15.3《一元一次不等式组》小节复习题(含详解)七年级数学下册沪教版

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名称 15.3《一元一次不等式组》小节复习题(含详解)七年级数学下册沪教版
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资源类型 教案
版本资源 沪教版
科目 数学
更新时间 2025-07-01 06:22:29

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15.3《一元一次不等式组》小节复习题
【题一 一元一次不等式组的定义】
1.下列选项中,是一元一次不等式组的是( )
A. B.
C. D.
2.是不小于的负数,则可表示为( )
A. B. C. D.
3.一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个 .一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ,叫做这个一元一次不等式组的 .
4.判断下列式子中,哪些是一元一次不等式组?
(1);(2);(3);(4);(5).
【题二 求不等式组的解集】
1.如果关于x的不等式组的整数解仅为2、3,那么适合这个不等式组的整数对共有(  )
A.30对 B.20对 C.25对 D.16对
2.若关于x的不等式组解集为,则m的取值范围(  )
A. B. C. D.
3.不等式组的解集是 .
4.解下列不等式(组).
(1) (2)
【题三 解特殊不等式组】
1.定义:对于实数,符号表示不大于的最大整数.例如:[3.2]=3,[2]=2,[-2.3]=-3.如果,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内,则a的取值范围是( )
A.≥2 B.2≤≤4 C.≤4 D.≥2且≠4
3.我们定义,例如.若,是整数,且满足,则的最小值是 .
4.阅读材料:
李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题:求不等式的解集.
小组成员百思不得其解,这时,李老师提示说:“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”,话音刚落,聪明的小明就说:“我明白了”!你们想到解决问题的方法了吗?小明是这样做的:根据有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘”.
可得①;或②,
解不等式组①得:,解不等式组②得:,
∴原不等式的解集为:或.
你明白了吗?请结合以上材料解答问题:解不等式.
【题四 求一元一次不等式组的整数解】
1.如下图所示,运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作,若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止,则x的值是( )
A.5 B.6 C.10 D.11
2.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为,则m的取值范围为(  )
A.或 B.或
C. D.
3.若关于的不等式组有且仅有个整数解,且关于的方程的解是负整数,则符合条件的所有整数的和是 .
4.若不等式(组)只有n个正整数解(n为自然数),则称这个不等式(组)为n阶不等式(组).
我们规定:当时,这个不等式(组)为0阶不等式(组).
例如:不等式只有4个正整数解,因此称其为4阶不等式.
不等式组 只有 3 个正整数解,因此称其为3阶不等式组.
请根据定义完成下列问题:
(1)是 阶不等式; 是 阶不等式组;
(2)若关于x的不等式组 是4阶不等式组,求a的取值范围;
(3)关于x的不等式组 的正整数解有,,,, ...其中...
如果 是阶不等式组,且关于x的方程的解是 的正整数解,请求出m的值以及 p的取值范围.
【题五 由一元一次不等式组的解集求参数】
1.若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同,则m的值为( )
A. B. C. D.
2.已知关于的不等式组给出下列说法:①如果不等式组的解集是,那么;②当时,不等式组无解;③如果不等式组的最大整数解是4,那么;④如果不等式组有解,那么.其中所有正确说法的序号是(  )
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
3.若关于的一元一次不等式组有解,且关于的方程的解为正整数,则符合条件的整数的和为 .
4.阅读材料,解决下列问题.
【阅读材料】
已知,且,求的取值范围.
解:由,得,
∵x>1,,
解得,的取值范围是.
【问题探究】
(1)已知,且,求的取值范围;
(2)已知,且,求的取值范围;
(3)已知,且,,设,直接写出的取值范围.
【题六 由不等式组解集的情况求参数】
1.关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若关于的不等式组有解,则在其解集中,整数的个数不可能是( )
A.0 B.1 C.3 D.5
3.若关于x不等式组无解,则m的取值范围是 .
4.(1)已知关于x的不等式的正整数解恰好是1,2,3,求a的取值范围.
(2)已知不等式组只有一个整数解,试确定a的取值范围.
【题七 不等式组和方程组结合的问题】
1.已知关于x,y的方程组的解满足条件,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知关于x,y的方程组,其中,给出下列结论:①是方程组的解;②当时,x,y的值互为相反数;③若,则;④的最大值为,其中正确的是( )
A.①②③ B.①④ C.②③④ D.②④
3.在直角坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为 .
4.若关于x,y的方程组
(1)求方程组的解(用含的代数式表示);
(2)若方程组的解满足,,求的整数解;
【题八 列一元一次不等式组】
1.设[x]表示不大于x的最大整数,{x}表示不小于x的最小整数,<x>表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数).例如[3.4]=3,{3.4}=4,<3.4>=3,则方程3[x]+2{x}+<x>=20( )
A.没有解 B.恰好有1个解
C.有限个解 D.有无数个解
2.如图,按下面的程序进行运算,规定:程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算,若运算进行了3次才停止,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若干名学生住宿舍,每间住人,人无处住;每间住人,空一间还有一间不空也不满,问多少学生多少宿舍?设有间宿舍,则可列不等式组为
4.小明在做课外题时,遇到这样一道题:“若,求x的取值范围.”小明思考之后做了如下解答:解:由,得,或,或(无解)即.请你仿照小明的做法解不等式:.
【题九 一元一次不等式组的其他应用】
1.一天上班高峰时,某大厦电梯已经挤了很多人,现在所有人重量为公斤,公斤的大胖硬是挤了进去,这时电梯因超重警示音响起,大胖不得不走出电梯等待下一班,此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯,警示音未响起,电梯缓缓关上了门,留下了尴尬的大胖.已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起,则的取值范围可用下列哪一个不等式表示( )
A. B. C. D.
2.如图,一个容量为的杯子中装有的水,先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后,总体积变为,接着依次放入4个相同的小铁块,直到放入第4个后,发现有水溢出.若每个小玻璃球的体积是,每个小铁块的体积是.下面四个说法:①;②;③杯子中仅放入6个小铁块,水一定不会溢出;④杯子中仅放入12个小玻璃球,水一定会溢出,其中正确的有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
3.如图,正方形的边长为100米,甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动.甲的速度是7米/秒,乙的速度是10米/秒,经过 秒,甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上.
4.某熟食加工厂为扩大生产经营,计划新进8台真空包装机,现有甲、乙两种机器可供选择,每种机器的价格和包装速度信息如下表,公司为本次采购准备的预算资金共万元.
甲 乙
价格 元/台 元/台
包装速度 480包/时 720包/时
(1)在不超过公司预算资金的条件下,求该公司共有几种购进方案可供选择;
(2)若考虑到在春节前期,公司的订单会迅猛增加,为满足客户需求,每台机器每天可连续工作10个小时,要求每天的包装量不低于2400箱(每箱装17包),问:公司应该如何购买这两种机器,才能既满足公司要求,又最节约资金?
【题十 一元一次不等式组的新定义问题】
1.对于任意实数、定义一种新运算:ab=ab-a-b+2.例如,26=12-2-6+2=6.请根据上述定义解决问题:若m<(3x)<5,并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解,那么m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.定义一种新运算:,则不等式组的负整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.新定义一个运算:,例如,.用表示大于m的最小整数,例如,,.按照上述规定,如果整数x满足,则x的值是 .
4.对x,y定义一种新运算,规定:(其中a,b均为非零常数).例如:.
(1)已知,.
①求a,b的值;
②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解,求实数p的取值范围;
(2)若不论m,n取何值时,的值都是一个定值,请求出该定值.
参考答案
【题一 一元一次不等式组的定义】
1.D
【解析】略
2.D
【详解】【分析】直接用不等式表示题意,即可.
【详解】是不小于的负数,则可表示为.
故选D
3. 一元一次不等式组 公共部分 解集
【分析】根据一元一次不等式组的定义,及一元一次不等式组解集的定义,进行填空即可.
【详解】一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.
故答案为一元一次不等式组;公共部分;解集.
4.0解:(1)中x=42是方程,不是不等式,故不是一元一次不等式组;
(2)中x2<81是一元二次不等式,故不是一元一次不等式组;
(3)符合一元一次不等式组的定义,是一元一次不等式组;
(4)含有两个未知数,是二元一次不等式组,故不是一元一次不等式组;
(5)符合一元一次不等式组的定义,是一元一次不等式组.
综上,可知(3)(5)是一元一次不等式组.
【题二 求不等式组的解集】
1.B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的整数解,有序实数对的应用,解此题的根据是求出m、n的值.求出不等式组的解集,根据已知求出、,求出、,即可得出答案.
【详解】解:解不等式,得:,
解不等式,得:,
∵不等式组的整数解仅有、,
则,,
解得:、,
,为整数,
,,,,,,,,,

所以适合这个不等式组的整数m,n组共有对,
故选:B.
2.A
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值,以及解一元一次不等式,先求出每一个不等式的解集,再根据不等式组的解集,求出m的值即可.
【详解】解:,
解不等式①得:,
解不等式②得:,
不等式组的解集为,

解得:,
故选:A.
3.
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
【详解】解:由得:,
由得:,
则不等式组的解集为,
故答案为:.
4.(1)解:
解得:;
(2)解:
由①得,
由②得,,
∴原不等式组的解集为:.
【题三 解特殊不等式组】
1.D
【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤<3,再解之即可.
【详解】解:∵[]=2,
∴由题意得2≤<3,
解得5≤x<7,
故选:D.
2.B
【分析】由x-a≥0,得x≥a;由x-a≤1,得x≤a+1.再根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为: a≤x≤a+1;然后根据x的值均在2≤x≤5的范围内,可得出a的取值范围.
【详解】试题解析:,
由①得:x≥a,
由②得:x≤1+a,
∴不等式的解集是a≤x≤1+a,
∵不等式组的解集中x的值均在2≤x≤5的范围内,

解得:2≤≤4.
所以a的取值范围是:2≤≤4.
故选B.
3.-5
【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式,然后根据x,y是整数即可确定x,y的值,从而求解.
【详解】解:根据题意得:1<6-xy<3,
则3<xy<5,
又∵x、y均为整数,
∴x=1,y=4;此时,x+y=5;
x=2,y=2;此时,x+y=4;
x=-1,y=-4;此时,x+y=-5;
x=-2,y=-2;此时,x+y=-4;
故x+y的最小值是-5,
故答案为-5.
4.解:根据题意可得:
①;②
解不等式组①,得无解
解不等式组②,得
原不等式的解集为
【题四 求一元一次不等式组的整数解】
1.B
【分析】本题考查流程图与不等式,根据流程图列出不等式组进行求解即可.
【详解】解:由题意,得:,
解得:,
∴x的值可能是6;
故选:B.
2.B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解,先求出不等式组的解集,再根据已知得出关于m的不等式组,求出不等式组的解集即可,能得出关于a的不等式组是解此题的关键.
【详解】,
解不等式①得:,
解不等式②得:,
∴不等式组的解集为,
∵关于x的不等式组的所有整数解的和为,
∴不等式组必有整数解或是,
∴,或,
∴或,
故选:B.
3.
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程,解答本题的关键是求出的取值范围.根据不等式组的解集以及整数解的个数,确定的取值范围,再根据分式方程的根和增根进一步确定的取值范围,再求出符合条件的整式的和即可.
【详解】解:关于的不等式组
解得
由于这个不等式组的解集中只有两个整数解;

解得,
关于的方程的解为
,是负整数,
则符合条件的所有整数的值有,,

故答案为:.
4.(1)解:∵不等式有2个正整数解,
∴是2阶不等式;
解不等式组得,
∴这个不等式组有1个正整数解,
∴不等式组是1阶不等式;
故答案为:2,1;
(2)解:
解不等式①得:,
解不等式②得:,
∵关于的不等式组是4阶不等式组,
∴关于的不等式组有4个正整数解,
∴有4个正整数解,
∴;即;
(3)解:解不等式组得,
解方程得,
∴,
∵是正整数,
∴m为偶数,
∵是阶不等式组,
∴,
∴,
∴,
∴,
即;
∵,
∴整数解为,
∴.
【题五 由一元一次不等式组的解集求参数】
1.C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式,先分别解两个不等式,再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程,解方程即可得解.
【详解】解:解不等式,得,
解不等式,得.
∵两个不等式的解集相同,
∴,
解得.
故选:C.
2.B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组,正确理解解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键.先求出各不等式的解集,再根据各小题的要求解答即可.
【详解】解不等式得,;
解不等式得,;
故不等式组的解集为:.
对于①,它的解集是,所以,故本小题正确;
对于②,因为,所以不等式组无解,故本小题正确;
对于③,如果不等式组的最大整数解是4,则,且,所以,故本小题正确;
对于④,如果不等式组有解,则,而不是,故本小题错误.
故选:B.
3.3
【分析】本题考查了解一元一次不等式组,一元一次方程的整数解问题,正确理解题意是借的关键.求得不等式组的解集为,则,故,对于一元一次方程的解为,而,可得,由于的解为正整数,即可确定m的值,即可求解.
【详解】解:解不等式,得;
解不等式,得,
∴,
∴,

对于方程,解得:,则,
∴,
∴,
∵的解为正整数,
∴符合题意的有,
∴符合条件的整数的和为:,
故答案为:3.
4.(1)解:由,得,


解得:,
的取值范围是;
(2)由,得,


解得:,
的取值范围是;
(3)由可得,


解得:,

的取值范围是,



【题六 由不等式组解集的情况求参数】
1.B
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解,解答本题的关键是明确题意,求出的取值范围.
先求出不等式组的解集,再根据关于的一元一次不等式组至少有3个整数解,可以求得的取值范围.
【详解】解:,
由①得:,
由②得:,
∴原不等式组的解集为,
∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解,
∴,
故选:B.
2.A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.先分别求出每一个不等式的解集,再根据不等式组有解,求出,即可求解.
【详解】解:解不等式,得:,
解不等式,得:,
∵不等式组有解,
∴,
解得,
将不等式两边分别乘以再加4变形得到,
∴不等式的解必有一个整数解2,
整数的个数不可能是0,
故选:A.
3.
【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集,根据不等式组无解,建立起新的不等式,解之即可.
本题考查了一元一次不等式组的解法,能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键.
【详解】解:∵,
∴解①得,,解②得,,
∵不等式组无解,
∴,
∴,
故答案为:.
4.解:(1)原不等式的解集为.
关于x的不等式的正整数解恰好是1,2,3,
所以,
所以a的取值范围是.
(2)解不等式,
得,
所以.
解不等式,
得,
所以.
所以只有当时,原不等式组才有解,且解集为.
因为原不等式组只有一个整数解,
所以由条件,得,
所以a的取值范围是.
【题七 不等式组和方程组结合的问题】
1.C
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组,熟练掌握以上知识点是解题的关键.解方程组可得,再结合列出不等式组,求出不等式组的解集即可得出结论.
【详解】解:关于x,y的方程组为,
解得:,
因为,
所以,
解得:.
故选:C.
2.D
【分析】先利用加减消元法求出,即可判断①②;根据推出,则即可判断③;先推出,再结合a的取值范围即可判断④.
【详解】解:,
用得:,
解得:,
将代入①得:,
解得:,
∴方程组的解为,
把代入,解得,
把代入,解得,
不符合题意,故①错误;
②当时,因为,得,
所以x,y的值互为相反数,故②正确;
∵,,
则,
∴,
∴,故③错误;
∵,
∴,
∵,
∴,
∴S的最大值为,故④正确;
故选:D.
3.
【分析】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域,根据条件作出平面区域是解题的关键.作出 不等式组所对应的平面区域,再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】解:如图,作出不等式组对应的平面区域,则,
由,
得,
即,
由,
得,
即,
设直线与轴的交点为,,


故答案为:.
4.(1)解:,
②①得:

把代入①得:
∴解方程组为
(2)解:∵,

解得:
∴的整数解是:1,2,3,4,5,6
【题八 列一元一次不等式组】
1.D
【分析】首先判断x的大致范围为3<x<4,然后再分两种情况讨论x的范围,①3<x<3.5,②3.5<x<4即可得到答案.
【详解】解:当x=3时,3[x]+2{x}+<x>=3×3+2×3+3=18,当x=4时,3[x]+2{x}+<x>=3×4+2×4+4=24,
∴可得x的大致范围为3<x<4,
①3<x<3.5时,3[x]+2{x}+<x>=3×3+2×4+3=20,符合方程;
②当3.5<x<4时,3[x]+2{x}+<x>=3×3+2×4+4=21,不符合方程.
故选:D.
2.A
【分析】根据程序运算进行了3次才停止,即可得出关于x的一元一次不等式组:,解之即可得出x的取值范围.
【详解】解:依题意,得:

由①得:

由②得:>,

>,
所以不等式组的解集为:.
故选:A
3.
【分析】先根据“每间住人,人无处住”可得学生人数,再根据“每间住人,空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得.
【详解】设有间宿舍,则学生有人,
由题意得:,
故答案为:.
4.解:∵
∴或,
或.
【题九 一元一次不等式组的其他应用】
1.C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用,根据题意列出不等式组即可求解,根据题意正确列出一元一次不等式组是解题的关键.
【详解】解:由题意可得,,
解得,
故选:.
2.C
【分析】本题考查了一元一次不等式,一元一次不等式组的应用,解题的关键是正确理解题意,根据题意列出不等式求解.
①根据“将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后,总体积变为”,列出算式,即可求出a;②根据“直到放入第4个后,发现有水溢出”即可解答;③根据“直到放入第4个后,发现有水溢出”列出不等式组,求出b的取值范围,即可解答;④根据①中求出a的值,即可解答.
【详解】解:①,故①正确,符合题意;
②∵直到放入第4个铁块后,发现有水溢出,
∴,故②不正确,不符合题意;
③根据题意可得:,
解得:,
∴,
∵,
∴水不会溢出,故③正确,符合题意;
④由①可得:,
∴,
∴水一定会溢出,故④正确,符合题意;
综上:正确的有①③④,
故选:C.
3.70
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用,设运动时间为t秒,根据题意可得,解得,当时,此时第一次两动点相距100米,当乙第二次到达A时,需要的时间为秒,此时甲运动的路程为米,即此时甲在与点B相距10米,据此可得答案.
【详解】解:设运动时间为t秒,
由题意得,,
解得,
当时,此时第一次两动点相距100米,此时甲、乙位置如图所示,
当乙第二次到达A时,需要的时间为秒,此时甲运动的路程为米,即此时甲在与点B相距10米,
∴此时两动点都在上,
∴经过70秒,甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上.
故答案为:70.
4.(1)解:设购进甲种机器台,则购进乙种机器台,由题意,得:

解得:,
∴不等式的非负整数解为:5,6,7,8;
∴共有4种方案:
方案一:购进5台甲种机器,3台乙种机器;
方案二:购进6台甲种机器,2台乙种机器;
方案三:购进7台甲种机器,1台乙种机器;
方案四:购进8台甲种机器.
(2)解:由题意,得:,
解得:,
∴有3种方案可以选择:
方案一:购进5台甲种机器,3台乙种机器,所需费用为:(元);
方案二:购进6台甲种机器,2台乙种机器,所需费用为:(元);
方案三:购进7台甲种机器,1台乙种机器,所需费用为:(元);
∵,
∴应购进7台甲种机器,1台乙种机器.能既满足公司要求,又最节约资金.
【题十 一元一次不等式组的新定义问题】
1.D
【分析】根据题干中的定义求出(3x),再由关于x的不等式组的解集中只有2个整数解即可得到答案.
【详解】(3x)
只有两个整数解,
这两个解为2、1,
将x=1与x=0代入2x-1,

故选;D.
2.B
【分析】根据新运算的定义将不等式组变形成,解不等式组,找出其中的负数解即可;
【详解】解:由题意可知:
变形成,
解不等式组可知不等式组的解集为:
∴负整数解为:,,有2个,
故选:B
3.或2
【详解】解:∵,
∴,
则,
那么即,
整理得:,
当时,

则,
解得:,
∵x为整数,
∴;
当时,

则,
解得:,
∵x为整数,
∴;
综上,x的值是或2,
故答案为:或2.
4.(1)解:①,,

解得:
,.
②由①得:,

解得:
∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解,


(2)解:

∵且不论m,n取何值,的值都是一个定值,

解得:

∴该定值为.
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