合已知，用边角边可求证；
（2）由（1）中的全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等边对等角可得∠ACD=∠ADC，然后根据角的和差即可求解.
19．（2025·南充）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班.学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图.
（1）求问卷调查的总人数，并补全条形图.
（2）若该校共有 800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数.
（3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率.
【答案】（1）解：问卷调查的总人数： 26÷26%=100(人).
D木偶班人数： 100-26-24-20=30(人)，
补全条形图：
（2）解：最希望增设“木偶班”的学生人数： (人)
（3）解：列表如下：
男 男 男 女 女
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
由图可知：共有 20种等可能结果，其中恰好选中一男一女的情况(记为事件 M)共有12种，则 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得问卷调查的总人数；根据样本容量等于各小组频数之和可求得D木偶班人数；然后可将条形图补充完整；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）根据题意列表，由表格中的信息可知：共有 20种等可能结果，其中恰好选中一男一女的情况(记为事件 M)共有12种，然后根据概率公式计算即可求解.
20．（2025·南充）设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时， 求x2及m的值.
（2）求证：
【答案】（1）解：把x1=-1代入方程 得 ：
解得：
∴ (x-1)(x-2)=6，
即：
解方程得， x1=-1， x2=4.
∴；
（2）证明：方程( 可化为：
∴原方程有两个不相同实数根.
由根与系数的关系得
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程的解的定义，将x1=-1代入关于x的方程，可得关于m的方程，解方程求出m的值，把m的值代入原方程，解这个方程即可求解；
（2）由题意，先将原方程化为一般形式，然后计算b2-4ac的值，结合偶次方的非负性可判断b2-4ac＞0，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2、x1x2的值，根据多项式乘以多项式将代数式（x1-1）(x2-1)去括号，再整体代换并结合偶次方的非负性可求证.
21．（2025·南充）如图，一次函数与反比例函数图象交于点A（-3，1），B（1， n）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式.
（2）点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D， 求a的值.
【答案】（1）解：设反比例函数解析式为
∵经过点 A(-3， 1)，
∴k1=-3.
∴反比例函数为
∵B(1， n)在 图象上， n=-3.
∴ B(1， - 3).
设一次函数解析式为
列方程组
解得
一次函数为y=-x-2
（2）解：∵CD⊥x轴，
∴c(a，-a，)，D (a， - a-2).
即
∵点C在第二象限，
∴a=-6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设反比例函数解析式为由题意，将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得k1的值，再将点B的坐标代入反比例函数的解析式可求得n的值；设一次函数解析式为 然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式可得关于k2、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意可将C、D两点的坐标用含a的代数式表示出来，根据CD=并结合两点间的距离公式可得关于a的方程，解方程求出a的值，结合点C在第二象限即可求解.
22．（2025·南充）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点 F，M为线段DB上 一点，ME=MD.
（1）求证： ME是⊙O的切线.
（2）若 求OM的长.
【答案】（1）证明：连接OE.
在△ODM与△OEM中，
∴ △ODM≌△OEM.(SSS)
∴∠OEM=∠ODM=90°，
∴ ME为⊙O的切线.
（2）解：连接DF.
∵ ∠ACB=90°， CD⊥AB，
∴ ∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°.
∴，
∵ CD为直径，
∴ ，
设
∵ △ODM≌△OEM，
∴ ∠1=∠2.
∵ ∠1+∠2=∠3+∠4， ∠3=∠4，
∴ ∠1=∠3，
∴ OM∥CB.
.
【知识点】切线的判定；圆的综合题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OE，由题意，用边边边即可求证；
（2）连接DF，由同角的余角相等可得∠B=∠ACD，由直径所对的圆周角是直角可得∠CFD=90°，根据
锐角三角函数sin∠ACD==sin∠B=，于是可设DF=4x，CD=5x，在Rt△CFD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，由（1）中的全等三角形可得∠1=∠2，由三角形外角的性质并结合等式的性质可得∠1=∠3，根据平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可得OM∥CB，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠B=∠OMD，然后根据锐角三角函数sin∠OMD=可求解.
23．（2025·南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B型客车多载客15人；用A 型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案：租用A 型客车m辆，租车费用（3200-50m）元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
（1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少
【答案】（1）解：设A 型客车每辆载客量为x人，由题意得：
解之得：x=60.
经检验： x=60是方程的根.
∴B型客车每辆载客量为：60-15=45（人），
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
（2）解：设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w， 则
60m+45(10-m)≥530
解之得
w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m)
=-50（m-8）2+27200
∵ 对称轴为m=8，a=-50＜0，
∴ m≤8时， w随着m的增大而增大.
∵m取正整数，且
∴当m=6时， w最小值为27000(元).
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元.
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设A 型客车每辆载客量为x人，根据题中的相等关系“A 型客车载客600人的车辆数=用B型客车载客450人的车辆数”可列关于x的分式方程，解这个方程并检验即可求解；
（2）设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w，根据题意“ 学校参加研学活动师生共有530人”列关于m的不等式，解不等式可得m的范围；根据租车总费用w=m辆A型车的费用+(10-m)辆B型车的费用可得w与m之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解.
24．（2025·南充）矩形ABCD中， AB=10，AD=17， 点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE 折叠，使点B落在点P处.
（1）【初步感知】如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F， 求证：FP=FC.
（2）【深入探究】如图2，点 M在线段CD上，CM=4. 点E在移动过程中，求PM的最小值.
（3）【拓展运用】如图2， 点N在线段AD上， AN=4. 点E在移动过程中，点 P 在矩形内部，当△PDN 是以DN 为斜边的直角三角形时，求BE 的长.
【答案】（1）证明：连接EF， 由折叠可得∠APE=∠B=90°， PE=BE.
∵ 四边形ABCD为矩形， ∠C=90°.
∵ E为BC的中点， BE=EC，
∴ PE=EC.
在Rt△EPF 与Rt△ECF中，
∴ Rt△EPF≌Rt△ECF (HL)，
∴ FP=FC.
（2）解：AP=AB=10， 点E在移动过程中， AP=10不变.
∴ 点 P在以A为圆心，10为半径的⊙A 的弧上.
∴ 连接AM，当点 P在线段AM上时，PM有最小值.
∵ AD=17， AB=CD=10， CM=4，
∴ DM=6.
，
∴ PM的最小值为 .
（3）解：P在矩形内部， 过点 P作PH⊥AD于H， 交BC 于点G.
∵ ∠NPD=90°， 即∠1+∠2=90°，
∴ ∠1+∠3=90°.
∴∠3=∠2.
∵ ∠PHN=∠DHP，
∴△PHN∽△DHP，
∴
AN=4， AD=17，
∴ DN=13.
设HN=x， HD=13-x，
∴ AH=x+4，
HP2=x(13-x).
∵ AB=10，
∴ AP=AB=10，
∵ HP2=AP2-AH2，
∴ HP2=102-(x+4)2.
∴ x(13-x) =102-(x+4)2，
解得：x=4.
∴ HP=6， AH=8. HG=AB=10， PG=4， BG=AH=8.
设BE=m， 则PE=m， GE=8-m.
在Rt△PGE中，
∴
解得， m=5，
答：BE的长为5.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证Rt△EPF≌Rt△ECF；
（2） 点E在移动过程中， AP=10不变；连接AM，当点 P在线段AM上时，PM有最小值，在Rt△ADM中，用勾股定理求出AM的值，然后根据线段的和差PM=AM-AP可求解；
（3） 过点 P作PH⊥AD于H， 交BC 于点G；由同角的余角相等可得∠2=∠3，结合已知，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△PHN∽△DHP，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式；在Rt△APH中，用勾股定理将HP2 用含x的代数式表示出来，于是可得关于x的方程，解方程可求出x的值；设BE=m，在Rt△PGE中，用勾股定理可得关于m的方程，解方程即可求解.
25．（2025·南充）抛物线 与x轴交于A （3，0），B两点，N是抛物线顶点.
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标.
（2） 如图1， 抛物线上两点P（m， y1）， Q（m+2， y2）， 若PQ∥BN，求m的值.
（3）如图2，点M（-1，-5），如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN=∠HMN.探究直线l是否过定点 若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）解：把A(3， 0) 代入
令
得x1=-5， x2=3.
∴ B(-5， 0).
（2）解：∵ B(-5，0)， N(-1， - 4)，
∴ 直线BN为y=-x-5.
∵ PQ∥BN， 设直线PQ为 y=-x+n.
点
解得 m=-4
（3）解：存在定点T满足条件.
设直线l解析式y= kx+b， 直线l与抛物线相交于点G(x3， y3)， H(x4， y4)，
∴.
作GC⊥MN， HD⊥MN，
GC=-1-x3， MC=y3+5，HD=x4+1， MD=y4+5，
∵ ∠GMN=∠HMN，
∴ tan∠GMN=tan∠HMN.
即
.
∴ - 4k(b-k+3)=0.
∵ 直线l不垂直于y轴，
∴ k≠0，
∴ b-k+3=0，
∴ b=k-3.
∴ 直线l解析式y=k(x+1)-3.
∵ 无论k为何值， x=--1， y=-3.
l过定点T(-1，- 3)， 故存在定点T(-1，- 3).
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，把点A的坐标代入抛物线的解析式求出a的值，即可得抛物线的解析式；令解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程求出x的值，则可得点B的坐标；
（2）用待定系数法求出直线BN的解析式；根据平行线的性质可设直线PQ为 y=-x+n. 结合P、Q两点都在抛物线上可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解；
（3）存在定点T满足条件.设直线l解析式y= kx+b， 直线l与抛物线相交于点G(x3， y3)， H(x4， y4)，
由一元二次方程的根于系数的关系可得x3+x4、x3x4的值用含k、b的代数式表示出来，作GC⊥MN， HD⊥MN，根据tan∠GMN=tan∠HMN可得比例式结合已知条件整理可得：- 4k(b-k+3)=0.根据直线l不垂直于y轴可得直线l的解析式，代入比例式可判断求解.
1 / 1四川省南充市2025年中考真题数学试题
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题4分，共40分）
1．（2025·南充）下列计算正确的是（ ）
A．2a+a=3 B．2a-a=2 C． D．2a÷a=2a
2．（2025·南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
3．（2025·南充）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了 一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒.用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（ ）
A．8.5×102米/秒 B．8.5×103米/秒
C．8.5×104米/秒 D．85×103米/秒
4．（2025·南充） 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ）
A．6 B．9 C．11 D．15
5．（2025·南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ）
A．3x+2=5y+3 B．5x+2=3y+3 C．3x-2=5y-3 D．5x-2=3y-3
6．（2025·南充）如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动一周，圆上点A 到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A 对应的数是（ ）
A．2-2π B．π-2 C．5-2π D．2-π
7．（2025·南充）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12 B． C．16 D．
8．（2025·南充） 已知 则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2025·南充） 如图，AB是⊙O的直径， AD⊥AB于点A， OD 交⊙O于点 C，AE⊥OD 于点E，交⊙O于点 F， F为弧 BC的中点， P 为线段AB上一动点， 若CD=4， 则 PE+PF的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
10．（2025·南充）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，当x＞2时， y=2x-4. 若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ）
A． B．
C． D．或b＞0
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2025·南充） 计算： .
12．（2025·南充）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是 .
13．（2025·南充）不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是 .
14．（2025·南充） 如图， ∠AOB=90°， 在射线OB 上取一点 C， 以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 D，连接并延长CD 交射线 OA于点E. 设OC=1， 则 OE 的长是 .
15．（2025·南充） 已知直线y=m（x+1）（m≠0）与直线y=n（x-2）（n≠0）的交点在y轴上，则 的值是 .
16．（2025·南充） 如图， AC 为正方形ABCD的对角线， CE平分∠ACB， 交AB 于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE 交 AF于点 M， 连接 DM， 交 AC 于点 N. 给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45°； 以上结论正确的是 .（填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）
17．（2025·南充）计算：
18．（2025·南充）如图， 在五边形ABCDE中， AB=AE， AC=AD， ∠BAD=∠EAC.
（1）求证： △ABC≌△AED.
（2）求证： ∠BCD=∠EDC.
19．（2025·南充）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班.学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图.
（1）求问卷调查的总人数，并补全条形图.
（2）若该校共有 800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数.
（3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率.
20．（2025·南充）设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时， 求x2及m的值.
（2）求证：
21．（2025·南充）如图，一次函数与反比例函数图象交于点A（-3，1），B（1， n）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式.
（2）点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D， 求a的值.
22．（2025·南充）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点 F，M为线段DB上 一点，ME=MD.
（1）求证： ME是⊙O的切线.
（2）若 求OM的长.
23．（2025·南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B型客车多载客15人；用A 型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案：租用A 型客车m辆，租车费用（3200-50m）元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
（1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少
24．（2025·南充）矩形ABCD中， AB=10，AD=17， 点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE 折叠，使点B落在点P处.
（1）【初步感知】如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F， 求证：FP=FC.
（2）【深入探究】如图2，点 M在线段CD上，CM=4. 点E在移动过程中，求PM的最小值.
（3）【拓展运用】如图2， 点N在线段AD上， AN=4. 点E在移动过程中，点 P 在矩形内部，当△PDN 是以DN 为斜边的直角三角形时，求BE 的长.
25．（2025·南充）抛物线 与x轴交于A （3，0），B两点，N是抛物线顶点.
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标.
（2） 如图1， 抛物线上两点P（m， y1）， Q（m+2， y2）， 若PQ∥BN，求m的值.
（3）如图2，点M（-1，-5），如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN=∠HMN.探究直线l是否过定点 若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵2a+a=3a≠3，
∴此选项不符合题意；
B、∵2a-a=a≠2，
∴此选项不符合题意；
C、∵2a·a=2a2，
∴此选项符合题意；
D、∵2a÷a=2≠2a2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
2．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得：
∠α=90°+60°=150°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得，
用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为：
25×340=8500=8.5×103（米/秒）.
故答案为：B.
【分析】由题意，先将单位马赫化为米/秒，再根据科学记数法“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
4．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得，
数据11出现了8次，是出现次数最多的数据，
∴这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数为11.
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合表格中的信息可求解.
5．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
3x+2=5y+3 .
故答案为：A.
【分析】根据题中的相等关系“ 每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”可列方程，结合各选项可求解.
6．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意得：AA =π×1=π，
设滚动前点A对应的数为x，
∴=π，
解得：x=2-π，
∴滚动前点A 对应的数为：2-π.
故答案为：D.
【分析】根据题意求出AA 的值，设滚动前点A对应的数为x，根据数轴上两点间的距离等于两点对应值之差的绝对值可得关于x的方程，解方程即可求解.
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；正多边形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，
∵正六边形与矩形叠拼成一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴∠BCD=120°，∠A=90°，BC=CD=2，
∴∠ACB=60°，
∴AB=BC×sin∠ACB=2×=，AC=BC×cos∠ACB=2×=1，
同理可得：BF=，DE=1，
∴AF=2，AE=4，
∴矩形的面积=AE×AF=4×2=8.
故答案为：B.
【分析】根据正六边形与矩形的性质可得∠ACB=60°，解直角三角形可求得AB、AC、BF、DE的值，根据线段的和差AF=AB+BF、AE=AC+CD+DE求出AF、AE的值，然后根据矩形的面积=AE×AF可求解.
8．【答案】D
【知识点】比例的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
9．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM、PF、OF，
∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，
∴，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF，
∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，
∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，
∴点F关于AB的对称点为点M，
∴PM=PF，
∴PE+PF=PE+PM≥EM，
当E、P、M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，
∵∠AOC=60°，AD⊥AB，
∴∠D=30°，
∴OD=2OA，
∵CD=4，
∴OD=OC+4=2OA=2OC，
解得：OC=4，
∴OC=OA=OB=OM=OF=4，
∵AF⊥OC，∠AOC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴OE=OA=2，
∴PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6.
故答案为：C.
【分析】延长DO交⊙O于点M，连接PM、PF、OF，由垂径定理得，根据圆心角和所对弧之间的关系可得∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短可得：当E、P、M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，结合已知并根据直角三角形的性质即可求解.
10．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y=x2-2x，
∴当-2≤x＜0时，y=x2+2x；当x＜-2时，y=-2x-4.
如图，
当0≤x≤2时，y=x2-2x=（x-1）2-1，这是一个开口向上、顶点为（1，-1），与x轴交点为（0，0），（2，0）的抛物线的一部分.
当x＞2时，y=2x-4，是一条k为2且过点（2，0）的射线.
根据对称性画出x＜0时的函数图象.
联立可得x2+x-b=0，
当△=1+4b=0，即b=时，直线与y=x2+2x（-2≤x＜0）相切；
当直线过点（0，0）时，b=0，
结合图象可得：当＜b＜0时，直线y=x+b与这个图象有且仅有四个不同的交点.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象关于y轴对称，求出x＜0时的函数关系式，画出函数图象，结合直线y=x+b的平移，分析直线与函数图象有四个交点时b的取值范围.
11．【答案】-3a
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：原式=a2-3a-a2 =-3a.
故答案为：-3a.
【分析】根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"和合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 由题意得，
随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率为：=.
故答案为：.
【分析】由题意，根据概率公式计算即可求解.
13．【答案】m≤3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
不等式① 的解集为：x＞2，
不等式②的解集为：x＞m-1，
∵不等式组的解集为：x＞2，
∴m-1≤2，
解得：m≤3.
故答案为：m≤3.
【分析】由题意，先求出每一个不等式的解集，然后根据题意“不等式组的解集为x＞2”可得关于m的不等式，解之即可求解.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
由作图可得：OD=OC=CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∴OE=OC×tan∠C=1×=.
故答案为：.
【分析】连接OD，根据作图并结合等边三角形的定义可得△OCD是等边三角形，由等边三角形的每一个角都等于60度可得∠OCD=60°，然后根据锐角三角函数tan∠C=可求解.
15．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）得，
m(x+1)=n(x-2）
解得：x=，
∵两条直线的交点在y轴上，
∴=0，
∴n=-2m，
∴==-2+=.
故答案为：.
【分析】由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）可得关于x的方程，根据两条直线的交点在y轴上可得x=0，由此可将n用含m的代数式表示出来，然后把n代入所求代数式计算即可求解.
16．【答案】①③④
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：①∵把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，
∴△CBE≌△ABF，
∴CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
又∵∠AEM=∠BEC，
∴∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°，
∴∠AMC=90°，
即CM⊥AF，
∴此结论正确，符合题意；
②∵在△ABF中，AB+BF＞AF，
且CF=BC+BF=AB+BF，
∴CF＞AF，
∴此结论错误，不符合题意；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=45°，
∴∠AMC=∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，如图，
∵，
∴∠CAD=∠CMD=45°，
∴此结论正确，符合题意；
④如图，过点N作NG⊥AC，交AD于G，
∵CE平分∠ACB，∠ACB=45°，
∴∠ACM=22.5°，
∵，
∴∠ACM=∠ADM=22.5°，
∵∠CAD=45°，
∴∠AGN=90°-∠CAD=45°，∠DNG=180°-∠CAD-∠ANG-∠ADN=22.5°，
∴∠CAD=∠AGN=45°，∠GDN=∠DNG=22.5°，
∴AN=NG=GD，
设AD=CD=BC=a，
在Rt△ANG中，由勾股定理得：
AN2+NG2=AG2，
∴2AN2=（a-AN）2，
∴AN=（-1）a，AN=-（-1）a（舍去），
∵AC=，
∴CN=AC-AN=a-（-1）a=a，
∴==-1，
∴此结论正确，符合题意.
∴正确的结论有：①③④.
故答案为：①③④.
【分析】①由旋转的性质可得△CBE≌△ABF，根据全等三角形的对应边（角）相等可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，再根据角的构成并结合垂直的定义可判断求解；
②根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可判断求解；
③由题意，易得A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，画出图形，根据圆周角定理可判断求解；
④设AD=CD=BC=a，在Rt△ANG中，由勾股定理可将AN用含a的代数式表示出来，在Rt△ACD中，由勾股定理可将AC用含a的代数式表示出来，根据线段的和差CN=AC-AN将CN用含a的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解.
17．【答案】解：原式
=1.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-2025）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，由特殊角的三角函数值可得sin45°=，由算术平方根的意义可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.
∴ ∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED. (SAS)
（2）证明：∵△ABC≌△AED，
∴ ∠ACB=∠ADE.
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，结合已知，用边角边可求证；
（2）由（1）中的全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等边对等角可得∠ACD=∠ADC，然后根据角的和差即可求解.
19．【答案】（1）解：问卷调查的总人数： 26÷26%=100(人).
D木偶班人数： 100-26-24-20=30(人)，
补全条形图：
（2）解：最希望增设“木偶班”的学生人数： (人)
（3）解：列表如下：
男 男 男 女 女
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
由图可知：共有 20种等可能结果，其中恰好选中一男一女的情况(记为事件 M)共有12种，则 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得问卷调查的总人数；根据样本容量等于各小组频数之和可求得D木偶班人数；然后可将条形图补充完整；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）根据题意列表，由表格中的信息可知：共有 20种等可能结果，其中恰好选中一男一女的情况(记为事件 M)共有12种，然后根据概率公式计算即可求解.
20．【答案】（1）解：把x1=-1代入方程 得 ：
解得：
∴ (x-1)(x-2)=6，
即：
解方程得， x1=-1， x2=4.
∴；
（2）证明：方程( 可化为：
∴原方程有两个不相同实数根.
由根与系数的关系得
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程的解的定义，将x1=-1代入关于x的方程，可得关于m的方程，解方程求出m的值，把m的值代入原方程，解这个方程即可求解；
（2）由题意，先将原方程化为一般形式，然后计算b2-4ac的值，结合偶次方的非负性可判断b2-4ac＞0，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2、x1x2的值，根据多项式乘以多项式将代数式（x1-1）(x2-1)去括号，再整体代换并结合偶次方的非负性可求证.
21．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为
∵经过点 A(-3， 1)，
∴k1=-3.
∴反比例函数为
∵B(1， n)在 图象上， n=-3.
∴ B(1， - 3).
设一次函数解析式为
列方程组
解得
一次函数为y=-x-2
（2）解：∵CD⊥x轴，
∴c(a，-a，)，D (a， - a-2).
即
∵点C在第二象限，
∴a=-6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设反比例函数解析式为由题意，将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得k1的值，再将点B的坐标代入反比例函数的解析式可求得n的值；设一次函数解析式为 然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式可得关于k2、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意可将C、D两点的坐标用含a的代数式表示出来，根据CD=并结合两点间的距离公式可得关于a的方程，解方程求出a的值，结合点C在第二象限即可求解.
22．【答案】（1）证明：连接OE.
在△ODM与△OEM中，
∴ △ODM≌△OEM.(SSS)
∴∠OEM=∠ODM=90°，
∴ ME为⊙O的切线.
（2）解：连接DF.
∵ ∠ACB=90°， CD⊥AB，
∴ ∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°.
∴，
∵ CD为直径，
∴ ，
设
∵ △ODM≌△OEM，
∴ ∠1=∠2.
∵ ∠1+∠2=∠3+∠4， ∠3=∠4，
∴ ∠1=∠3，
∴ OM∥CB.
.
【知识点】切线的判定；圆的综合题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OE，由题意，用边边边即可求证；
（2）连接DF，由同角的余角相等可得∠B=∠ACD，由直径所对的圆周角是直角可得∠CFD=90°，根据
锐角三角函数sin∠ACD==sin∠B=，于是可设DF=4x，CD=5x，在Rt△CFD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，由（1）中的全等三角形可得∠1=∠2，由三角形外角的性质并结合等式的性质可得∠1=∠3，根据平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可得OM∥CB，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠B=∠OMD，然后根据锐角三角函数sin∠OMD=可求解.
23．【答案】（1）解：设A 型客车每辆载客量为x人，由题意得：
解之得：x=60.
经检验： x=60是方程的根.
∴B型客车每辆载客量为：60-15=45（人），
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
（2）解：设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w， 则
60m+45(10-m)≥530
解之得
w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m)
=-50（m-8）2+27200
∵ 对称轴为m=8，a=-50＜0，
∴ m≤8时， w随着m的增大而增大.
∵m取正整数，且
∴当m=6时， w最小值为27000(元).
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元.
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设A 型客车每辆载客量为x人，根据题中的相等关系“A 型客车载客600人的车辆数=用B型客车载客450人的车辆数”可列关于x的分式方程，解这个方程并检验即可求解；
（2）设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w，根据题意“ 学校参加研学活动师生共有530人”列关于m的不等式，解不等式可得m的范围；根据租车总费用w=m辆A型车的费用+(10-m)辆B型车的费用可得w与m之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解.
24．【答案】（1）证明：连接EF， 由折叠可得∠APE=∠B=90°， PE=BE.
∵ 四边形ABCD为矩形， ∠C=90°.
∵ E为BC的中点， BE=EC，
∴ PE=EC.
在Rt△EPF 与Rt△ECF中，
∴ Rt△EPF≌Rt△ECF (HL)，
∴ FP=FC.
（2）解：AP=AB=10， 点E在移动过程中， AP=10不变.
∴ 点 P在以A为圆心，10为半径的⊙A 的弧上.
∴ 连接AM，当点 P在线段AM上时，PM有最小值.
∵ AD=17， AB=CD=10， CM=4，
∴ DM=6.
，
∴ PM的最小值为 .
（3）解：P在矩形内部， 过点 P作PH⊥AD于H， 交BC 于点G.
∵ ∠NPD=90°， 即∠1+∠2=90°，
∴ ∠1+∠3=90°.
∴∠3=∠2.
∵ ∠PHN=∠DHP，
∴△PHN∽△DHP，
∴
AN=4， AD=17，
∴ DN=13.
设HN=x， HD=13-x，
∴ AH=x+4，
HP2=x(13-x).
∵ AB=10，
∴ AP=AB=10，
∵ HP2=AP2-AH2，
∴ HP2=102-(x+4)2.
∴ x(13-x) =102-(x+4)2，
解得：x=4.
∴ HP=6， AH=8. HG=AB=10， PG=4， BG=AH=8.
设BE=m， 则PE=m， GE=8-m.
在Rt△PGE中，
∴
解得， m=5，
答：BE的长为5.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证Rt△EPF≌Rt△ECF；
（2） 点E在移动过程中， AP=10不变；连接AM，当点 P在线段AM上时，PM有最小值，在Rt△ADM中，用勾股定理求出AM的值，然后根据线段的和差PM=AM-AP可求解；
（3） 过点 P作PH⊥AD于H， 交BC 于点G；由同角的余角相等可得∠2=∠3，结合已知，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△PHN∽△DHP，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式；在Rt△APH中，用勾股定理将HP2 用含x的代数式表示出来，于是可得关于x的方程，解方程可求出x的值；设BE=m，在Rt△PGE中，用勾股定理可得关于m的方程，解方程即可求解.
25．【答案】（1）解：把A(3， 0) 代入
令
得x1=-5， x2=3.
∴ B(-5， 0).
（2）解：∵ B(-5，0)， N(-1， - 4)，
∴ 直线BN为y=-x-5.
∵ PQ∥BN， 设直线PQ为 y=-x+n.
点
解得 m=-4
（3）解：存在定点T满足条件.
设直线l解析式y= kx+b， 直线l与抛物线相交于点G(x3， y3)， H(x4， y4)，
∴.
作GC⊥MN， HD⊥MN，
GC=-1-x3， MC=y3+5，HD=x4+1， MD=y4+5，
∵ ∠GMN=∠HMN，
∴ tan∠GMN=tan∠HMN.
即
.
∴ - 4k(b-k+3)=0.
∵ 直线l不垂直于y轴，
∴ k≠0，
∴ b-k+3=0，
∴ b=k-3.
∴ 直线l解析式y=k(x+1)-3.
∵ 无论k为何值， x=--1， y=-3.
l过定点T(-1，- 3)， 故存在定点T(-1，- 3).
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，把点A的坐标代入抛物线的解析式求出a的值，即可得抛物线的解析式；令解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程求出x的值，则可得点B的坐标；
（2）用待定系数法求出直线BN的解析式；根据平行线的性质可设直线PQ为 y=-x+n. 结合P、Q两点都在抛物线上可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解；
（3）存在定点T满足条件.设直线l解析式y= kx+b， 直线l与抛物线相交于点G(x3， y3)， H(x4， y4)，
由一元二次方程的根于系数的关系可得x3+x4、x3x4的值用含k、b的代数式表示出来，作GC⊥MN， HD⊥MN，根据tan∠GMN=tan∠HMN可得比例式结合已知条件整理可得：- 4k(b-k+3)=0.根据直线l不垂直于y轴可得直线l的解析式，代入比例式可判断求解.
1 / 1
