2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷人教A版2019
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷人教A版2019 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-01 14:30:38 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高一数学
下学期期末模拟卷人教A版2019
一、单选题
1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下：
162 162 163 165 165 165 165 167 167 167
168 168 170 170 171 173 175 175 178 178
则这20名队员身高的第75百分位数为（ ）
A．171 B．172 C．173 D．174
4．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
8．某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线
C．与平行 D．直线与共面
10．某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下，
甲：118，120，135，133，147，141；
乙：117，126，119，127，119，129．
则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差
B．甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数
C．甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值
D．甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定
11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．在锐角中，不等式恒成立
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．若，且，则是等边三角形
D．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是
三、填空题
12．若，则的最大值为 ．
13．某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为 ．
14．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.
四、解答题
15．设复数，m为实数.
(1)当m为何值时，z是纯虚数；
(2)若，求的值；
16．一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.
(1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率；
(2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立.
17．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
(1)求角A的大小；
(2)若_____，求面积的取值范围.
18．2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.
(1)求证：平面平面；
(2)试作出二面角，并求二面角的正切值；
(3)点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D B B A B BD ABC
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】利用复数的除法运算和虚部概念即可求解.
【详解】由，则它的虚部是，
故选：D.
2．B
【分析】先由从部门抽取员工6名列方程求出，再根据分层抽样的定义可求得结果.
【详解】由题意得，解得，
所以从部门抽取员工的数量为.
故选：B
3．B
【分析】根据给定条件结合百分位数的求解步骤求解即得.
【详解】由，得这20名队员身高的第75百分位数为.
故选：B.
4．D
【分析】根据条件，得出甲、乙两个元件的故障情况，即可得出结果.
【详解】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障，
即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生.
故选：D.
5．B
【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求出，结合投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意知，，
所以在上的投影向量为.
故选：B
6．B
【分析】利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可.
【详解】由得，
即，
即，
所以，
在中，，所以，，
即的形状为直角三角形.
故选：B.
7．A
【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解.
【详解】取中点为，连接，显然，
所以
.
故选：A
8．B
【分析】结合圆台和球的结构特征根据圆台的轴截面图，利用勾股定理用表示圆台的高，再利用圆台体积建立的方程，解出再求出球的半径即可得球的体积.
【详解】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，
因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切，
则圆台内切球的球心O在的中点处，
设球O与母线切于M点，
所以，且，，
则，
同理，所以，
过A作，垂足为G，
则，
所以，
，即圆台的高为，
该圆台的体积为，
解得，
则球的直径，半径为，
则球的体积为.
故选：B.
9．BD
【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D.
【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上，
A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误；
对于B，三点在平面内，不在直线上，
M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确；
对于C，取的中点E，连接，又N为的中点，
则有，，
所以四边形是平行四边形，所以，
，则与不平行，故C错误；
对于D，连接，
因为M，N分别为棱的中点，
所以， 由正方体的性质可知：，
所以，则有四点共面，
所以直线与共面，故D正确.
故选：BD.
10．ABC
【分析】根据一组数据的极差、中位数、平均数与方差的概念和计算公式，计算分析即可判断.
【详解】对于A，甲同学得分的极差为，乙同学得分的极差为，
甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差，故A正确；
对于B，甲的数据从小到大排列后，处于中间的数是133，135，所以甲得分的中位数是134，
同理求得乙得分的中位数是122.5，因此甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数，故B正确；
对于C，甲同学得分的平均值为，
乙同学得分的平均值为，
故甲同学得分的平均值大于乙得分的平均值，故C正确：
对于D，分别计算甲、乙两个得分的方差，方差小的成绩更稳定．
甲的方差为：，
乙的方差为：，
因为乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D不正确.
故选：ABC．
11．ACD
【分析】对于A，在为锐角三角形的前提下，得到的关系，再借助正弦函数在单调性及诱导公式，即可判断；对于B，由有两解必须满足，从而求出的范围即可判断；对于C，借助向量数量积的定义化简条件中的两个式子即可判断；对于D，设的中点为，借助向量加减法的三角形法则及向量共线定理化简，得到，从而确定点位置，即可判断与面积即之比.
【详解】对于选项A，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故A正确；
对于选项B，如图，若有两解，则，
所以，即b的取值范围是，故B错误；
对于选项C，，由，
所以，因为，可得，
又由，可得，
所以是等边三角形，故C正确；
对于选项D，
由可得，
即，化简得，
即，即，
设的中点为，则有，
所以点在的中位线所在直线上，则点和点到直线的距离之比为，
所以，故选项D正确.
故选：ACD
12．
【分析】设，根据复数模长的几何意义，将题意转化为圆上的点到的距离，进而可得结果.
【详解】设，则，
因为表示以为圆心，为半径的圆，
所以可理解为圆上的点到的距离，
故的最大值为．
故答案为：.
13．
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.
【详解】依题意，，，，
∴（分），
∴全班学生的平均成绩为分．
全班学生成绩的方差为
故答案为：
14．90
【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出.
【详解】中，，，则，
由图可知，，
则，
中，由正弦定理，得，
中，（米），
故答案为：90.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义，实部为且虚部不为来确定的值；
（2）先将代入，再根据复数模的计算公式求出.
【详解】（1）已知是纯虚数，根据纯虚数的定义可得.
解方程，得或.
解不等式，得且.
综合以上两个条件，可得.
（2）将代入，可得：
.
根据复数模的计算公式可得：.
16．(1)；
(2)事件与事件不独立.
【分析】（1）根据题意，利用列举法求得样本空间的总数，得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求得样本空间的总数，分别得出事件与事件所包含基本事件的个数，以及，利用古典摡型的概率计算公式，结合，即可得到答案.
【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质，
由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点，
其中事件，共5个样本点，故，
所以，摸出两球标号互质的概率为.
（2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为：
，共12个样本点，
其中第一次摸出球的标号小于，可得，
第二次摸出球的标号小于，可得，
所以，则，，
所以，所以事件与事件不独立.
17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将边化为角，结合两角和的正弦公式化简即可；
（2）若选①，则由正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换及三角函数图象可求范围；若选②，则由正弦定理将边化成角，结合正切函数的图象即可求解范围.
【详解】（1）∵
，
∵，∴，∴，
∵，∴
（2）若选①；
由正弦定理可知：，
，
又因为锐角三角形，所以，
所以，，
故；
若选②，由正弦定理可知，
，
又因为锐角三角形，所以，，
.
18．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得
（2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解；
（3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可.
【详解】（1）由图得，
解之可得；
（2）根据题意知，
，，
设第百分位数为，所以，
，解之可得，
故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为.
（3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为，
且两组的频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为
，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为.
19．(1)证明见解析
(2)作图见解析，
(3)
【分析】（1）结合勾股定理，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直；
（2）结合直角三角形边长可确定为等边三角形，取中点可得底面，再过点作于点，结合线线垂直可证线面垂直，进而可得二面角的平面角，进而确定二面角正切值；
（3）（法一）作平面，可得，，共线，再在平面作交于点，可得平面，设线交线于点，则，进而可证平面，即可得，易知，因为，所以与平面所成的最大角的正弦值为；
（法二）过点作交于点，连接，.设，，，可得.又，，，于是.
【详解】（1），，
则，
；
又，，、平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）侧棱，点为中点，
，
又，
为正三角形，取中点，则，，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
过点作交延长线于点，连接，.
平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，又平面，，
根据定义，即为二面角的平面角.
，
.
（3）（法一）作平面，
则，为在平面内的射影，所以点，，共线，
再在平面作交于点，
又，，、平面，
平面，
设线交线于点，则，
又，，、平面，
平面，平面，得，
，，
又因为，
所以与平面所成的最大角的正弦值为，
当点为线与的交点时取到最大角；
（法二）过点作交于点，连接，.
设，，，
则，，
从而.
，
，，
于是，
当且仅当，即点为与交点时，等号成立.
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2024-2025学年高一数学
下学期期末模拟卷人教A版2019
一、单选题
1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下：
162 162 163 165 165 165 165 167 167 167
168 168 170 170 171 173 175 175 178 178
则这20名队员身高的第75百分位数为（ ）
A．171 B．172 C．173 D．174
4．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
8．某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线
C．与平行 D．直线与共面
10．某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下，
甲：118，120，135，133，147，141；
乙：117，126，119，127，119，129．
则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差
B．甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数
C．甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值
D．甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定
11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．在锐角中，不等式恒成立
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．若，且，则是等边三角形
D．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是
三、填空题
12．若，则的最大值为 ．
13．某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为 ．
14．如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.
四、解答题
15．设复数，m为实数.
(1)当m为何值时，z是纯虚数；
(2)若，求的值；
16．一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.
(1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率；
(2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立.
17．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
(1)求角A的大小；
(2)若_____，求面积的取值范围.
18．2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.
(1)求证：平面平面；
(2)试作出二面角，并求二面角的正切值；
(3)点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D B B A B BD ABC
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】利用复数的除法运算和虚部概念即可求解.
【详解】由，则它的虚部是，
故选：D.
2．B
【分析】先由从部门抽取员工6名列方程求出，再根据分层抽样的定义可求得结果.
【详解】由题意得，解得，
所以从部门抽取员工的数量为.
故选：B
3．B
【分析】根据给定条件结合百分位数的求解步骤求解即得.
【详解】由，得这20名队员身高的第75百分位数为.
故选：B.
4．D
【分析】根据条件，得出甲、乙两个元件的故障情况，即可得出结果.
【详解】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障，
即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生.
故选：D.
5．B
【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求出，结合投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意知，，
所以在上的投影向量为.
故选：B
6．B
【分析】利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可.
【详解】由得，
即，
即，
所以，
在中，，所以，，
即的形状为直角三角形.
故选：B.
7．A
【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解.
【详解】取中点为，连接，显然，
所以
.
故选：A
8．B
【分析】结合圆台和球的结构特征根据圆台的轴截面图，利用勾股定理用表示圆台的高，再利用圆台体积建立的方程，解出再求出球的半径即可得球的体积.
【详解】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，
因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切，
则圆台内切球的球心O在的中点处，
设球O与母线切于M点，
所以，且，，
则，
同理，所以，
过A作，垂足为G，
则，
所以，
，即圆台的高为，
该圆台的体积为，
解得，
则球的直径，半径为，
则球的体积为.
故选：B.
9．BD
【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D.
【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上，
A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误；
对于B，三点在平面内，不在直线上，
M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确；
对于C，取的中点E，连接，又N为的中点，
则有，，
所以四边形是平行四边形，所以，
，则与不平行，故C错误；
对于D，连接，
因为M，N分别为棱的中点，
所以， 由正方体的性质可知：，
所以，则有四点共面，
所以直线与共面，故D正确.
故选：BD.
10．ABC
【分析】根据一组数据的极差、中位数、平均数与方差的概念和计算公式，计算分析即可判断.
【详解】对于A，甲同学得分的极差为，乙同学得分的极差为，
甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差，故A正确；
对于B，甲的数据从小到大排列后，处于中间的数是133，135，所以甲得分的中位数是134，
同理求得乙得分的中位数是122.5，因此甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数，故B正确；
对于C，甲同学得分的平均值为，
乙同学得分的平均值为，
故甲同学得分的平均值大于乙得分的平均值，故C正确：
对于D，分别计算甲、乙两个得分的方差，方差小的成绩更稳定．
甲的方差为：，
乙的方差为：，
因为乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D不正确.
故选：ABC．
11．ACD
【分析】对于A，在为锐角三角形的前提下，得到的关系，再借助正弦函数在单调性及诱导公式，即可判断；对于B，由有两解必须满足，从而求出的范围即可判断；对于C，借助向量数量积的定义化简条件中的两个式子即可判断；对于D，设的中点为，借助向量加减法的三角形法则及向量共线定理化简，得到，从而确定点位置，即可判断与面积即之比.
【详解】对于选项A，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故A正确；
对于选项B，如图，若有两解，则，
所以，即b的取值范围是，故B错误；
对于选项C，，由，
所以，因为，可得，
又由，可得，
所以是等边三角形，故C正确；
对于选项D，
由可得，
即，化简得，
即，即，
设的中点为，则有，
所以点在的中位线所在直线上，则点和点到直线的距离之比为，
所以，故选项D正确.
故选：ACD
12．
【分析】设，根据复数模长的几何意义，将题意转化为圆上的点到的距离，进而可得结果.
【详解】设，则，
因为表示以为圆心，为半径的圆，
所以可理解为圆上的点到的距离，
故的最大值为．
故答案为：.
13．
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.
【详解】依题意，，，，
∴（分），
∴全班学生的平均成绩为分．
全班学生成绩的方差为
故答案为：
14．90
【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出.
【详解】中，，，则，
由图可知，，
则，
中，由正弦定理，得，
中，（米），
故答案为：90.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义，实部为且虚部不为来确定的值；
（2）先将代入，再根据复数模的计算公式求出.
【详解】（1）已知是纯虚数，根据纯虚数的定义可得.
解方程，得或.
解不等式，得且.
综合以上两个条件，可得.
（2）将代入，可得：
.
根据复数模的计算公式可得：.
16．(1)；
(2)事件与事件不独立.
【分析】（1）根据题意，利用列举法求得样本空间的总数，得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求得样本空间的总数，分别得出事件与事件所包含基本事件的个数，以及，利用古典摡型的概率计算公式，结合，即可得到答案.
【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质，
由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点，
其中事件，共5个样本点，故，
所以，摸出两球标号互质的概率为.
（2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为：
，共12个样本点，
其中第一次摸出球的标号小于，可得，
第二次摸出球的标号小于，可得，
所以，则，，
所以，所以事件与事件不独立.
17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将边化为角，结合两角和的正弦公式化简即可；
（2）若选①，则由正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换及三角函数图象可求范围；若选②，则由正弦定理将边化成角，结合正切函数的图象即可求解范围.
【详解】（1）∵
，
∵，∴，∴，
∵，∴
（2）若选①；
由正弦定理可知：，
，
又因为锐角三角形，所以，
所以，，
故；
若选②，由正弦定理可知，
，
又因为锐角三角形，所以，，
.
18．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得
（2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解；
（3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可.
【详解】（1）由图得，
解之可得；
（2）根据题意知，
，，
设第百分位数为，所以，
，解之可得，
故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为.
（3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为，
且两组的频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为
，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为.
19．(1)证明见解析
(2)作图见解析，
(3)
【分析】（1）结合勾股定理，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直；
（2）结合直角三角形边长可确定为等边三角形，取中点可得底面，再过点作于点，结合线线垂直可证线面垂直，进而可得二面角的平面角，进而确定二面角正切值；
（3）（法一）作平面，可得，，共线，再在平面作交于点，可得平面，设线交线于点，则，进而可证平面，即可得，易知，因为，所以与平面所成的最大角的正弦值为；
（法二）过点作交于点，连接，.设，，，可得.又，，，于是.
【详解】（1），，
则，
；
又，，、平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）侧棱，点为中点，
，
又，
为正三角形，取中点，则，，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
过点作交延长线于点，连接，.
平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，又平面，，
根据定义，即为二面角的平面角.
，
.
（3）（法一）作平面，
则，为在平面内的射影，所以点，，共线，
再在平面作交于点，
又，，、平面，
平面，
设线交线于点，则，
又，，、平面，
平面，平面，得，
，，
又因为，
所以与平面所成的最大角的正弦值为，
当点为线与的交点时取到最大角；
（法二）过点作交于点，连接，.
设，，，
则，，
从而.
，
，，
于是，
当且仅当，即点为与交点时，等号成立.
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