课件17张PPT。22.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质定理1冀教版 八年级下册欣赏 剪两个全等的三角形，并将它们相等的一组边重合，可以得到平行四边形吗？你有几种方案？新课导入请你剪一剪拼出的效果图有
小明拼出了如图所示的一个四边形，这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由ABCD2∵∠1=∠2同理：AB∥DC∴AD∥BC大家知道什么样的四边形叫平行四形吗？定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形中,相对的边,称为对边;
相对的角,称为对角;
其中线段BD就是 ABCD的一条对角线。推进新课课堂演示：将复制后的四边形绕一个顶点旋转180°，你能平移该纸片，使它与原来的四边形ABCD重合吗？对边之间、对角之间分别有什么关系？由此你能得到什么结论？ 平行四边形的性质平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等如图：四边形ABCD是平行四边形,四条边中哪些线段可以通过平移而相互得到？
结论：平行四边形的对边平行且相等56°124°56° 已知 ABCD中,∠BAD= 56° 则：∠BCD=124°56°124°124°∠B =∴ ∠BAD+ ∠B = 180° ∵ AD∥BC ∠D=结论：平行四边形的邻角互补典例解析例1∠B＝132°∠C＝48°AD＝3 cm平行四边形ABCD中,BC=3cm, ∠B= 48°
则：例2 在平行四边形ABCD中，周长为24cm,
AD－AB=４cm且 ∠A:∠B=3:1 ，
（１）求AB的长度
（２）求∠C 的度数。∵AD∥BC解：∴ ∠A+ ∠B = 180°∴ ∠A= 135° (∠B = 45°)∴ ∠C= 135°２）（１）∵AD＋AB＝１２AD－AB＝４∴ AB＝４cm例31.在 ABCD 中， ∠ADC=125° ，∠CAD=21°，求∠ABC， ∠CAB的度数.34°125°结论:分析:四边形ABCD是平行四边形随堂训练所以由对角相等可得∠ABC=∠ADC=125°
由邻角互补可得∠BAC=180°—∠ADC=55°
∠CAB=∠BAC—∠CAD
=55°—21°
=34°2.平行四边形ABCD中，若在AD上取一点E，
CＢ上取一点F，且AE=CF，试测量比较BE ,DF的大小并说明理由。能力冲浪 FE解析：可由SAS证明△ABE≌△CDF,从而得证AE=CF.∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,∠A=∠C
又∵AE=CF
∴ △ABE≌△CDF（SAS）
∴BE=DF总结知识点（一）：定义及表示方法知识点（二）：性质课件19张PPT。22.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的性质定理2冀教版 八年级下册平行四边形的性质平行且相等相等互补∠A＝∠C,∠B＝∠D∠A＋∠B＝180°知识回顾再看一遍结论● ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。 你能证明它吗？O证明：平行四边形的对角线互相平分.1234证明 ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠1=∠4，∠2=∠3
∴△AOD≌△COB(ASA)
∴ OA=OC，OB=OD平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.符号语言：
O补充性质1.平行四边形是中心对称图形.
2.平行四边形具有不稳定性,内角和，外角和都是360°.
3.平行四边形被对角线分成四对全等的三角形
4.平行四边形被一条对角线分成的两个三角形面积相等，都等于平行四边形面积的一半.平行四边形被两条对角线分成的四个三角形面积都相等，都等于平行四边形面积的1/4. 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 老大老二老三老四 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 典例解析例1O●老大老四老三老二M老人分地合理吗？补充性质5.平行四边形被两条对角线分成的四个三角形中相邻的两个三角形周长之差等于邻边之差. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积. 810例2 1. 平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ ）
A.不稳定性 B.对角线互相平分
C.内角和为360° D.外角和为360°B随堂训练 2.若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线长可以是( )
Ａ.12和２ Ｂ.３和４
Ｃ.４和６ Ｄ.４和８D3.如图，在平面直角坐标系中， OBCD的顶点 O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ ）xYCO (0,0)B(5,0)D(2,3)A.(3,7) B.(5,3)
C.(7,3) D.(8,2)C4.如图，在 ABCD中，对角线AC,
BD交于点O，AC＝10，BD=8,则
AD的取值范围是 . 1＜AD＜95.如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑
BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的
周长等于15,则CD=______.5解：OE=OF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD OA=0C
∴∠OAE=∠OCE
又对顶角∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF(ASA)
∴OE=OFEF(2) 在上述问题中,若直线EF绕与边DA、BC的延长线交于点E、F,（如图2）,上述结论是否仍然成立？试说明理由。变一变●●●●在上述问题中,若将直线EF绕点O旋转至下
图（3）的位置时,上述结论是否仍然成立？FEFE(1)EF(3)(3)(4)若此时再与两边延长线相交呢？●●●●再变一变小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。平行四边形的性质平行且相等相等互补∠A＝∠C,∠B＝∠D∠A＋∠B＝180°互相平分 OA=OC,OB=OD课件14张PPT。22.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1冀教版 八年级下册2.平行四边形有哪些性质？ (1)边:(2)角:(3)对角线: 平行四边形两组对边分别平行.
平行四边形两组对边分别相等.平行四边形两组对角分别相等.平行四边形相邻的两个角互补.
平行四边形对角线互相平分.知识回顾两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.1.什么是平行四边形？∥∥AB∥CD、AD∥BC⑵如图（2）,当四边形ABCD满足 时它是一个平行四边形. ⑴如图（1）,若四边形ABCD是平行四边形,则AB CD，AD BC，你还能得出哪些结论? 根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边形，还有其它判定方法吗？新课导入 两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，使一组对应边互相重合所得的图形一定是平行四边形吗？这些四边形有什么共同特点（从边关系角度考虑）合作学习证明:如图,连接BD.
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）
又∵AD=BC,BD=BD
∴△ADB≌△CBD (SAS)
∴∠ABD=∠CDB（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC。
求证：四边形ABCD是平行四边形。猜想验证平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。∵ AB∥CD且AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形或AB CD如等腰梯形两组对边分别平行 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 平行四边形的三个判定方法知识整理从边看: 例1 已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点。求证：BE=DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BCAD=BC∵E,F分别是AD,BC的中点，∴四边形EBFD是平行四边形∴BE=DF(平行四边形的对边平行且相等)(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)(平行四边形的对边相等)典例解析∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB=CD
∵点E、F分别是边AB、CD的中点
∴AE∥DF 且AE=DF
∴ 四边形AEFD是平行四边形
∴ AD∥EF
∴EF//AD//BC 证明：（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）1.已知，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形.
求证：四边形BCFE是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC且 AD=BC ；
同理AD∥EF且AD=EF
∴ BC∥EF且BC=EF
∴四边形BCFE是平行四边形随堂训练2.已知，如图，AD∥BC，且AB=CD=5，AC=4，BC=3；
求证：AB∥CD.温馨提示：可利用勾股定理及其逆定理解题证明：∵在△ABC中AB=5，AC=4，BC=3
∴∠ACB=90o
∵ AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=90o
∵CD=5， AC=4，∴AD=3
∴AD∥BC 且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD.3.在 ABCD中，已知 AE＝CF，BG＝DH．EB与AH、GC分别交于M、N，DF分别与AH、GC交于Q、P。你能在图中找出所有除ABCD外的平行四边形吗？答: AGCH BFDE MNPQ满足下列条件的四边形ABCD是不是平行四边形，若是，在括号内打“√”，若不是，则打“×”。√√√×1.AB=CD，AB∥CD （ ）
2.AB ∥ CD，AD ∥ BC （ ）
3.AB ∥ CD，AD=BC （ ）
4.∠A+∠B=180°,AD=BC ( )判断1.本节课知识点归纳：判定平行四边形的两种方法：判定定理1：一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.1)解决一个数学问题,常要通过”动手实践”-----”
大胆猜想”-----”验证猜想(证明)”-----”得出结论”2.本节课所学的解决问题的思路是:小结：课件15张PPT。22.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理2、3冀教版 八年级下册平行四边形有哪些性质？ a.平行四边形两组对边分别平行.
b.平行四边形两组对边分别相等.平行四边形两组对角分别相等.平行四边形对角线互相平分.知识回顾我们学过平行四边形有哪些判定方法？ 从边看: 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？平行四边形的两组对边分别相等；我们得到的这些逆命题都成立吗？我们一起探讨一下吧！平行四边形的对角线互相平分。思考：我们已经学习了平行四边形的这些性质，那么它们的逆命题各是什么呢？对角线互相平分的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形；新课导入 如图1，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它的形状改变，在图形的变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 如图2，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？ 图1图2两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形这个判定方法，我们如何证明？ 证明：连结AC∴AB∥DC，AD∥BC4123∴∠1=∠2， ∠3=∠4AC=CA(公共边)∴△ABC ≌ △CDA (SSS) AD=BC(已知) 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形 .AB=CD(已知)在△ABC 和△CDA中 ∴四边形ABCD是平行四边形平行四边形判定的证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。 已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。同理可证AB=DC△ADO ≌△CBO（SAS) AD=CBOA=OC 证明：平行四边形的这个判定方法，又该如何证明呢？ OB=OD∠AOD=∠COB四边形ABCD是平行四边形平行四边形判定的证明(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形有哪些判定方法？（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。(3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；归纳AD∥BC AB∥DCAB∥DC AB=DC四边形ABCD是平行四边形如图，用符号表示如下：OA=OC OB=OD四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD是平行四边形AD=BC AB=DC四边形ABCD是平行四边形(1)(2)(3)(4)又OB=OD证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC， OB=OD∵AE=CF∴OE=OF∴四边形BFDE是平行四边形例1 如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交 于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证: 四边形BFDE是平行四边形。你还有其他的证明方法吗？典例解析O证明:连结AC,交BD于点O∵AB∥CD∴∠ABE=∠CDF又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD∴△ABE≌△CDF∴BE=DF∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO∴四边形AECF是平行四边形（平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的定义）（对角线互相平分的四边形是平行四边形）例3 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？解：图中互相平行的线段有：AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF AD∥BC AB=DC AD=BC四边形ABCD是平行四边形AB∥DCDC∥EF DC=EF DE=CF四边形CDEF是平行四边形DE∥CFAB∥ DC∥EF理由如下：证明：
在平行四边形ＡＢＣＤ中，
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ
∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ
∴四边形EHFG是平行四边形随堂训练2.已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段a，b，两条对角线的夹角等于∠α.αABCDxyo-1-111∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下：课件16张PPT。22.3 三角形的中位线 冀教版 八年级下册挑战分割三角形你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?四个全等的三角形.请你设法验证上面的结论.DEF新课导入连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.猜一猜,三角形中位线有什么性质?DEF思考探究定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.已知:如图,DE是△ABC的中位线.分析:要证明线段的倍分关系,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.DE求证:DE∥BC,证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE∴△ADE≌△CFE.∴AD=CF,∠A=∠ECF.∴ AD∥CF ,
即 BD∥CF.又∵AD=BD=CF,∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF∥BC,DF=BC.∴DE∥BC,三角形中位线性质的运用 利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等.证明:∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).一个运用中位线的重要“模型” 如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论对所有的四边形ABCD都成立.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴ EF∥HG, EF=HG.已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.∴EF∥AC,HG∥AC,∴四边形EFGH是平行四边形.分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.1、已知：如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边
AB、BC、AC 的中点.
（1）若AB=8cm，则EF= cm;
（2）若DF=5cm，则BC= cm；
（3）若∠ADF=50°，则∠B= °；
（4）若 G、H 分别是 BD、BE 的中点.
求证：GH∥AC .
（5）已知：三边AB、BC、AC分别为8、10、12，
则：△ DEF的周长为 .
5041015掌握新知ABCDFE2.如图,在?ABC中,D,E,F分别AB,BC,AC的中点,AC=12,BC=16.则四边形DECF的周长为_______. 28 测量两点之间不能到达的距离的方法------中位线法其中的道理是:
连结A、B,∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.3.已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?4.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.
求证:四边形EGFH是平行四边形.（1）证明：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴FG∥AD，HE∥AD，FH∥CB，GE∥BC，
∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一条直线的两直线平行）；
∴四边形GFHE是平行四边形； 三角形中位线的性质定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.∵DE是△ABC的中位,∴DE∥BC,课堂小结模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形. 要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.课件17张PPT。22.4 矩形 第1课时 矩形的性质 冀教版 八年级下册 在平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋
分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻
的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别
是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，
此时它的其他内角是什么样的角？它的两条
对角线的长度有什么关系？情境导入观察下面的演示平行四边形长方形有一个角是直角 矩 形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.★矩形具有平行四边形的一切性质！获取新知矩形的性质： 矩形是一种特殊的平行四边形，具有
平行四边形的一切性质．矩形的四个内角都是直角;
矩形的两条对角线相等.定理:矩形的四个内角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形.分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:∵ 四边形ABCD是矩形,∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形.∴∠C=∠A=900,
∠B=1800-∠A=900,
∠D=1800-∠A=900.求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.第十九章 四边形定理:矩形的两条对角线相等.已知:AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证: AC=BD.证明:∵ 四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.∵BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.第十九章 四边形 例1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵ ∠AOD=120°
∴ △AOB是等边三角形∴ OA=AB=4(㎝)∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)解：∵ 四边形ABCD是矩形∴ ∠AOB=60°设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段? 它与AC有什么大小关系?为什么?由此可得推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线. BE等于AC的一半.∵ AC=BD,BE=DE,议一议:第十九章 四边形练习：如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角。
2、矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
（A）20° （B）40° （C）60° （D）80°
3、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，则矩形对角线的长为 cmD81、矩形具有而平行四边形不具有的的性质是（ ）
（A）对角相等 （B）对角线相等
（C）对角线互相平分 （D）对边平行且相等B随堂练习4、如果矩形的一条对角线的长为8 cm，两条对角线的一个交角为120°，求矩形的边长 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，AC=BD，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，
∵AC=BD=8cm，∴AO=BO=4cm，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=4cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
即矩形的边长是4cm， cm. 5、如图：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE‖OB交AB的延长线于点E，试证明AC与CE的大小关系。B证明：因为 四边形ABCD是矩形， 所以 AC=BD，AB//DC， 因为 CE//OB，AB//DC， 所以 四边形BECD是平行四边形， 所以 CE=BD， 因为 AC=BD，CE=BD， 所以 AC=CE。 6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O ，且AC=2CD，求证： △OCD为等边三角形. 本题若将“AC=2AB”改“∠BOC=120°”，
你还能得到以上结论？7．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上，
如果FE⊥AE，求证FE=AE.
②如果FE=AE 你能证明FE⊥AE吗？解答：证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE， ∵矩形对边AB∥CD， ∴∠ABE=∠BEC， ∴∠CBE=∠BEC， ∴BC=CE， ∵矩形ABCD的对边AD=BC， ∴AD=CE， ∵FE⊥AE， ∴∠AED+∠CEF=90°， ∵∠DAE+∠AED=90°， ∴∠DAE=∠CEF， 在△ADE和△ECF中，°∴△ADE≌△ECF(ASA), ∴FE=AE（2）同（1）可证AD=CE， 在Rt△ADE和Rt△ECF中，∴Rt△ADE≌Rt△ECF（HL）， ∴∠DAE=∠CEF， ∴∠AED+∠CEF=∠AED+∠DAE=90°， ∴∠AEF=180°-（∠AED+∠CEF）=180°-90°=90°， ∴FE⊥AE．
1．矩形的定义、性质；
2．直角三角形斜边上的中线的性质；课堂小结课件21张PPT。22.4 矩形 第2课时 矩形的判定 冀教版 八年级下册1、矩形的定义：
2、矩形的 两条对角线相等且互相平分矩形的对边平行且相等矩形的四个角都是直角边对角线角矩形的性质有一个角是直角的平行四边形叫做矩形知识回顾矩形判定1依据定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。ABCD几何语言：
∵在 ABCD中，∠C=900
∴ ABCD是矩形
新课导入猜想加证明有三个角是直角的四边形是矩形吗?已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.思考探索矩形判定1：有三个角是直角的四边形是矩形四边形ABCD
是矩形证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA∴△BAD≌△CDA(SSS)∴∠BAD=∠CDA∵AB∥CD∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝90° ∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）对角线相等的平行四边形是矩形吗？猜想加证明四边形ABCD是平行四边形,AC=BD四边形ABCD是矩形已知:求证:矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形四边形ABCD
是矩形 例1.已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形典例精析证明：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等)AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）∵ AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵EO+OG=FO+OH即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的
平行四边形是矩形）。
若变为：E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，你会吗？例2.已知如图，O是矩形 ABCD对角线交点，AE平分∠BAD,∠AOD=1200，求∠AEO的度数.解:∵ O是矩形ABCD对角线交点
∴OA=OB=OC=OD
又∵∠AOD=1200
∴∠AOB=600,△AOB为正三角形
即OA=OB=AB
∵ AE平分 ∠BAD,且四边形ABCD为矩形
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=450
∴AB=BE,BO=BE
∴∠BEO=∠BOE=750
∵∠AOE=∠AOB+∠BOE,∠OAE=∠OAB-∠BAE
∴∠AOE=1350,∠OAE=150 在△AOE中,∠AEO=1800-∠AOE-∠OAE=300对角线相等的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有一个角是直角的四边形是矩形。
四个角都是直角的四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。1.判断下命题是否正确.随堂练习2、在△ABC中，AD⊥BC于Ｄ，DE∥AC交ＡＢ于Ｅ,DF∥AB交AC于Ｆ，当△ABC满足条件___________时，四边形AEDF是矩形。∠BAC=9003、如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？12解：四边形ABCD是矩形。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO DO=BO(平行四边形的对角线互相平分)
又∵ ∠1= ∠2
∴AO=BO
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形
4. 已知□ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积. 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．5.已知：如图， ???ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．∴∠BGC=90°
同理可证∠AFB=∠AED=90°
∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＋∠BCD=180°
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD6.△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，
（1）试说明EO=OF的理由。
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论。MNBCDEOFA（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形；1.本节课你学会了几种矩形的判定方法？
解决一个数学问题，常要通过“ 猜想”----“验证猜想(证明)”-----“得出结论”2.本节课所学的解决问题的思路是什么？
矩形的判定口诀：
任意一个四边形，
三角直角定矩形。
对于平行四边形，
一个直角即可定；
对线相等也矩形。
课堂小结课件23张PPT。22.5 菱形 第1课时 菱形的性质 冀教版 八年级下册观 察下面的图形中有你熟悉的吗？新课导入两组对边
分别平行矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?菱形(矩形,由角变化得到) 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢?(菱形)有一组邻边相等有一个角是直角一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形AB=BCABCD四边形ABCD是菱形探索新知菱形的定义探究菱形的性质(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?它是轴对称图形吗?如果是有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.提示:从对称性、边、角、对角线、面积等方面来探讨 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.菱形的性质： 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形菱形的 两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等边对角线角菱形的性质菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平，每一条对角线平分一组对角。已知:如图四边形ABCD是菱形求证:菱形的四条边相等
菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角；(1)AB=BC=CD=DA (2)AC⊥BD AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC求证:证明(1)∵四边形ABCD是菱形∴DA=DC(菱形的定义)∵DA=BC,AB=DC∴AB=BC=DC=DA(2)在△DAC中,又∵AO=CO∴DB⊥AC，
DB平分∠ADC（三线合一）同理： DB平分∠ABC；
AC平分∠DAB和∠DCB 例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠ABC＝1200。对角线AC、BD相交于点O，求对角线BD和AC的长.解:∵AB+BC+CD+AD=16cm,
∴AB=BC=CD=AD=4(cm).
∵ BD平分∠ABC,∠ABC=1200，
∴∠ABD＝600
∴ △ABD是等边三角形.
∴ BD=AB ＝ 4cm.
在Rt△AOB中，OB=2cm,
ABCDO【菱形的面积公式】OES菱形= BC. AE思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗? ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD S菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半例2.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB解：∴AD=AB=BD∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线）∴ ∠DAB= 60 °，
∴ ∠ABC=120 °（1）（2）∵AE=2， ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DB
∵ DB=4 ∴ 0B=2
∴ 在R t△AOB中,由勾股定理得 2AO=∴ AC=4（3）在Rt△DAE中,由勾股定理得 DE==2∴ S菱形ABCD=4×2=8(1)菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.60度(2)两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_____.345(3)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.
44厘米1.填空随堂练习(5)如图，在边长为6的菱形ABCD中， ∠ DAB=60 o ，E是AB的中点,F是AC上的动点，则EF+BF的最小值为______AEFDCB(4)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的比为1∶2 ,那么菱形的边长为_______.8厘米(7)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等(6)在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）A.75°B.60°C.45°D.30°BC2.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度;
(2).菱形ABCD的面积.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,=2×△ABD的面积∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 3.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA；分析：要EB＝OA，证它们所在的三角形全等，即△AOD≌△BEA 证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD‖BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ∴∠DAE＝∠AEB? ∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB ∴∠ABC=∠DAE? ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB? 又∵AD＝BA ∴△AOD≌△BEA ∴AO＝BE 4.如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）O课堂小结从定义上来谈——
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
从性质上来谈——
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四边都相等；
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。
（4）菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。设菱形的两对角线长分别为a，b，则它的面积S= 课件17张PPT。22.5 菱形 第2课时 菱形的判定 冀教版 八年级下册 同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据定义得：情境导入 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？你根据什么方法能判定是菱形吗？有四条边相等的四边形是菱形。O∵在四边形ABCD中,
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.探究一探索新知探究二 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）
又∵ AC ⊥ BD;
∴△AOB≌△BOC（SAS）
∴ BA=BC
∴ ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）O归纳：菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.例1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。四边形AEDF是菱形
理由：∵DE ∥AC DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ DE ∥AC
∴∠2= ∠3
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1= ∠2
∴AE=DE
∴ □ AEDF是菱形请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB思考:菱菱1.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是 形 （2）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。2.填空
（1）下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形C随堂练习（2）对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对C（3）下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BDC2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形BCN【分析】根据中垂线的性质中垂线上的点线段两个端点的距离相等可得出AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=∠EOC=90°，再结合CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，结合OD=OE，OA=OC，∠AOD=90°可证得为菱形． 证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°， ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO．（ASA） ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴?ADCE是菱形． 4.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？解：四边形AFCE是菱形，理由是： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴ ???? ????
????， ∵AO=OC， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形． 一组邻边相等对角线互相垂直四条边相等五种判定方法四边形菱形的判定方法：课堂小结课件17张PPT。22.6 正方形 冀教版 八年级下册操 作⒈怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？⒉怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？新课导入有一组邻边相等有一个角是直角探索新知有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系平行四边形矩形菱形正
方
形讨 论㈠正方形的边、角、对角线各具有什么性质？边：对边平行，4条边都相等．角：4个角都相等，都等于90°．对角线：相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角．㈡具备什么条件的平行四边形是正方形？⒈先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等．⒉先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角．例1.已知：如图所示，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，求证： ∠EAD＝∠EDA＝15°
证明∵∠EBC= ∠ ECB= ∠ CEB=600
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∠ ABE= ∠ DCE=300
∴∠ BAE= ∠ BEA= ∠ CDE= ∠ CED=750
∴∠ EAD= ∠ EDA=900-750=150典例解析例2.在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?MN证明：∵ABCD是正方形，AE=BF=CM=DN, ∴AN=BE=CF=DM 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN ∠A=∠B=∠C=∠D AN=BE=CF=DM ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM ∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF ∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90° ∵EN=FE=MF=NM， ∴EFMN是菱形 又∵∠NEF=90° ∴EFMN是正方形 MN例3.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形ABCDEFG证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB
∴ DE=DG
同理：DG=DF
∴ED=DF
∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DEC= ∠DFC=90 °
又∵ ∠C=90 °
∴四边形ADFC是矩形
∴四边形ADFC是正方形1． 把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
2． 判断下列命题是否正确．
（1） 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
（2） 对角线互相垂直的矩形是正方形．
（3） 对角线相等的菱形是正方形．
（4） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 随堂练习 根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片.3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC4.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE。试说明：DG＝BE。
证明：根据正方形的性质可得AD=AB,AG=EF
又由旋转可得∠DAG=∠BAE
∴△ DAG≌△ BAE（SAS)
∴DG=BE5.如图,点E是正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，求∠E和∠AFC的度数。∠E =22.5
∠AFC=112.5
6.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。PE+PF =5 正方形有哪些性质？
如何判别一个平行四边形是正方形？课堂小结课件15张PPT。22.7 多边形的内角和与外角和 冀教版 八年级下册 在平面内，由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成封闭图形叫做三角形。 在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做四边形。 在平面内，由5条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做五边形。 在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。新课导入顶点内角边外角对角线对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶
点的线段叫做多边形的对角线。外角：多边形的一边与另一边的反向延长线
所组成的角叫做这个多边形的外角。思考探究(n-2)×1800nn-3n-23×18004×18001232344562×18003600360036003600答：15边形的内角和是23400解:例1.求15边形内角和的度数。 多边形的内角和n边形的内角和为（n-2）×1800（n-2）×1800=（15-2）×1800= 234001、七边形内角和为（ ）900°2、十边形内角和为（ ）1440°3、十七边形内角和为（ ）2700°4、二十边形内角和为（ ）3240°5、八边形内角和为（ ）1080°做一做例2.已知一个多边形的内角和是14400，求这个多边形的边数.解：设这个多边形为n边形。（n-2）×1800 =14400n-2=14400÷1800n-2=8n=10答：这个多边形为十边形.1、多边形内角和为12600，则它是
（ ）边形.2、多边形内角和为10800，则它是
（ ）边形. 3、多边形内角和为18000，则它是
（ ）边形.九八十二做一做 多边形的外角和n边形的外角和为3600例3. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？八边形想一想1、一个多边形的每个外角等于与它相邻的内角，这个多边形是几边形？2、是否存在一个多边形，它的每个外角等于与它相邻的内角的 1/5 。3、是否存在一个多边形，它的每个内角等于与它相邻的外角的 1/5 。5、在四边形的内角中，最多能有几个角？最多能有几个锐角？4、若两个多边形的边数相差1，则它们的内角和、外角和分别有什么异同？拓展： 特点：它们的边（ ）
它们的角（ ）都相等都相等定义：在平面内，内角都相等，边都
相等的多边形叫正多边形议一议1、一个多边形的边相等，它的内角一定相等吗？2、一个多边形的内角都相等，它的边一定相等吗？1、每个内角都为144°的多边形为( )边形。
2、每个内角都为140°的多边形为( )边形。
3、每个外角都为30°的多边形为( )边形。
4、每个外角都为36°的多边形为( )边形。
5、正八边形的内角为( )，外角为( )。
6、正十二边形的内角为( )，外角为( )。十九十二十135°45°150°30°课堂训练7、一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一外角等于( )
A、144°B、 72 ° C、 36° D 、18°
8、一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和等于( )
A、 720° B、 675° C、 1080°D、945°CC课件20张PPT。本章热点专题训练 冀教版 八年级下册两组对边平行一、四边形的分类及转化知识回顾平行四边形矩形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行且相等平行且相等平行
且四边相等平行
且四边相等对角相等
邻角互补四个角
都是直角对角相等
邻角互补四个角
都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形
轴对称图形中心对称图形
轴对称图形中心对称图形
轴对称图形二、几种特殊四边形的性质：三、几种特殊四边形的常用判定方法：1、定义：两组对边分别平行 2、两组对边分别相等
3、一组对边平行且相等 4、对角线互相平分1、定义：有一外角是直角的平行四边形
2、三个角是直角的四边形
3、对角线相等的平行四边形1、定义：一组邻边相等的平行四边形
2、四条边都相等的四边形
3、对角线互相垂直的平行四边形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形四、有关定理：360°（n - 2）180°360°360°(1)两条平行线之间的垂线段处处相等
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(3)三角形中位线平行且等于底边的一半;其他重要定理：例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G. 求证：∠E=∠F证明：四边形ABCD是平行四边形BE=DF四边形AFCE是平行四边形注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。∠E=∠F典例精析 例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°， ∠B= ∠D=90 °，求四边形ABCD的面积。E注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。解：延长AD，BC交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∵在Rt△CDE中，同理可得∴S四边形ABCD=S Rt△ABE - S Rt△CDE21例3：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对称，则EF是AC的中垂线 ，故AF=FC，设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm则FD=AD – AF=8 - x注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。
②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。答：折痕的长为7.5cm在Rt△FEH中， EF2 = FH2 + EH2∴EF2 =62 + （ - ）2 254∴EF=±7.5(负根舍去）作FH⊥BC于H解法2例4.如图,E为菱形ABCD边BC上的一点，AB=AE，AE交BD于F，∠DAE=2∠BAE (1)求证：EB=FA (2)求∠ABC的度数.ABCDEF(1)证明∵AD//BC, ∴∠1=∠BAE1∵AE=AB, ∴∠1=∠ABC∴∠ABC=∠DAE=2∠BAE∴∠BAE=∠DBE=∠ADB∴△ABE≌△DAF∴BE=AF(2)解：设∠BAE为x，则∠ABE=∠AEB=2x∴x+2x+2x=180°∴x=36°∴∠ABC=72°例5.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想. 解：HG=HB.
证法1：连结AH， ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ∴ ∠B=∠G=90° 由题意知AG=AB，又AH=AH
∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL） ∴ HG=HB 证法2：连结GB ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ∴ ∠ABC=∠AGF=90° 由题意知AB=AG ∴ ∠AGB=∠ABG ∴ ∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB
即∠HBG=∠HGB ∴ HG=HB 例6 过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F 求证：AP=EFP ·ABCDEF证明： 连结AC、PC∵正边形ABCD是正方形∴BD垂直且平分AC∴PA=PC∵ PE⊥BC， PF⊥CD，∠BCD=90°∴四边形PECF是矩形∴EF=PC∴AP=EF(1)矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A、对角线相等 B、对角线互相平分
C、对角线互相垂直 D、四条边都相等 (2)已知矩形的一条对角线与另一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ）
A、50° B、60° C、70° D、80°BD1、选择随堂练习(3)菱形的一边和等腰直角三角形的一直角边等长，若菱形有一个角为30°，则菱形的面积与三角形的面积之比是 ( )
A.1∶2 B.1∶1.5 C.1∶1 D.3∶４C(4)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.四边相等 B.对角线垂直且平分
C.对角线相等 D.对角线平分一组对角C(5)下列命题中，错误的是（ ）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．三个角相等的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相平分且相等
D．菱形的对角线互相垂直平分B(6)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF。则∠CDF等于（ ）
A.80° B.70° C.65° D.60°D(1)菱形的对角线长分别是6cm,8cm，则菱形的周长是 cm,面积是 平方厘米.(2) 如图在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA，则∠CAE= ° 202422.502、填空
