专题23 圆的有关位置关系(24题)
一、单选题
1.(2025·上海·中考真题)在锐角三角形中,,,的外接圆为,且半径为5,边中点为,如果以为圆心的圆与相交,那么的半径可以为( )
A.2 B.5 C.8 D.9
2.(2025·山东·中考真题)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题
3.(2025·四川泸州·中考真题)如图,梯形中,,与梯形的各边都相切,且的面积为,则点到的距离为 .
4.(2025·河南·中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点O,四边形为矩形,边与相切于点,连接,,连接交于点.若,则图中阴影部分的面积为 .
5.(2025·云南·中考真题)已知的半径为,若点在上,则点到圆心的距离为 .
6.(2025·四川遂宁·中考真题)如图,在边长为的正方形的对角线上取一点,使,连结并延长至点,连结,使,与相交于点.有下列结论:①;②;③;④点是边上一动点,连结,将沿翻折,点落在点处,连结交于点,连结,则的最小值为其中正确的结论有 .(填序号)
三、解答题
7.(2025·山东威海·中考真题)如图,是的切线,点A为切点.点B为上一点,射线交于点C,连接,点D在上,过点D作,,交于点F,作,垂足为点E..
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的半径.
8.(2025·山东·中考真题)【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射,开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞,制作了一个航天器模型,其中某个部件使用3D打印完成,如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示,由于1的尺寸不易直接测量,需要设计一个可以得到的长度的方案,以检测该部件中的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献,提出了钢柱测量法.
测量工具:游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤:如图3,将两个钢柱平行放在部件合适位置,使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4,分别与,相切于点,.用游标卡尺测量出的长度.
【问题解决】
已知,的长度要求是.
(1)求的度数;
(2)已知钢柱的底面圆半径为,现测得.根据以上信息,通过计算说明该部件的长度是否符合要求.(参考数据:)
【结果反思】
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度,能将圆柱换成其他几何体吗?如果能,写出一个;如果不能,说明理由.
9.(2025·四川泸州·中考真题)如图,是的直径,过点的直线与过点的切线交于点,与的延长线交于点,且,连接交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的长.
10.(2025·山东·中考真题)如图,在中,点在上,边交于点,于点.是的平分线.
(1)求证:为的切线;
(2)若的半径为2,,求的长.
11.(2025·四川遂宁·中考真题)如图,是的直径,是上的一点,连接,延长至点,连接,使.
(1)求证:是的切线.
(2)点是的中点,连接,交于点,过点作交于点,交于点,连接,若,,求的值.
12.(2025·四川内江·中考真题)如图,在中,,的平分线交于点D,点O是边上一点,以点O为圆心、长为半径作圆,恰好经过点D,交于点E.
(1)求证:直线是的切线;
(2)若点E为的中点,,求阴影部分的面积;
(3)连接,若,求的值.
13.(2025·云南·中考真题)如图,是五边形的外接圆,是的直径.连接,,,.
(1)若,且,求的度数;
(2)求证:直线是的切线;
(3)探究,发现与证明:已知平分,是否存在常数,使等式成立?若存在,请直接写出一个的值和一个的值,并证明你写出的的值和的值,使等式成立;若不存在,请说明理由.
14.(2025·四川广安·中考真题)如图,是的外接圆,是的直径,点E在的延长线上,连接,.
(1)求证:是的切线.
(2)过点C作,垂足为D,若的面积是的面积的3倍,,求的长.
15.(2025·山东烟台·中考真题)如图,内接于,,点在线段的延长线上,且,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)当,时,求的长及的半径.
16.(2025·江苏连云港·中考真题)已知是的高,是的外接圆.
(1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规,作的外接圆(保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图2,若的半径为,求证:;
(3)如图3,延长交于点,过点的切线交的延长线于点.若,,,求的长.
17.(2025·四川达州·中考真题)如图,已知抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于C点,B的坐标为,C的坐标为,顶点为M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接,过第四象限内抛物线上一点作的平行线,交x轴于点E,交y轴于点F.
①连接,当时,求内切圆半径r与外接圆半径R的比值;
②连接,当点F在的内角平分线上,上的动点P满足的值最小时,求的面积.
18.(2025·江苏连云港·中考真题)综合与实践
【问题情境】
如图,小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、,且,交于点.连接,过点作,垂足为,连接、,交于点,交于点.
【活动猜想】
(1)与的数量关系是_______,位置关系是_______;
【探索发现】
(2)证明(1)中的结论;
【实践应用】
(3)若,,求的长;
【综合探究】(4)若,则当_______时,的面积最小.
19.(2025·四川凉山·中考真题)如图1,是的直径,与相切于点A,连接交于点C,连接,则,理由如下:
是的直径,
,
,
与相切于点A,
,
,
,
.
(1)小明根据以上结论,自主探究发现:如图2,当是非直径的弦,而其他条件不变时,仍然成立,请说明理由;
(2)小明进一步探究发现:如图3,线段与线段存在如下关系:.请你替小明证一证;
(3)拓展应用:如图4,是的内接三角形,,,的延长线与过点A的切线相交于P,若的半径为1,请你利用小明的探究结论求的长.
20.(2025·四川南充·中考真题)如图,中,于点D,以为直径的交于点E,交于点F,M为线段上一点,.
(1)求证:是的切线.
(2)若, ,求的长.
21.(2025·四川成都·中考真题)如图,点C在以为直径的半圆O上,连接,过点C作半圆O的切线,交的延长线于点D,在上取点E,使,连接,交于点F.
(1)求证:;
(2)若,,求半圆O的半径及的长.
22.(2025·重庆·中考真题)在中,,点D是边上一点(不与端点重合),连接.将线段绕点A逆时针旋转得到线段,连接.
(1)如图1,,,求的度数;
(2)如图2,,,过点作,交的延长线于,连接.点是的中点,点是的中点,连接,.用等式表示线段与的数量关系并证明:
(3)如图3,,,,连接,.点从点移动到点过程中,将绕点逆时针旋转得线段,连接,作交的延长线于点.当取最小值时,在直线上取一点,连接,将沿所在直线翻折到所在的平面内,得,连接,,,当取最大值时,请直接写出的面积.
23.(2025·四川自贡·中考真题)如图,等圆和相交于两点,经过的圆心,连接,作直径,延长到点,使,连接.
(1)___________度;
(2)求证:为的切线;
(3)若,求上的长.
24.(2025·山东东营·中考真题)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上异于A、B的点,连接AC、BC,点D在BA的延长线上,且,点E在DC的延长线上,且.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若,,求DA的长.
《专题23 圆的有关位置关系(24题)-2025年中考数学真题分类汇编(全国通用)》参考答案
题号 1 2
答案 B D
1.B
本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,两圆相交的条件等知识,掌握两圆相交的条件是关键;根据题意,等腰的外接圆半径为5,由等腰三角形的性质、勾股定理求得;当与相交时,圆心距需满足条件,代入数值求解r的范围,进而确定选项.
解:如图,连接并延长交于点E,
∵,D为中点,
∴,;
∵锐角三角形中,,
∴外接圆心O在上,
连接,由勾股定理得:;
设以D为圆心的圆的半径为,相交应满足:,
即,解得:;
在此范围的半径只有选项B;
故选:B.
2.D
本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点,掌握数形结合思想成为解题的关键.
如图:连接相交于O,由正方形的内切圆的半径是2,,,再运用勾股定理可得,则,最后根据圆的面积公式求解即可.
解:如图:连接相交于O,
∵正方形的内切圆的半径是2,
∴,,
∴,,
∴图中阴影部分的面积是.
故选D.
3.
本题考查了圆的切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的判定与性质,难度较大,正确添加辅助线是解题的关键.
设分别与的切点记为点,连接,过点作于点,过点作于点,过点作于点,由圆的切线的性质证明四边形为矩形,则,可求圆的半径为,设,在中有勾股定理建立方程,解得:或(舍),同理可得:,,最后由即可求解.
解:设分别与的切点记为点,连接,过点作于点,过点作于点,过点作于点,
∴,,
∴,
∵梯形,,
∴点共线,
∴四边形为矩形,
∴,
∵的面积为,
∴,
∴,
∴,
设,
∵,
∴,
∴
∵在中,,
∴,
解得:或(舍),
∴,
同理可得:,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴点到的距离为,
故答案为:.
4.
根据圆的切线的性质和矩形的性质,得到,由垂径定理可得,由圆周角定理可得,进而证明是等边三角形,得到,再根据阴影部分的面积求解即可.
解:所在圆的圆心为点O,边与相切于点,
,,
四边形为矩形,
,
,
,
,
,
,
,,
,
是等边三角形,
,
,
阴影部分的面积,
故答案为:.
本题考查了求不规则图形面积,矩形的性质,圆周角定理,垂径定理,圆的切线的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,扇形面积,掌握圆的相关性质是解题关键.
5.
本题考查了点和圆的位置关系,根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系,即可判断点和圆的位置关系,解题的关键是理解设点到圆心的距离为,圆的半径为,若点在圆外,则时,当点在圆上时,则时;当点在圆内时,则.
解:∵点在上,
∴点到圆心的距离为,
故答案为:.
6.①②④
证明即可判断①,在上取一点,使得,证明,进而判断②;过点分别作的垂线,垂足分别为,则,根据相似三角形的性质即可判断③,取的中点,连接,根据题意得出在以为直径的圆上运动,进而得出当在上时,取得最小值,最小值为的长,勾股定理求得的长,即可求解.
解:∵四边形是正方形,点是正方形的对角线上的点,
∴,
∴,
∴,故①正确;
如图,在上取一点,使得,
∵四边形是正方形,是对角线,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴,,
∴是等边三角形,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
即,故②正确;
如图,连接交于点,则,过点分别作的垂线,垂足分别为,
∵,
∴,,
∵,
∴,
∵在正方形中,,
∴
∴
∵
∴
∴
在中,
∵
∴
∴
∴,故③错误
如图
∵
∴
即
∵点是边上一动点,连结,将沿翻折,点落在点处,
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动
取的中点,连接,
∴当在上时,取得最小值,最小值为的长,
∴
∴
∴
∴,故④正确
故答案为:①②④.
本题考查了折叠的性质,正方形的性质,解直角三角形,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,求一点到圆上的距离的最值问题,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.
7.(1)见解析
(2)
本题考查了圆的综合题,涉及圆的切线的性质与判定,切线长定理,解直角三角形,勾股定理等知识点,正确添加辅助线是解题的关键.
(1)连接,证明,则,而,则,由于是的切线,则,再由等式的性质即可证明;
(2)可得,设,则,,由切线长定理得到,则,求出,即可求解半径.
(1)证明:连接,
∵是的切线,
∴
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵
∴,
∴,
∴,
即,
∴是的切线;
(2)解:∵,,
∴,
设,
∴,,
∵是的切线,是的切线,
∴,
∵
∴,
解得:,
∴半径为.
8.(1);(2)该部件的长度符合要求;(3)见解析
本题考查了切线长定理,解直角三角形的应用.
(1)根据切线长定理求解即可;
(2)解直角三角形求得,推出,据此求解即可;
(3)能,将圆柱换成正方体.
解:(1)∵分别与,相切于点,,
∴,;
(2)∵钢柱的底面圆半径为,
∴,
∵,,
∴,
∴,
同理,
∴,
∵,
∴该部件的长度符合要求;
(3)能,将圆柱换成正方体.如图,
设正方体的棱长为,用游标卡尺测量出的长度.
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
9.(1)证明见解析
(2)
本题主要考查了切线的性质与判定,解直角三角形,勾股定理,相似三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线是解题的关键.
(1)连接,由切线的性质可得,证明,可得,据此由切线的判定定理可证明结论;
(2)过点C作于H,过点D作于M,设,则,解得到,则,解方程可得,则,,,由勾股定理得,则;解得到,则,,由勾股定理得;由等面积法可得,证明,得到;证明可得,则.
(1)证明;如图所示,连接,
∵是的切线,
∴,即,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∵是的半径,
∴是的切线;
(2)解:如图所示,过点C作于H,过点D作于M,
设,则,
由(1)可得,
在中,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴,
在中,由勾股定理得,
∴;
在中,,
∴,,
在中,由勾股定理得;
∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
∵,
∴,
∴,即,
∴.
10.(1)见解析
(2).
本题考查了切线的判定,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理等.
(1)利用等边对等角求得,由角平分线的定义求得,可证明,即可证明为的切线;
(2)先证明等腰三角形,求得,据此求解即可.
(1)证明:∵,
∴,
∵,
∴,
∵是的平分线,
∴,
∴,
即且为半径,
∴为的切线;
(2)解:∵,又,
∴等腰直角三角形,
∵的半径为2,
∴,
∴,
∴.
11.(1)证明见解析
(2)
(1)连接,由圆周角定理得,又由等腰三角形的性质及已知可得,即得,进而即可求证;
(2)连接,由得,即得,,即得到,设,则,由勾股定理得,解得,再证明,得,即得,进而由得,代入计算即可求解.
(1)证明:连接,
∵是直径,
∴,即,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∴,
∴是的切线;
(2)解:连接,
∵,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
设,则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵点是的中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∵,
∴垂直平分,
∴,
∴,
∴.
本题考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,切线的判定,相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,正确作出辅助线是解题的关键.
12.(1)见解析
(2)
(3)
本题主要考查了求不规则图形面积,解直角三角形,相似三角形的性质与判定,切线的判定,勾股定理等等,熟知相关知识是解题的关键.
(1)连接,由角平分线的定义得到,再由等边对等角得到,则,据此可证明,得到,由此可证明是的切线;
(2)根据线段之间的关系证明,解直角三角形可得,则可求出,再根据列式计算即可;
(3)由直径所对的圆周角是直角得到,解得到,设,由勾股定理可得;证明,进而证明,得到,则,,进而可求出,再根据余弦的定义可得答案.
(1)证明:如图所示,连接,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵是的半径,
∴是的切线;
(2)解:∵点E为的中点,
∴,
∵,
∴,
由(1)可得,
在中,,
∴,
∴,
∴;
(3)解:∵是的直径,
∴,
在中,,
设,
∴;
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
在中,.
13.(1);
(2)证明见解析;
(3)存在常数,,理由见解析.
本题考查了等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,切线的判定等知识,掌握知识点的应用是解题的关键.
()证明是等边三角形即可;
()延长交于点,连接,由圆周角定理可得,即,又,,所以,然后由切线的判定方法即可求证;
()设与交于点,由平分,可得,,通过圆周角定理可得,证明,,故有,,即有,,然后通过即可求解.
(1)解:∵,且,
∴是等边三角形,
∴;
(2)解:如图,延长交于点,连接,
∵是的直径,
∴,即,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵是的半径,
∴直线是的切线;
(3)解:存在常数,,使等式成立;
理由如下:
如图,设与交于点,
∵平分,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴,,
∴,,
得:,
∵,
∴,
∴,.
14.(1)见解析
(2)
本题主要考查了切线的判定,相似三角形的性质与判定,勾股定理,直径所对的圆周角是直角等等,熟知切线的判定定理,相似三角形的性质与判定定理是解题的关键.
(1)连接,由等边对等角得到,则,由直径所对的圆周角是直角得到,则可导角证明,据此可证明结论;
(2)证明,得到,则,设,则,,证明,得到,则,据此可求出,再利用勾股定理即可求出答案.
(1)证明:如图所示,连接,
,
,
,
,
是的直径,
,
,
,
是的半径,
是的切线;
(2)解:,
,
,
又,
,
,
的面积是的面积的3倍,
,
,
设,
,,
,
,,
,
,
,
∴,
在中,.
15.(1)见解析
(2);的半径为
本题考查了切线的判定,相似三角形的性质与判定,解直角三角形,熟练掌握以上知识是解题的关键;
(1)连接并延长交于点,连接,根据已知得出,根据圆周角定理得出,进而等量代换可得即,即可得证;
(2)证明,即可得出,过点作于点,得出,进而求得,即可求解.
(1)证明:如图,连接并延长交于点,连接,
∵,
∴
∴
又∵,
∴
∴
∵
∴
∴
∵是直径
∴
∴即
∴是的切线;
(2)∵
∴
∴
∵
∴,
又∵,
∴
解得:
如图,过点作于点,
∵,
∴,
∴
∴
又∵
∴
∴的半径为
16.(1)见解析
(2)见解析
(3)
本题考查了作三角形的外接圆,相似三角形的性质与判定,切线的性质,解直角三角形,熟练掌握以上知识是解题的关键;
(1)分别作的垂直平分线交于点,以为半径作圆,即可求解.
(2)作的直径,连接,证明,根据相似三角形的性质,即可求解;
(3)连接,根据为的切线,得出,进而证明是等边三角形,得出,在,中分别求得,根据(2)的结论求得,即可求解.
(1)解:如图所示,
(2)解:如图2,作的直径,连接,
∴,,
∵是的高,
∴.
∵,
∴.
∴,即,
∴.
(3)如图3,连接,
∵为的切线,
∴.
∵,,
∴,
∴,.
∵,
∴是等边三角形,,
∴,,
∴.
在中,,,,
∴,,
在中,,
在中,,
代入,得,
即.
17.(1)
(2)①;②的面积为2或3或
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)①先求出点A的坐标,进而可判断,是等腰直角三角形,然后根据的外接圆直径是,可得其外接圆的半径,再利用等积法求出r,即可解决问题;
②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标,作轴于点P,可得,继而可得,于是可得当M、P、Q三点共线且轴时,的值最小,此时Q、T重合,然后分点F在不同内角平分线上共三种情况,外加当点重合于点O时,此时点F在的平分线上这种特殊情况,讨论求解即可.
(1)解:把B的坐标,C的坐标代入抛物线的解析式。
得,解得:,
∴抛物线的解析式是;
(2)解:①令,
解得:,
∴,
∵B,C,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∴当时,是等腰直角三角形,且,
∴,
∴的外接圆直径是,
则其外接圆的半径,
∵,
∴,即,
解得:,
∴;
②∵,
∴抛物线的对称轴是直线,顶点M的坐标是,
∴直线与x轴的交点T的坐标是,
作轴于点P,则在直角三角形中,,
∴,
∴当M、P、Q三点共线且轴时,的值最小,此时Q、T重合,
当点F在的内角的平分线上即时,如图,
∵,
∴,
∴,
∴E、T重合,
∵B,C,
∴直线的解析式是,
当时,,
∴点P的坐标是,
∴,
∴;
当点F在的内角的平分线上时,如图,作于点K,
则,
设,则,
∵,且,
∴,
解得:,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴;
由于,
∴点F不可能在的内角的平分线上;
当点重合于点O时,此时平分即点F在的平分线上,符合题意,则,
∴;
综上:的面积为2或3或.
本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识,综合性强、难度较大,属于中考压轴题,熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键.
18.(1)相等,垂直
(2)证明见解析
(3)
(4)
(1)根据图形进行猜想即可;
(2)过点作于,过点作分别交、于、, 证明四边形为矩形,四边形为正方形,结合正方形性质证明,则可得,证明,得出,,再利用,得出,即可证明;
(3)证明,得出,,再证明,在中,利用勾股定理求出,由等面积法得求出,在中,利用勾股定理求出,再证明为等腰直角三角形,得出,利用线段和差即可求解;
(4)构造的外接圆,连接,,,过点作于点,设的半径为,过点作于,证明是等腰直角三角形,得出,求得,则当最小时,的面积最小,则最小时,的面积最小,由,可知当最小时,的面积最小,由点到直线的最短距离可得,当、、依次共线,且时,最小,此时,点与重合,再进行计算即可.
解:(1)相等,垂直;
(2)过点作于,过点作分别交、于、,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
∴四边形为矩形,四边形为正方形,
∴,,,
∴,
∴,即,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴;
(3)在正方形中,由,,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴,
在中,,,
得,
由等面积法得,
即,
∴,
在中,,
由(2)可知,,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴;
(4)如图,构造的外接圆,连接,,,过点作于点,设的半径为,过点作于,
由(2)可知,,
∴,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∵正方形中,,是等腰直角三角形,
∴,,
∴,
∴当最小时,的面积最小,
∴最小时,的面积最小,
∵,
∴当最小时,的面积最小,
由点到直线的最短距离可得,当、、依次共线,且时,最小,
此时如图,点与重合,
则,
解得:,
∴,
∴.
本题考查正方形的性质,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,外接圆,二次根式,熟练掌握这些性质与判定是解题的关键.
19.(1)见解析
(2)见解析
(3)
(1)连接,由切线的性质可推出,则,由等边对等角可得,则由三角形内角和定理可得,则,由圆周角定理得到,则;
(2)根据(1)所求可证明,由相似三角形的性质可得,则;
(3)由圆周角定理可得,由勾股定理得;求出,则可证明是等边三角形,可得,由切线的性质可推出,则可得到,由圆周角定理得到,则,进一步可得,则,即可得到;设,则,由(2)可得,则,解方程即可得到答案.
(1)解:如图所示,连接,
∵与相切于点A,
∴,
∴,
∴,
∴
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴;
(2)证明;由(1)可得,
又∵,
∴,
∴,
∴;
(3)解:∵,
∴,
∵的半径为1,
∴
在中,由勾股定理得;
∵,
∴,
又∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵的延长线与过点A的切线相交于P,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴;
设,则,
由(2)可得,
∴,
∴,
解得或(舍去),
∴.
本题主要考查了切线的性质,圆周角定理,相似三角形的性质与判定,勾股定理,等边三角形的性质与判定等等,熟知切线的性质和圆周角定理是解题的关键.
20.(1)详见解析
(2)
本题主要考查了切线的证明、直径所对的圆周角等于90度、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点.熟练掌握以上知识点是解题的关键.
(1)如图:连接,利用证明 得到即可证明是的切线;
(2)如图:连接,先说明,即.再根据圆周角定理可得;设,,由勾股定理可得,即.解答,进而得到、;由全等三角形的性质可得,进而得到;则,然后求得即可解答.
(1)证明:如图:连接,
在与中,
,
∴.
∴,
∴为的切线.
(2)解:如图:连接.
∵,,
∴.
∴..
∵为直径,
∴,.
设,,,
∴.
∴,,.
∵,
∴.
∵,
∵,
∴,
∴,
∴.
∴.
∴.
21.(1)见解析
(2)半圆O的半径为2,
(1)连接,切线得到,等边对等角得到,圆周角定理得到,同角的余角得到,等量代换得到,即可得证;
(2)连接,设半圆O的半径为,解直角三角形,求出半径的长,进行求出的长,平行得到,解直角三角形,求出,的长,角平分线的性质,以及同高三角形的面积比等于底边比,得到,进行求解即可.
(1)解:连接,则:,
∴,
∵过点C作半圆O的切线,交的延长线于点D,
∴,
∴,
∵为直径,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
(2)设半圆O的半径为,则,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,即:半圆O的半径为2;
∴,
连接,则:,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴平分,
∴到的距离相等,都等于的长,
∴,
∴,
∴,
∴.
本题考查切线的性质,圆周角定理,解直角三角形,角平分线的性质等知识点,熟练掌握相关知识点,是解题的关键.
22.(1)
(2),理由见解析.
(3)
(1)利用,,得出是等边三角形,得出.由旋转得,则可求出,再利用外角即可求解;
(2)连接,,利用,,得,证明,得,,得出,再证明,得出,可得,,再通过点是的中点,和点是的中点,证明,,通过证明是等腰直角三角形,即可得出;
(3)取中点,中点,连接,,,通过证明,得出,由点为固定点,,得点在过点且垂直于的直线上运动,由点到直线的最短距离可得,当取最小值时,即垂直于点运动轨迹的直线,即点和点重合时,最小, 此时,由翻折可知,则点的轨迹为以点为圆心,为半径的圆,由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时,取最大值,此时,连接,过点作于点,过点作于点,证明,得出,,通过证明,得出,,再计算出,,即可求出,则,通过,求出, 可求出,则利用即可求出.
(1)解:∵,,
∴是等边三角形,
∴.
由旋转得,
∴,
∴;
(2)解:,理由如下:
如图,连接,,
∵,,
∴,
由旋转知,,
∴,
即,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∵点是的中点,,
∴,
∴,
∴,
∴,
即,
∵点是的中点,,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
即;
(3)解:取中点,中点,连接,,,
∵,,
∴,,,
∴,
∵是中点,
∴,
∴,
由旋转知,,
∴是等边三角形,,
∴,
∴,
∴,
由点为固定点,,得点在过点且垂直于的直线上运动,
由点到直线的最短距离可得,当取最小值时,即垂直于点运动轨迹的直线,
即点和点重合时,最小,
此时如图,
由翻折可知,
∴点的轨迹为以点为圆心,为半径的圆,
由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时,取最大值,
此时如图,连接,过点作于点,过点作于点,
由旋转知,,
∴是等边三角形,
∴,,
∵是等边三角形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∵,,,
∴,,
∴,
∴,,
∴,
∵为中点,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
即,
解得:,
∴,
∵,,
∴.
本题考查全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,直角三角形斜边中线的性质,勾股定理,含角的直角三角形的性质,三角形内角和定理和外角性质,熟练掌握这些性质与判定是解题的关键.
23.(1)
(2)见解析
(3)
(1)如图,连接,,,证明,四边形是菱形,,是等边三角形,可得,进一步可得结论;
(2)如图,连接,由(1)得:,是等边三角形,可得,证明为等边三角形,可得,,证明,可得,再进一步证明即可;
(3)由,,,可得,结合,再利用弧长公式计算即可.
(1)解:如图,连接,,,
∵和相交于两点,且经过的圆心,
∴,,
∴四边形是菱形,,是等边三角形,
∴,
∴.
(2)证明:如图,连接,
由(1)得:,是等边三角形,
∴,
∴,
∵,
∴为等边三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵为半径,
∴为的切线;
(3)解:∵,,,
∴,
∵,
∴上的长.
本题考查的是等边三角形的判定与性质,菱形的判定与性质,切线的判定,等腰三角形的判定与性质,锐角三角函数的应用,弧长的计算,作出合适的辅助线是解本题的关键.
24.(1)见解析
(2)3
(1)连接,先根据等腰三角形的性质可得,再根据圆周角定理可得,从而可得,然后根据圆的切线的判定定理即可得证;
(2)设,则,,再根据相似三角形的判定证出,然后根据相似三角形的性质求出的值,由此即可得出答案.
(1)证明:如图,连接,
,
,
是的直径,
,
,
,
,即,
,
又是的半径,
是的切线.
(2)解:∵,
设,则,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,即,
解得,
∴.
本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点,熟练掌握圆的切线的判定定理和相似三角形的判定定理是解题关键.