湖北省襄阳随州部分高中2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试卷（含答案）

湖北省襄阳随州部分高中2024—2025学年下学期期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,
则的值为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
2.折纸艺术是我国民间的传统文化,将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使点O落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围是( )
A.[0,1] B.[0,2]
C.[-1,0] D.[-2,0]
3.设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
4.直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,目前受到了广大消费者的追捧,针对这种现状,某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为2 000万元,并在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长12%,则该公司需经过　　　　年其投入资金开始超过7 000万元。( )
(参考数据:lg 1.12≈0.049,lg 2≈0.301,lg 7≈0.845)
A.14 B.13
C.12 D.11
5.若函数f(x)=x2-b(a,b∈R)仅在x=0处有极值,则a的取值范围为( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[2,6] D.[-1,4]
6.有5名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A.120 B.60
C.40 D.30
7.经大量病例调查发现,某病毒检测试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量,对检测结果的准确性有一定影响。已知国外某地该病毒感染率为0.5%,在感染该病毒的条件下,标本检出阳性的概率为99%。若该地全员参加该病毒检测,则该地某市民感染该病毒且标本检出阳性的概率为( )
A.0.495% B.0.940 5%
C.0.99% D.0.999 5%
8.某科研型企业,每年都对应聘入围的大学生进行体检,其中一项重要指标就是身高与体重比,其中每年入围的大学生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)基本都具有线性相关关系,根据今年的一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,50),用最小二乘法建立的经验回归方程为=0.83x-85.71,则下列结论中不正确的是( )
A.y与x正相关
B.经验回归直线过点(,)
C.若应聘大学生身高增加1 cm,则其体重约增加0.83 kg
D.若某应聘大学生身高为170 cm,则可断定其体重必为55.39 kg
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点,则下列结论正确的是( )
A.B1C∥平面A1BD
B.平面A1BD⊥平面AA1C1C
C.直线B1C到平面A1BD的距离是
D.点A1到直线BC的距离是
10.已知函数f(x)=ex,则下列结论正确的是( )
A.曲线y=f(x)的切线斜率可以是1
B.曲线y=f(x)的切线斜率可以是-1
C.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条
D.过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条
11.炎炎夏日,许多城市发出高温预警,凉爽的某市成为众多游客旅游的热门选择。为了解来某市旅游的游客旅行方式与年龄是否有关,随机调查了100名游客,得到如下表格。
零假设H0:旅行方式与年龄没有关联,则下列说法中,正确的有
小于40岁 不小于40岁
自由行 38 19
跟团游 20 23
附:χ2=,其中n=a+b+c+d。
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
( )
A.在选择自由行的游客中随机抽取一名,其小于40岁的概率为
B.在选择自由行的游客中按年龄分层随机抽样抽取6人,再从中随机选取2人做进一步的访谈,则2人中至少有1人不小于40岁的概率为
C.根据α=0.01的独立性检验,推断旅行方式与年龄没有关联,且犯错误概率不超过0.01
D.根据α=0.05的独立性检验,推断旅行方式与年龄有关联,且犯错误概率不超过0.05
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.直线5x+4y-1=0交椭圆C:=1(a>b>0)于M,N两点,设线段MN的中点为P,直线OP的斜率等于,O为坐标原点,则椭圆C的离心率为 。
13.在等差数列{an}中,若a7=,则sin 2a1+cos a1+sin 2a13+cos a13= 。
14.某旅行团查看出游当天的天气情况,某天气预报软件预测出游当天在
12:00~13:00,13:00~14:00,14:00~15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5,0.4,0.6,则该旅行团出游当天在12:00~15:00时间段内降雨的概率为 。(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知点P(1,2),圆C:x2+y2-6y=0。
(1)若直线l过点P且在两坐标轴上截距之和等于0,求直线l的方程;(7分)
(2)设A是圆C上的动点,求(O为坐标原点)的取值范围。(8分)
16.（本小题满分15分）
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上一点,B为准线l上
一点,,|AB|=9。
(1)求C的方程; (7分)
(2)M,N,E(x0,-2)是C上的三点,若kEM+kEN=1,求点E到直线MN距离的最大值。(8分)
17.（本小题满分15分）
已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=2,Sn+1=Sn+4an-3,记bn=log2(an-1)+3。
(1)求数列{bn}的通项公式; (7分)
(2)已知cn=(-1)n+1·,记数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn≥。 (8分)
18.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R)。
(1)讨论f(x)的单调性; (8分)
(2)若f(x)有最大值M,且M≤-a,求a的值。 (8分)
19.（本小题满分16分）
某大学生志愿者协会有6名男同学,4名女同学。在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院。现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)。
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率; (8分)
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望。 (8分)
高二数学试题答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A B A D
二、选择题：
9.答案：ABD 10.答案：AC 11.答案：BD
三、填空题：
12.答案： 13.答案：0 14.答案：0.88
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解　(1)当截距均为0,即直线过原点时,设直线l的方程为y=kx,代入P(1,2),解得k=2,故直线l的方程为2x-y=0;当截距均不为0时,设直线l的方程为=1,代入P(1,2),解得a=-1,故直线l的方程为x-y+1=0。综上所述,所求直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0。
(2)解法一:设A(x,y),满足x2+y2-6y=0,设s=·=x+2y。由
得5y2-2(2s+3)y+s2=0,Δ=4(2s+3)2-20s2≥0,即s2-12s-9≤0,解得6-3
·的取值范围为[6-3,6+3]。
16.（本小题满分15分）
解　(1)因为,所以|AF|=|AB|=3,由,xB=-,xF=,可得xA=p,由抛物线的定义可知,|AF|=p+=3,解得p=2。则C的方程为y2=4x。
(2)因为E(x0,-2)在抛物线C上,所以x0=1,设直线MN的方程为x=ty+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
将x=ty+n代入y2=4x,得y2-4ty-4n=0,则y1+y2=4t,y1y2=-4n,kEM=,
同理kEN=,kEM+kEN==1,整理得,n=-6t+5,则直线MN的方程为x=ty-6t+5,所以直线MN过定点T(5,6)。当ET⊥MN时,点E到直线MN的距离最大,且最大距离为|ET|=,经检验符合题意。
17.（本小题满分15分）
解　(1)由Sn+1=Sn+4an-3,得Sn+1-Sn=4an-3。所以an+1=4an-3,则an+1-1=4(an-1),又a1-1=2-1=1,
所以数列{an-1}是以1为首项,4为公比的等比数列,所以an-1=4n-1=22n-2(n∈N*)。
因为bn=log2(an-1)+3,所以bn=log222n-2+3=2n+1(n∈N*)。
(2)证明:因为cn=(-1)n+1·,所以cn=(-1)n+1·=(-1)n+1·,
所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=,
当n为奇数时,Tn=。当n为偶数时,Tn=,因为Tn递增,
所以Tn≥T2=。综上,Tn≥。
18.（本小题满分16分）
解　(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x>0),当a≤0时,f'(x)>0恒成立,
f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,x∈时,f'(x)>0,f(x)
在上单调递增,x∈时,f'(x)<0,f(x)在上单调递减。
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减。
(2)由(1)知a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最大值,
当a>0时,f(x)max=f=-ln a-1,即M=-ln a-1,由M≤-a,得-ln a-1≤-a,即a-ln a-1≤0。
令g(a)=a-ln a-1(a>0),则g'(a)=1-,当a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)在(0,1)上单调递减;
当a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,g(a)在(1,+∞)上单调递增。所以g(a)min=g(1)=0,即g(a)=a-ln a-1≥0,
所以a-ln a-1=0,故a=1。
19.（本小题满分16分）
解　(1)从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教,包含的样本点个数为,
设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,
事件A包含的样本点个数为,则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为P(A)=。
(2)随机变量X的所有可能取值
为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×。