17.2《三角形的内角和》小节复习题
【题一 三角形内角和定理的证明】
1.如图,,则下列关系式不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
2.如图,若,,则:
①;
②;
③平分;
④;
⑤;
⑥,其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②⑤⑥ C.①③④⑥ D.③④⑥
3.如图,在 ABC中,AB=AD=DC=AE,,则
.
4.如图,把三角形的三边延长.
(1)( ),这是一个( )角.
(2)在○里填上“”“”或“”.
○
(3)在图中,你还能找出像第(2)题这样关系的角吗?试着写出一组.
【题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
1.如图摆放的是一副直角三角板,,,与相交于点,当的度数是( )时,两三角板的边
A. B. C. D.
2.如图,在中,,,,,连接,,则的度数是( )
A. B. C. D.
3.如图,,,,则 .
4.如图,两面镜子相交于点,当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时,.
(1)如图1,若,求的度数;
(2)如图2,当两面镜子的夹角为锐角时,反射光线垂直镜面,光线与镜面平行(原题条件可以看成),求的度数;
(3)改变两面镜子的夹角,保持反射光线垂直镜面,记与所夹锐角为与所夹锐角为,直线与直线所夹锐角等于;
①如图3,当为锐角时,求的度数;
②当为钝角时,请直接写出的度数.
【题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
1.如图,在 ABC中,平分,平分,平分 ABC的外角,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
2.如图,在 ABC中,是的平分线,则( )
A. B. C. D.
3.如图,、的平分线交于点,若,,则的度数为 .
4.如图,是 ABC的角平分线,E为上一点,于点F,已知,.
(1)如图①,若点E与点A重合,求的度数;
(2)如图②,若点E在线段上(不与点A重合),求的度数;
(3)如图③,若点E在的延长线上,此时的度数是否为定值?请说明理由.
【题四 三角形折叠问题综合】
1.如图,已知长方形纸片,点,在边上,点,在边上,分别沿,折叠,使点和点都落在点处,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图,将一张三角形纸片折叠,使点A落在的处,折痕为,若,,,那么下列式子中正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图,在直角三角形中,,点在边上,将 ABC沿折叠,点恰好落在边上的处.若,则 度.
4.新考向【动手操作】一个三角形的纸片,沿折叠,使点落在点处.
【观察猜想】
(1)如图①,若,则___________°;
若,则___________°;
若,则___________°;
【探索证明】
(2)利用图①,探索与的关系,并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图②,把 ABC折叠后,平分,平分,若,利用(2)中的结论求的度数.
【题五 根据三角形内角和定理求角度】
1.如图,将 ABC绕点C顺时针旋转得到.若点A,D,E在同一条直线上,,则的度数是( )
A. B. C. D.
2.如图, ABC中,是的平分线,是边上的高线,且,,则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图,在 ABC中,点D在上,.若,则的度数为 .
34.如图,在 ABC中,比大,点D,E分别在上,连接,.
(1)求的度数;
(2)判断与之间的位置关系,并说明理由.
【题六 根据三角形内角和定理求角度】
1.如果将一副三角板按如图所示的方式叠放,那么的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图,和分别是的内角平分线和外角平分线,是的平分线,是的平分线,是的平分线,是的平分线,……,如此进行下去,若,则为( )
A. B. C. D.
3.数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画,如图,已知,且.则 .
4.由组成的线段图如图所示,求的度数.
【题七 根据三角形内角和定理求角度】
1.在下列条件中,能确定 ABC是直角三角形的条件是( )
A. B.
C. D.
2.如图,从A点发出的光线、经平面镜反射后得到反射光线、,、为法线,设,,,那么、、之间的数量关系是(提示:入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等)( )
A. B. C. D.
3.如图,,,、的五等分线分别交于点、、、,则 .
4.如下图,在 ABC中,,是边上的高,平分,且.求和的度数.
【题八 根据三角形内角和定理求角度】
1.如图,将 ABC绕点逆时针旋转,旋转角为,得到 ADE,这时点旋转后的对应点恰好在直线上,则下列结论错误的是( )
A.∠ABC=∠ADB B.
C. D.
2.如图,将 AOB绕着点顺时针旋转得到,若,,,则旋转角度是( )
A. B. C. D.
3.如图,,点在直线左侧,,,射线从射线出发,绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转,同时射线从射线出发,绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转,当射线旋转时两条射线都停止旋转.射线与射线交于点,若,则射线旋转了 秒.
4.如图,在 ABC中,,.将 ABC绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到 ADE,与相交于点,.当时,求的度数.
参考答案
【题一 三角形内角和定理的证明】
1.C
【分析】本题主要考查多边形的内角与外角,解题的关键是掌握平行线的性质及三角形的外角性质、四边形的内角和等知识点.延长交于点P、延长交于点Q,由知,根据得可判断A;由知,再根据得可判断B;由AB∥DE知根据可得,据此可判断C,从而得出答案.
【详解】解:如图,延长交于点P、延长交于点Q,
∵
∴
∵
∴,故A选项正确;
∵
∴
∵
∴故B选项正确;
∵,
∴
∵
∴,
∴故C选项错误,故D选项正确,;
故选:C.
2.B
【分析】本题考查了平行线的判定与性质,三角形内角和定理,根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤,结合三角形内角和定理可以判定⑥,结合题意和图形判断③④,即可进行解答.
【详解】①∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
故①正确;
②∵,
∴,
故②正确;
∵,
∴,
故⑤正确,
∵在中,,
又∵,,
∴,
故⑥正确,
∵在中,无法确定,
又∵,
∴无法确定,
∴无法确定平分,故③错误,
∵在中,无法确定,且,
∴无法确定,故④错误;
故选:B.
3.30
【分析】由,可知,由此可知,由可知,由可知,由此可得即可得出结论.
【详解】∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为.
4.(1)解:是邻补角,
,这个角是一个平角;
(2)解:,
,
三角形三个角之和是,
,即,
;
(3)解:结合(1)(2)得:.
【题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
1.B
【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理,熟练掌握知识点,准确作出辅助线是解题的关键.过点作,再根据在和中,,,可得,,进而求解的度数,再根据平角的定义即可得出答案.
【详解】解:过点作,
,
,
,,
在和中,,,
,,
,,
,
,
故选:B.
2.A
【分析】延长交于点,根据,利用三角形和为,求得,再根据,可得出,再根据求得.
【详解】解:如图,延长交于点,
,,
,
,
,
,
,
故选:A.
3.
【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算,连接,设,,,,由平行线的性质得,进一步得出,从而可得结论
【详解】解:连接,如图,
,
设,,,,
∵
∴,
∴,
∴,
∴,
∴
;
,
∴
故答案为:
4.(1)解:,
,
,
,
,
,
,
在中,;
(2)解:设,
,
,
,
;
,
,
在中,,
,
.
(3)解:①如图3,设,则,
,
,
,
,
即①,
,
,
,
又,
即②,
由①,②解得:,
,.
②与①同理可得,.
【题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
1.C
【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质以及角的和差,熟练掌握角平分线的定义是解题的关键.根据角平分线的定义求出,即可得到,即可得到答案.
【详解】解:,
,
,
,
平分,
.
故选C.
2.C
【分析】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义,三角形内角和定理,先根据,,求出,再根据角平分线的定义求出的度数,再由三角形外角的性质即可求出的度数.
【详解】解:∵,,
∴,
是的平分线,
,
,是的外角,
.
故选:C.
3.
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质,熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键.
延长交于,根据角平分线的定义可得,,再根据三角形的内角和定理可得,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出,整理可得,即可得解.
【详解】如图,延长交于点,设与交于点.
、的平分线交于点,
,.
,,
①
,,
②
①-②,得,
.
,,
.
4.(1)解:∵,,,
,,
平分,
,
;
(2)解:因为,,
所以.
因为AD平分,
所以,
所以,
所以,
所以.
(3)解:的度数为定值.理由如下:
由(2)可知,
所以,
所以.
【题四 三角形折叠问题综合】
1.C
【分析】首先根据平行线的性质得到,,然后由折叠的性质得到,,然后根据得到,最后利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】解:∵
∴,
∵沿,折叠,使点和点都落在点处,
∴,
∴,
∵
∴
∴
∴.
故选:C.
2.D
【分析】本题考查了三角形外角的性质,熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.根据三角形的外角得:,,代入已知可得结论.
【详解】解:如图,设交于.
由折叠得:,
,,
∠A=a,,,
,
故选:D
3.60
【分析】本题考查三角形内角和定理,折叠的性质,解题的关键是利用折叠的性质得到对应角相等,并结合三角形内角和求出相关角度.
先根据三角形内角和定理求出的度数,再由折叠的性质得出与的关系,进而求出,最后在中求出,根据折的性质可知与相等.
【详解】解:在中,,
,
∵ ABC沿折叠,点恰好落在AB边上的处,
,
,
,
由折叠的性质可知,
故答案为:60.
4.解:(1)点沿折叠落在点的位置,
∴,,
∴,.
在 ADE中,,
,
整理,得.
同理可得:若,则.
若,则.
(2).理由:
∵,是 ADE的两个外角,
∴,,
,
,即.
(3),
由(2),得,
.
平分,平分,
,
.
【题五 根据三角形内角和定理求角度】
1.C
【分析】该题考查了旋转的性质,三角形内角和定理,根据旋转得到,,结合得到,,再根据三角形内角和定理即可求解.
【详解】解:将 ABC绕点顺时针旋转得到,
,,
,
,,
.
故选:C.
2.C
【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的角平分线等知识点,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
利用三角形的内角和是可得的度数;是的角平分线,可得的度数;利用是高可得,可求得度数,然后由即可解答.
【详解】解:∵,,
∴,
∵是的平分线,
∴ ,
∵是边上的高线,
∴,
∴,
∴.
故选: C.
3.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角形外角和定理,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.根据三角形外角和定理求出,根据三角形内角和定理求出答案即可.
【详解】解:,
,
,
故答案为:.
4.(1)解:设,则.
在 ABC中,因为,
所以,解得,
所以,
所以.
(2)解:.
理由:因为,
所以,
所以.
【题六 根据三角形内角和定理求角度】
1.C
【分析】本题主要考查了角的和差、三角形外角的性质等知识点,掌握三角形外角的性质是解题的关键.
由角的和差可得,再根据三角形外角的性质即可解答.
【详解】解:如图,,,,
,
.
故选C.
2.C
【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等,找出其中规律是解题的关键;根据角平分线的定义可得,,再根据三角形外角性质可得,,联立化简可得:,进一步找出其中规律,即可求出;
【详解】解:和分别是 ABC的内角平分线和外角平分线,
∴,,
∵,
∴①,②,
②得:,
∴③,
由①和③得:,
∵,
∴,
同理:, ,……,
∴,
∴,
故选:C;
3.
【分析】本题考查了平行线的性质,三角形外角的性质,延长交于点F,根据平行线的性质得出的度数,根据邻补角互补求出的度数,再根据三角形外角的性质即可求出的度数.
【详解】解:如图,延长交于点F,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵是的外角,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
4.解:如图:
由三角形外角可得:,,
,
,
【题七 根据三角形内角和定理求角度】
1.C
【分析】本题主要考查了三角形内角和,直角三角形的定义,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.根据三角形定理以及直角三角形的概念判断即可.
【详解】解:,
,得到,即,不能确定 ABC是直角三角形,故选项A不符合题意;
,,不能确定 ABC是直角三角形,故选项B不符合题意;
,能确定 ABC是直角三角形,故选项C符合题意;
不能确定 ABC是直角三角形,故选项D不符合题意;
故选C.
2.B
【分析】本题考查三角形内角和定理,光的反射定律,熟练掌握查三角形内角和定理和光的反射定律是解题的关键,注意跨学科之间的联系.
根据光的反射定律,求出,,再根据三角形内角和定理求解即可.
【详解】由题意可得,
.
,
即,
,
.
故选:B.
3.
【分析】本题考查三角形的内角和定理,根据题意,得到,,进而求出,再利用三角形的内角和定理,进行求解即可.
【详解】解:、的五等分线分别交于点、、、,
,.
,
,
.
故答案为:.
4.解:,
,
.
平分,
,
.
【题八 根据三角形内角和定理求角度】
1.B
【分析】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,三角形外角性质,由旋转得,即可判断;根据是 ABC的外角,可得,可判断;根据为旋转角,得出,可判断;根据,,可得,可判断,据此即可求解,掌握旋转的性质是解题的关键.
【详解】解:将 ABC绕点逆时针旋转,旋转角为,得到,
∴,,,
∵点旋转后的对应点恰好在直线上,
∴∠ABC=∠ADB,故选项正确;
∵是 ABC的外角,
∴,
∴,故选项不正确;
∵为旋转角,
∴,故选项正确;
∵,,
∴,故选项正确;
故选:.
2.B
【分析】根据旋转的性质可得,结合三角形的内角和定理可得,即可求解.
【详解】解:∵ AOB绕着点顺时针旋转得到,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴旋转角为,
故选:B.
3.25或65
【分析】本题主要考查了平行线的性质,三角形外角的性质,一元一次方程的应用,过点E作,延长,先求出,设运动时间为t,则,,分两种情况:当点P在点B的左侧时,当点P在点B的右侧时,分别画出图形,求出结果即可.
【详解】解:过点E作,延长,如图所示:
∵,
∴,
∴,,
∴,
∴,
设运动时间为t,则,,
当点P在点B的左侧时,如图所示:
,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得:;
当点P在点B的右侧时,如图所示:
此时,,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得:;
综上分析可知:射线旋转了25秒或65秒.
故答案为:25或65.
4.解:在 ABC中,,,
,
由旋转得,,,
,
,
,
,
,
,
.