专题27解直角三角形与锐角三角函数（38题）（含答案 解析）-【真题汇编】2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）

专题27 解直角三角形与锐角三角函数（38题）
一、单选题
1．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2025·广西·中考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·天津·中考真题）的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东东营·中考真题）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A． B． C． D．
6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ．
8．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）．
9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是 ．
10．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，）
11．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为 ．

12．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号）
13．（2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是 ．
14．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到，参考依据：，，）
15．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米）
16．（2025·四川南充·中考真题）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是 ．
17．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为 ．
18．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
三、解答题
19．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）．
参考数据：，．
20．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低，为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动如图2是他们测量长城第一墩高度的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
21．（2025·湖北·中考真题）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：）
22．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向
14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）．
23．（2025·四川广安·中考真题）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
24．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角．
实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值．
25．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
26．（2025·甘肃·中考真题）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关长城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得．，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）
27．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与的位置关系，并说明理由．
28．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、．
【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一：
方法一：证明，得到，再由可得结论．
方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程．
【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长．
29．（2025·四川泸州·中考真题）计算：．
30．（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________；
【类比探究】
（2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
31．（2025·四川广安·中考真题）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
32．（2025·四川内江·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）．
33．（2025·四川内江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
34．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：．
35．（2025·四川凉山·中考真题）计算：
36．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）
(1)求的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
37．（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
38．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
(1)制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
(2)获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则___________， ___________， ___________（结果保留小数点后两位）．
(3)计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
(4)反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
《专题27 解直角三角形与锐角三角函数（38题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B A D B A
1．D
本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．
解：∵长为10米，斜道长为30米，
∴根据题意得：，
故选：D
2．B
本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．
解：∵在中，，
∴．
故选：B
3．A
本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．
解：
故选：A．
4．D
本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．
直接由正弦的定义即可求解．
解：∵，，
∴在中，，
故选：D．
5．B
本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解．
解：在中，，米，
∴（米），
∴地毯的长度为米．
故选：B．
6．A
本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可．
解：∵，，
∴，
设，则：，
∵平分，，
∴点到的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选：A．
7．
本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，……得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可．
解：根据题意可知：，
，
，
，
……
，
∵点，，作弧为第1条弧，
点，，作弧为第2条弧，
……，
∴组成第2025条弧，
∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为，
∴，
∵，，，，……，,
∴12次操作循环一周，
∵，
∴，
过点作轴于点M，如图所示：
∴，
∴，
，
∴，
∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为．
故答案为：．
8．
本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解．
解：如图，过点作于点，则，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
9．/米
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可．
解：∵坡的斜坡坡度，
∴，而，
即，
解得，， 经检验符合题意，
由勾股定理得，（米），
故答案为：．
10．
如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可．
如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D
由图可得，线段的长与其他的都不相等，
∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，
∴
∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵，
∴．
∴这条线段的长为．
故答案为：．
此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
11．
利用仰角的余弦解答即可．
本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键．
解：根据题意，得，
故答案为：．
12．
本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得．
解：如图，连接，交于点，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
13．①③④
过作，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到，证明，推出为等腰直角三角形，进而得到，进而得到，判断①；延长至点，使，连接，证明，再证明，得到，判断②；设，则：，，将的面积转化为二次函数求最值，判断③；设，得到，在中，由勾股定理，求出的值，判断④即可．
解：过作，交的延长线于点，则：，
∵正方形，边长为4，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，故①正确；
延长至点，使，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；故②错误；
设，则：，，
∴的面积，
∴当时，的面积最大为2；故③正确；
∵，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴点G是线段的中点；故④正确；
故答案为：①③④
本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键．
14．
本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键，过点作，解，求出的长即可．
解：过点作，则：，
在中，，，
∴；
故人字梯顶端离地面的高度是；
故答案为：．
15．
本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
解：过点作于点，则：米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米；
故答案为：．
16．
本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先确定是等边三角形，则，再解直角三角形即可求解．
解：连，由作图可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
17．/
本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于，则，，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵在中，，，．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
如图，取的中点，连接、，作交的延长线于，
，
则，，
∴，，
∴，
∴，
根据三角形三边关系可得：，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
18．/
本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题．
解：如图，作交于，交圆弧于，
由题意：，
设，由，
∴，
∵，为半径，
∴，
在中，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
19．世纪钟建筑的高度约为
本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可．
解：如图，延长与相交于点，
根据题意，可得，
有，，，，，
在Rt中，，
，
在中，，
．
，
．
．
．
答：世纪钟建筑的高度约为．
20．长城第一墩的高度为
本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．设，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程求出的值，再利用，进行求解即可．
解：由题意，得：，，
设，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
答：长城第一墩的高度为．
21．乙楼的高为
本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解．
解：如图，
由题意得，四边形为矩形，，，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
答：乙楼的高为．
22．(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
(2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解；
（2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解．
（1）解：如图，过点作于点，
设，
依题意，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
小时分钟，
从14：30，经过分钟是，在之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．
23．无人机从A点到B点的上升高度为
本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键．
解：由题意得：，，，．
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为．
24．
本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解．
解：由题意得，四边形，四边形为矩形，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：校徽的高度为．
25．无人机离湖面的高度为米
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点作于点，设，根据题意得出，，在中，根据，列出方程，解方程，即可求解．
解：如图，过点作于点，
依题意
设，
在中，
∴，
∵
∴，
在中，
∴
解得：
答：无人机离湖面的高度为米
26．长城第一墩的高度为
本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．设，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程求出的值，再利用，进行求解即可．
解：由题意，得：，，
设，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
答：长城第一墩的高度为．
27．（1），；（2）①；②，理由见解析
本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得；
（2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得；
②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得．
解：（1）∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
∴．
（2）①如图，过点作，垂足为，
中，，
．
中，．
∴，
．
②，理由如下：
∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
28．（1），（2）见解析（3）或4
（1）根据折叠的性质，折痕为角平分线，结合平行线的性质，得到，猜想；
（2）根据题干给定的2种方法进行证明即可；
（3）设，则，，勾股定理求出，①当 ，根据平行线的判定和性质，以及三角形的外角的性质，推出，进而得到，证明，得到，列出比例式，进行求解即可．②当时，可得，利用三角函数列方程求解即可
解：（1）由折叠可知，．
由矩形的性质，可知，
．
．
．
智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为；
（2）法一：∵矩形，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，即：，，
由（1）知：
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
法二：作交于点G，则：，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作交于点G，则：，
由（2）可知：，，，
∴，
设，则：，，
∴，
如图，当，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，，
∴，即：，
∴，
解得：或（舍去）；
故．
当时，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，即，解得：，
∴
本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．
29．
本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案．
解：
．
30．（1）；（2）；（3）
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据思路一：构造与全等，从而得出是等腰直角三角形，即可与的数量关系；
（2）在射线上截取，连接，过点作于点，同（1）得，则，，可得，根据，即可求解；
（3）同（2）的方法，即可求解．
（1）
如图2，在射线上截取，连接，
∵，
∴
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
故答案为：．
（2）解：正五边形的一个内角为
如图4，在射线上截取，连接，过点作于点
同理可得，
∴，
∴
∵，，
∴
∴
∴；
（3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点
同理可得
∴
∴
∵
∴
∴即
故答案为：．
31．（1）；（2），
本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，零指数幂，实数的运算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
解：（1）原式
；
（2）
，
当时，原式．
32．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案．
解；设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：桥塔的高度为．
33．（1）7；（2）3
本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，同分母的分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别计算零指数幂，化简绝对值，计算算术平方根以及代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可；
（2）根据同分母的分式减法运算法则计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
34．3
本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
解：
35．
本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
分别计算零指数幂和负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
解：
．
36．(1)千米
(2)千米
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长；
（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。
（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴千米，
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
37．校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可．
解：由题意，得：，米，
在中，米；
在中，米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
38．(1)见解析
(2)，，
(3)50米
(4)见解析
本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）根据正切的定义计算即可得解；
（3）延长交于，延长交于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得米，，，，设米，则米，解直角三角形得出，求出米，米，再解直角三角形得出米，即可得解；
（4）结合题意提出合理的建议即可．
（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵在中，，，，，
∴；
∵，，，，
∴，，
∵在中，，，，，
∴；
∵，，，
∴，
∵在中，，，，，
∴；
（3）解：如图，延长交于，延长交于，
，
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
由题意可得：米，，，，
设米，则米，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴米，米，
∵，
∴米，
∴米，
即该塔高度为米；
（4）解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．