湖北省襄阳随州部分高中2024-2025学年高一下学期6月期末联考数学试卷（含答案）

湖北省襄阳随州部分高中2024—2025学年下学期期末联考高一数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cos 50°cos 160°-cos 40°sin 160°=( )
A. B. C.- D.-
2.已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=sin B.f(x)=cos
C.f(x)=sin D.f(x)=cos
3.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.以上都不对
4.圆是中华民族传统文化的形态象征,象征着“圆满”和“饱满”,是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾。如图,AB是圆O的一条直径,且|AB|=4,C,D是圆O上的任意两点,|CD|=2,点P在线段CD上,则的取值范围是( )
A.[,2] B.[-1,0] C.[3,4] D.[1,2]
5.如图,何尊是我国西周早期的青铜礼器,其造型浑厚,工艺精美,尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载,何尊还是第一个出现“德”字的器物,证明了周王朝以德治国的理念。何尊可近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体,该几何体的高约为40 cm,上口直径约为28 cm,圆柱的底面直径约为18 cm。取π的近似值为3,经计算得到圆柱的侧面积约为1 296 cm2,则该几何体上部分圆台的体积约为( )
A.6 448 cm3 B.6 548 cm3 C.5 548 cm3 D.5 448 cm3
6.如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC=( )
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶25
7.从500件产品中随机抽取20件进行调查,利用随机数法抽取样本时,先将这500件产品按001,002,003,…,500进行编号,如果从随机数表的第1行第6列开始,从左往右依次选取三个数字,则选出来的第4个个体的编号为( )
1622　7794　3949　5443　5482
1737　9323　7887　3520　9643
8626　3491　6484　4217　5331
5724　5506　8877　0474　4767
A.435 B.482
C.173 D.237
8.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( )
A.中位数　　 B.平均数　　 C.方差　　 D.极差
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若cos x=cos(x+φ),则φ的值可能为( )
A.- B. C. D.
10.欧拉公式exi=cos x+isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥,依据欧拉公式,下列选项正确的是( )
A.复数e2i对应的点位于第二象限
B.为纯虚数
C.复数的模长等于
D.的共轭复数为i
11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则( )
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.点A1与点D到平面AEF的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.设f(θ)=,则f 。
13.已知向量a,b满足|a|=6,b=(-,),且|λa+μb|=0(λμ≠0),则的值为 。
14.某圆柱的侧面展开图是面积为16的正方形,则该圆柱的一个底面圆的面积为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P。
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值。
16.（本小题满分15分）
经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设,(m>0,n>0)。
(1)证明:为定值;
(2)求m+n的最小值。
17.（本小题满分15分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。
18.（本小题满分16分）
如图,四棱锥P ABCD的底面为菱形,∠ABC=,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是线段PB的中点,G,H分别是线段PC上靠近P,C的三等分点。
(1)求证:平面AEG∥平面BDH;
(2)求点A到平面BDH的距离。
19.（本小题满分16分）
某市在全市高中三个年级开展了一次主题为“不负时代,不负韶华,做好社会主义接班人”的演讲比赛。共1 500名学生参与比赛,现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生,并按成绩(单位:分)分成五组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下频率分布直方图,且第五组中高三年级的学生占。
(1)求抽取的200名学生的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值为代表);
(2)若在第五组中,按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人,再从中选取2人组成宣讲组,在校内进行义务宣讲,求这2人都是高三年级学生的概率;
(3)若比赛成绩x>+s(s为样本数据的标准差),则认为成绩优秀,试估计参赛的1 500名学生中成绩优秀的人数。
参考公式:s=(fi是第i组的频率)。参考数据:≈5.5。
高一数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B A D C A
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.答案：AD 10.答案：ABC 11.答案：BCD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.答案： 13.答案： 14.答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解　由角α的终边过点P,得cos α=-,sin α=-,
(1)sin(α+π)=-sin α=。
(2)由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±。由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=。
16.（本小题满分15分）
解　(1)证明:设=a,=b。由题意知
()=(a+b),=nb-ma,a+b,
由P,G,Q三点共线,得存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,从而消去λ,得=3。
(2)由(1),知=3,于是m+n=(m+n)=(2+2)=。
当且仅当m=n=时,m+n取得最小值,最小值为。
17.（本小题满分15分）
解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C=。
又因为C∈(0,π),故C=。
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。
18.（本小题满分16分）
解　(1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接OH,在△PBH中,E,G分别为PB,PH的中点,所以EG∥BH,又EG 平面BDH,BH 平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因为AG,EG 平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。
(2)记点A到平面BDH,点H到平面ABD的距离分别为hA,hH。S△ABD=。因为PA⊥平面ABCD,PA=2,CH=CP,所以hH=。在△PBC中,PB=PC=2,BC=2,所以cos∠PCB=。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cos∠HCB=,则BH=,同理可得DH=。在△BDH中,BH=DH=,BD=2,所以S△BDH=。连接AH,因为VA BDH=VH ABD,所以hA=。
19.（本小题满分16分）
解　(1)抽取的200名学生的平均成绩=55×0.11+65×0.2+75×0.34+85×0.28+95×0.07=75(分)。
(2)由题意可知,第五组中共有200×0.07=14(人)。其中,高三年级的学生有14×=6(人),高一、高二年级的学生有14×=8(人)。按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人,则在高三年级的学生中抽取3人,高一、高二年级的学生中抽取4人。在这7人中选取2人组成宣讲组,共有=21(种)情况。选取的2人都是高三年级学生有=3(种)情况。所以选取的2人都是高三年级学生的概率为。
(3)s2=(55-75)2×0.11+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.34+(85-75)2×0.28+(95-75)2×0.07=120,所以s=≈2×5.5=11。由+s≈86可知,比赛成绩x>86认为成绩优秀,又1 500×[(90-86)×0.028+10×0.007]=273,所以估计参赛的1 500名学生中成绩优秀的人数为273。