基本不等式及其应用典型考点闯关练 2026年高考数学复习备考

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基本不等式及其应用典型考点闯关练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
2．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
3．已知，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则 的最大值为（ ）
A． B．15 C． D．
二、多选题
7．已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．的最大值为12 D．的最小值为4
9．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最小值为 -1
C．的最小值为 12 D． 的最小值为
三、填空题
10．若直线过点，则的最小值为 ．
11．已知正数，满足，若，则 ．
12．已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ．
13．在中，内角、、所对的边分别是、、，若，且，则的最小值为 ．
14．若随机变量，且，，则的最小值为
15．设随机变量服从正态分布，则的最小值为 ．
16．已知正数a，b满足，则的最小值为 .
四、解答题
17．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
18．若，且
(1)求ab的取值范围；
(2)求的最小值，以及此时对应的a的值．
19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若外接圆的半径为1，求面积的最大值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D C C B D C AC BD ABD
1．D
【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以设，故，
即，
又，
故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
故选：D
2．C
【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：
设椭圆和双曲线的方程分别为：，，
由题意得，
设，则，
解得，
在中，由余弦定理得：，
即，化简得，
则，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故选：C
3．C
【分析】A选项，根据的妙用进行求解；B选项，对原条件直接使用基本不等式，即可求解；C选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数知识解决；D选项，结合B选项的分析可解决.
【详解】因为，所以，
对于A项：，
当且仅当时取得等号，从而在，时，故A错误；
对于B项：因为，所以，
，当时取得等号，此时，故B错误；
对于C项：因为，所以，所以，
于是等价于，等价于，
构造函数，，
所以在上单调递增；
所以恒成立，所以不等式成立，故C正确；
对于D项：根据B选项的分析，，
则，即，
当时取得等号，此时，故D错误.
故选：C
4．B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．D
【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.
【详解】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
6．C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】
,
,
当即当时取得等号，
所以，
故选：C.
7．AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
8．BD
【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断即可.
【详解】因为，所以，
又，
因为、、三点共线，所以，
又，为正实数，所以，
当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
9．ABD
【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确.
【详解】由，可得，
对于A中，令，则且，
可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
可得，所以，所以A正确；
对于B中，由，可得，
则，
当且仅当时，取得最小值，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确；
对于D中，由，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ABD.
10．8
【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】解：因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
11．6
【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.
【详解】由题意，由，得，
即，故．
又，所以，
当且仅当即时，等号成立，
此时，解得或，则，
所以.
故答案为：.
12．
【分析】设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，可得，利用等差数列的前n项和公式化简，然后利用基本不等式求出最值即可.
【详解】令的公差为，成等比数列，
，，，．
，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：
13．
【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由三角形的面积公式化简得出，结合余弦定理可得出，利用余弦定理可求得的最小值.
【详解】由及正弦定理可得，
，
因为、，所以，，所以．
因为，则，所以，
把代入，得，
化简得，
由基本不等式可得，即，
解得或，
因为，所以，解得，
所以，所以，
当且仅当时，即当时，取最小值．
故答案为：.
14．
【分析】由正态分布性质知正态分布曲线关于对称，故，使用基本不等式可求的最小值.
【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，，
则，又，故，
则
,
当且仅当，即取等号.
故答案为：.
15．/0.125
【分析】首先利用正态分布的性质求出，再利用基本不等式解最小值即可.
【详解】由题意可知，正态曲线关于对称，所以，
又，所以，
因为，得，
得，等号成立时，，
所以的最小值为.
故答案为：
16．
【分析】由题意得，通过换元结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，解得，
所以，令，
则，
等号成立当且仅当，此时，，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．(1)；
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元
【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润；
（2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润．
【详解】（1）当时，；
当时，，
．
（2）若，当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，
最大利润是1680万元．
18．(1)
(2)的最小值为13，此时.
【分析】（1）由已知结合基本不等式求解；（2）由已知可利用表示，代入所求式子后进行分离，然后结合基本不等式可求．
【详解】（1），当且仅当时取等号，
，解得或（舍），故.
则ab的取值范围为.
（2）若，且，
，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为13，此时.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边可得，再由余弦定理求解即可.
（2）由正弦定理求出，再由余弦定理和基本不等式求出，最后由三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理可得，
整理得，
∴，
∵，∴．
（2）∵外接圆的半径为1，
∴，得，∴，
又，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
即面积的最大值为
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