集合典型考点闯关练 2026年高考数学复习备考

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集合典型考点闯关练
2026年高考数学复习备考
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知集合，则的子集的个数为（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
10．已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，，且，则实数n的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．
12．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数个
二、填空题
13．已知集合，，则集合的子集个数为 ．
14．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
15．若，则实数的一个取值为 .
16．对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件 “若，则”且，给出下列命题:
①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有；
③存在符合题设条件的集合M，P，使得；
④存在符合题设条件的集合M，P，使得.
其中所有正确命题的序号是 .
17．已知非空数集满足：
（i），有；
（ii），有；
（iii）且，有，
则称是的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若，则是的“理想子集”；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则；
③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”；
④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
18．设为全集，集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
19．已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，，写出所有可能的集合；
(2)若，，且是12的倍数，求集合的个数；
(3)若；证明：存在非空集合，使得是的倍数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A D C A C D D
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为，所以，
故选：D.
2．D
【分析】求出集合M，再根据并集概念计算.
【详解】解：由 ，
所以
故选： D
3．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
4．A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
5．D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
6．C
【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以．
7．A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
8．C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
9．D
【分析】根据集合并集的概念与运算，求得，进而求得其子集的个数，得到答案.
【详解】因为，所以，
所以的子集的个数为.
故选：D.
10．D
【分析】利用集合的并集运算，即可判断参数取值范围.
【详解】由已知解得：，
因为
所以．
故选：D．
11．C
【分析】由题意得，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.
【详解】由题意，所以，而，即，
所以或，解得或满足题意.
故选：C.
12．C
【分析】联立与，看方程组的解的个数即可得解.
【详解】联立与，解得或，
所以，即中元素的个数为2.
故选：C.
13．8
【分析】先求出集合，再结合子集的定义求解即可.
【详解】由，
则，
所以集合的子集个数为.
故答案为：8.
14．
【分析】把转化为，借助数轴即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
15．（答案不唯一）
【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式的解集为的子集即可满足题意.
【详解】因为，
且当时，即时，，
当时，即时，才有可能使得，
所以的解集为的子集，
则，所以，所以实数的一个取值可以为.
故答案为:
16．
【分析】由题意知，中元素为不大于中所有值的数的集合，由于四个命题对任意符合条件的集合都满足，故均可用特殊集合来验证即可.
【详解】因为对于非空实数集合，记，
设非空实数集合满足条件 “若，则”且，
则中元素为不大于中所有值的数，即不大于中最小元素的集合，
对于，当集合，则，而，故错误；
对于，由于，假设中最小值为，中最小值为，
则， 因此表示不大于的所有数的集合，表示所以不大于的数的集合，
则，故②正确；
对于③，令，则，所以，故③正确；
对于④，令，，则，
所以，故④正确.
故答案为：.
17．①②④
【分析】根据“理想子集”的定义，结合元素与集合的包含关系逐一判断即可.
【详解】①集合表示所有偶数构成的集合，
所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶数，任意偶数和整数的积仍是偶数，
满足（i）（ii）（iii），故是的“理想子集”，①说法正确；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，
则由“理想子集”的概念可知对任意的有，所以，②说法正确；
③若是的“理想子集”，则，有，，有，
但对于，，不一定有，
例如，，，此时，，，③说法错误；
④若是的“理想子集”，对于显然，有，满足（i），
令，，则，又是的“理想子集”，所以，，
同理由是的“理想子集”可得，
所以，满足（ii）（iii），
所以若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”，④说法正确；
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.本题的关键是理解“理想子集”的概念，结合元素与集合的包含关系求解.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
（2）由已知结合集合的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）由题意可得，
当时，，
所以，
因为，
所以
（2）由（1）知，，
若，即，解得，此时满足；
若，要使，则，解得，
综上，若，所求实数的取值范围为．
19．(1)，，，；
(2)4；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据定义直接写出集合；
（2）由和只有为12或24，直接写出集合，即可得个数．
（3）进行分类讨论，先根据和分类，在时，则是从这个数所取，对个数按和为分组，再取数即可证，对，设，然后在剩下的个数中找到若干个数的和是的倍数，再按这个倍数的奇偶性分类取得集合证得结论成立．
【详解】（1），集合可能为：，，，；
（2）不妨设，则，，
因此或，
时，，
时，，
因此中只能选项一个，中选两个，为，
综上集合有，共有4个；
（3）（1）若，则是从这个数所取，
把这个数分成组，每组中两个数的和为，
从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立；
（2）若，不妨设，
从中任取3个数，，
若与都是的倍数，则，这与矛盾，
所以中任意两个数的差都不是的倍数，不妨设不是倍数，
考虑这个数：，
①若这个数除以的余数各不相同，则必有一个是的倍数，又且均不为，
故存在，使得，
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立；
②若这个数除以的余数中有两个相同，由它们的差是的倍数，又均不为的倍数，
所以存在，使得，
若是偶数，取，，结论成立，
若是奇数，取，，结论成立，
综上，存在非空集合，使得是的倍数．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，关键点是如何找到集合，使得是的倍数．
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