专题13反比例函数及其应用（27题）（含答案+解析）-【真题汇编】2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）

专题13 反比例函数及其应用（27题）
一、单选题
1．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
6．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．在在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
7．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·云南·中考真题）若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
13．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ．
14．（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）．
15．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ．
16．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ．
17．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ．
18．（2025·福建·中考真题）若反比例函数的图象过点，则常数 ．
19．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个）
20．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa．
21．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）．
三、解答题
22．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
23．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
24．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，．
(1)求一次函数的表达式，并求的面积．
(2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式．
(2)结合图形，请直接写出不等式的解集．
(3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值．
26．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．
27．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
(1)求的值；
(2)若，求点坐标；
(3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
《专题13 反比例函数及其应用（27题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B C D A D D B
题号 11 12
答案 A C
1．D
本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可．
解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，
∵，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
综上，只有选项D正确，
故选：D．
2．D
本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可．
解：延长交于点E，
设，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵反比例函数经过、两点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
3．D
本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
4．B
本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解．
解：∵，，当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，
∴当时，，
故选：B．
5．C
本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误．
当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误．
故选：C．
6．D
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意；
、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意；
、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意；
、当时，随的增大而减小，故符合题意；
故选：D．
7．A
本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案．
解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
该反比函数解析式为，
∴在第一象限随的增大而减小；
当时，，
∴电流可以为，
故选：A．
8．D
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可．
解：反比例函数的，
点所在的反比例函数的，
反比例函数的图象一定经过的点是，
故选：D．
9．D
如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可．
如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴联立得，，
解得或，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴将代入，
∴，
∴．
故选：D．
此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
10．B
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值．
解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上，
∴将，代入，得：
解得：，
故选：B．
11．A
本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答．
解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为，
∴，解得：（已舍弃负值）．
∴点B的坐标为，
∵函数的图象经过点，
∴满足的的取值范围为．
故选A．
12．C
本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
13．
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可．
解：令，
∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点关于原点对称，
∴；
故答案为：．
14．1（答案不唯一）
本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可．
解：∵点，在反比例函数的图象上，
又∵，，
∴在同一象限内随着的增大而减小，
∴双曲线过一，三象限，
∴，
∴（答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）．
15．9
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答．
解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴，，
∴，，
∴，
把代入，
得，
解得，
故答案为：9．
16．/
本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案．
解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．20
本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可．
解：∵直线与双曲线交于，两点，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积是；
故答案为：20．
18．
本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可．
解：∵反比例函数的图象过点，
∴；
故答案为：．
19．（答案不唯一）
本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案．
解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，
∴该反比例函数的比例系数大于0，
∴符合题意的反比例函数解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
20．16000
本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答．
解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．
∴设这个反比例函数的解析式为，
把时，代入，得，
解得，
∴，
把代入，
得，
故答案为：．
21．减小
本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
解：∵，，
∴电流与电阻成反比，
∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小；
故答案为：减小
22．(1)，
(2)10
（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解．
（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得：
，解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，
∴，
解得：；
由题意知，，
∴
．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．
23．(1)反比例函数的表达式为：
(2)
（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可.
（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴.
本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键.
24．(1)；
(2)或
本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案．
（1）解：把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
把，代入到中得：，解得，
∴一次函数的表达式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴与不垂直，
∵与相似，
∴只存在和这两种情况，
当时，则，，
∴，，
∴此时点D为的中点，
∴点D的坐标为；
当时，则，，
∴；
设，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或．
25．(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为
(2)或
(3)或
（）利用待定系数法解答即可；
（）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可；
（）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可；
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
（1）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
把代入，得，
∴，
∴，
把，代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点，
由，解得，，
∴，，
由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即，
∴不等式的解集为或；
（3）解：当时，，
即，
整理得，，
∴；
当时，，
即，
整理得，，
∴；
综上，的值为或．
26．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
（1）解：把点代入，得，解得，
反比例函数的解析式为，
把点代入，得，解得，
，
把，代入得，解得
一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于x的不等式的解集或．
27．(1)
(2)
(3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可；
（2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可；
（3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案.
（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；
（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键.