等式性质与不等式性质典型考点闯关练 2026年高考数学复习备考

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等式性质与不等式性质典型考点闯关练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，则（ ）
A． B．
C． D．
8．设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
二、多选题
10．设，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知实数,满足,,，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．若实数，且，则的取值范围是 .
14．已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是 ．
15．已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个．
16．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ．
四、解答题
17．已知函数，满足，则的取值范围为？
18．已知．证明：
(1)当时，；
(2)．
19．已知函数，且，.求证：
(1)且
(2)函数在内至少有一个零点．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D C B A B B ABC
题号 11 12
答案 AC AD
1．D
【分析】对于A、B、C三个选项都可以用特殊值代入否定答案判断，对于D选项，利用指数函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，令，则，A错误；
对于B，令，则，B错误；
对于C，令，则，C错误；
对于D，单调递减，则时，成立，D正确.
故选：D.
2．C
【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.
【详解】由，故，故，
由对勾函数性质可得，
，且，
综上所述，有.
故选：C.
3．D
【分析】化简，对照条件的定义可得答案.
【详解】不等式，等价于，
因为，所以，显然，不一定得出；
也不一定得出.
故选：D
4．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
5．C
【分析】根据在上单调递增比较和的大小，根据和的大小比较和的大小，根据在上单调递减比较与的大小，根据与的大小比较和的大小.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，
又，所以，又因为函数在上单调递减，
所以，因为，
所以，综上，.
故选：C.
6．B
【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可.
【详解】由题可知：对于任意，总存在，
使得，
所以的取值范围是的子集即可，
，
注意到，
，
因为，所以
故选：B
7．A
【分析】构造函数，利用函数单调性确定大小，通过作差，判断正负即可确定大小即可.
【详解】设，则令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
，则，
又，得，
所以，
故选：A
8．B
【分析】根据题意进行转化，利用完全平方式的性质即可得解.
【详解】由可得：
，
当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
9．B
【详解】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以 ，所以选B.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
10．ABC
【分析】根据给定的正实数条件，利用不等式性质，结合选项的条件推理判断ABD；令，借助辅助角公式及三角函数性质求解判断C.
【详解】对于A，由，得，而，则，
因此，即，于是，A正确；
对于B，由，得，即，
又，B正确；
对于C，令，则，
其中锐角满足，显然，
因此当时，，C正确；
对于D，由，得，，，
当，即时，，即，D错误.
故选：ABC
11．AC
【分析】先由对数函数的单调性得，利用作差法即可判断AB，构造函数即可判断C，构造函数，利用导数研究单调性即可判断D.
【详解】因为在为增函数，由有，
对于A：由，因为，所以，故A正确；
对于B：由，当时，，即，故B错误；
对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确；
对于D：令，则，由有，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，故D错误.
故选：AC.
12．AD
【分析】通过对已知不等式进行变形，构造函数，利用函数的单调性得出，进而推导各选项的正确性.
【详解】对不等式进行变形化简得：，
设.
求导得：.
所以函数在上单调递增.
由，且函数单调递增，可得，即.
对于选项A：
因为，所以平方可得即.A正确.
对于选项B：
取反例，当时，，满足题意.
而，所以B错误.
对于选项C：
取反例，当时，
计算选项C的左边为，右边，
此时，C错误.
对于选项D：
令，求导得，可以看出该导数在上小于0.
所以在上单调递减，所以.
因为，所以，所以.
由前面可知，所以，所以选项D正确.
故选：AD.
13．
【分析】先得到，并根据得到，从而求出.
【详解】因为，故，
由得，解得，
故.
故答案为：
14．
【分析】利用不等式的性质将原不等式化成，结合条件，进一步化成，即可比较大小.
【详解】由可得，
即，
因，，则有，
故得：，
由可得，由可得，
于是有．
故答案为：.
15．3
【分析】根据所给条件组合不同命题，结合不等式性质判断各命题的真假即可.
【详解】若，，则，
因为，，所以不等式两边同时除以ab，得，即，
所以，由，，可得成立；
若，，则．
因为，，所以，即，
所以，由，，可得成立；
若，，则．
因为，所以．
因为，所以，所以，
所以，由，，可得成立，
所以组成的3个命题都是真命题．
故答案为：3
16．2
【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解.
【详解】若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于等于2，
所以，又当，时，，
所以的最大值为2．
若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于2，
所以．
综上，的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
17．
【分析】由条件得，再利用待定系数法表示，
根据不等式的性质，即可求解.
【详解】由得，，
设，则，解得，
所以，由，可得
所以，则可得.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得，再根据不等式的性质结合一元二次不等式的解法即可得证；
（2）由，得，再结合基本不等式即可得证.
【详解】（1）证明：由，
等式两边同时除以，得，
当时，，所以，
所以，得，又，所以；
（2）证明：由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由、推出、，分、、讨论可得答案；
（2）分、、讨论可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，
∵，∴.
若，则；
若，则，，不成立；
若，则，，不成立．
综上，且；
（2），，，
当时，，，
∴在内至少有一个零点；
当时，，，，
∴在内至少有一个零点；
当时，，，，
，
∴在内至少有一个零点．
综上，函数在内至少有一个零点．
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