广东省深圳市2025年中考真题数学试题(回忆版)
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的
1．（2025·深圳） 节约5吨的水记作+5吨，则浪费2吨水记作（ ）
A．+3吨 B．-2吨 C．+3吨 D．+2吨
2．（2025·深圳） 深圳街头出现了一种智能石墩，不仅能发光，还能无线充电，又能播放视频.网友赞叹，“深圳不愧是科技之都”！则下列说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．主视图和俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（2025·深圳） 鹏鹏是一个历史爱好者，若他从《论语》、《史记》、《孙子兵法》、《资治通鉴》四本书中，随机抽取一本，则抽取的恰好是《孙子兵法》的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳） 如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为( ）
A． B．3 C． D．
5．（2025·深圳） 以下运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·深圳）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°.则入射角∠AON的度数为( ）
A．22° B．32° C．35° D．122°
7．（2025·深圳） 某社区组织居民种树共 60 棵，由于大家积极参加，实际参加植树活动的人数是原计划的2倍，结果每人比原计划少种了3棵树，设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025·深圳） 已知关于x的方程的解为x=1，则a= .
10．（2025·深圳） 深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统，无人机可以按照设计好的飞行轨迹，将快递精准的送达客户.以地面（水平方向）为x轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为y轴，建立平面直角坐标系.无人机现位于P(1，2)的位置，现在桃李的同学们操作无人机向右平移3个单位长度到P'.则P'坐标为 .
11．（2025·深圳）计算： = ．
12．（2025·深圳） 如图所示，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数交于A，B两点，若A的横坐标为1，则B点坐标是 .
13．（2025·深圳） 如图，以矩形ABCD的B为圆心，BC的长为半径作，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE.将线段 CE 绕点 E 顺时针旋转至 EG，点 G 落在上，且点F为 EG 中点.若AF=1，AE=3，则 CB 的长为 .
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．（2025·深圳） 计算：
15．（2025·深圳） 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来.
16．（2025·深圳）某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题，全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） 本次投票共 人参与，其中科技安全所占百分比为 ，请补全条形统计图
（2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想"和“科技故事”打分，分数列表如下
“科技畅想” 10 9 9 3 6 9 10
“科技故事” 9 10 7 8 6 8 8
平均数 中位数 众数
“科技畅想” a b 9
“科技故事” 8 8 c
（3）结合上述信息，班会课应该选择哪个科技主题，并说明理由
17．（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为140元
②购买2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球和购买6个足球花费相同
（1） 上述3个条件选择两2个，请帮助小桃小李求出每个篮球、足球多少钱？
（2） 现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少？
18．（2025·深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD，AD=EC
（1） 证明：四边形AEBD是菱形.
（2）如图2，O是AB上一点，且E、A、D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切与点D，
①求= .
②若AB = 4，求⊙O的半径.
（3） 在(1)的条件下，用尺规作图过D作交BC于F . (保留作图痕迹，不用说明做法)
19．（2025·深圳）【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1） 若开设 3 条安检通道， 安检时间为 x 分钟， 则已入场人数为 (用 x 表示)， 若排队人数为 w， 则 w 与 x 的函数表达式 .
（2）【模型应用】 在(1)的条件下， 当安检时间在几分钟时， 排队人数达到最大值 最大值为多少
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在 10 分钟内 (包含 10 分钟) 减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
20．（2025·深圳） 综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在中，，.此时，四边形ABCD是“双等四边形”， 是“伴随三角形”.
（1）【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，
求：
①AD与BC的位置关系为： ；
② .(填“>”，“<”或“=”)
（2）【方法应用】①如图 4，将 绕点 A 逆时针旋转至，点 D 恰好落在 BC 边上，求证：四边形 ABDE 是双等四边形.
②如图 5，在等腰三角形 ABC 中，，，AB=5，在平面内找一点 D，使四边形 ABCD 是以 为伴随三角形的双等四边形. 若存在，请求出 CD 的长. 若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意知浪费2吨水记作-2吨.
故答案为：B .
【分析】正负数表示相反意义的量知浪费2吨水记作-2吨.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：石墩正面与侧面一相同的，故主视图与左视图相同.
故答案为： A.
【分析】直接观察石墩正面与侧面即可得结论.
3．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机抽取一本书有4种可能，抽到《孙子兵法》有1种情况，故概率P=.
故答案为： C.
【分析】简单事件的总数有4种，而抽到《孙子兵法》的情况有1种，即可得概率.
4．【答案】D
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在△ABC中，sinA=.
故答案为：D .
【分析】直接由正弦的定义求解即可.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对A选项，不是同类项，不可合并，故A错误；
对B选项，，故B正确；
对A选项， ，故C错误；
对A选项，，故D错误；
故答案为： B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、乘方与完全平方公式计算，依次判断即可.
6．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵CB||OA
∴∠AOB=∠CBO=122°
∵∠BON=90°
∴∠AON=∠AOB-∠BON=122°-90°=32°
即∠AON=32°
故答案为： B.
【分析】由两直线平行，内错角相等知∠AOB=∠OBC，结合∠BON=90°，即可得∠AON的度数.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意原计划有x人参加活动，则实际参加活动的人数为2x人，计划每人种树为，实际每人种树为，由此得.
故答案为：A .
【分析】结合题意知实际参加活动人数为2x，分别表示每人种植的棵数，即可列出分式方程.
8．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
9．【答案】4
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得1+a=5，解得a=4.
故答案为： 4.
【分析】直接将方程的解代入方程即可得a的值.
10．【答案】(4，2)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由平移规律可得P'(1+3，2)即（4，2）.
故答案为： (4，2).
【分析】直接由坐标系中点的平移规律：左加右减，即可得出结果.
11．【答案】a﹣1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式=
=a﹣1．
故答案为：a﹣1
【分析】分式化简的基本方法有通分、约分，分子分母出现多项式时看能否分解因式，便于约分.
12．【答案】(-1，-1)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将x=1分别代入正比例函数与反比例函数解析式得y=a=2-a，得a=1，故点A(1，1)
正比例函数与反比例函数都是关于(0，0)对称的函数，故点A、B关于原点对称，故B(-1，-1).
故答案为：(-1，-1) .
【分析】令x=1得a=2-a，即a的值，根据函数的对称性知A、B的对称性，即可得点B的坐标.
13．【答案】6
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念；旋转的性质
【解析】【解答】解：方法一：
由题意可知：
设EC=a，则：CB=a+4，AB=a+3
在中，
由勾股定理得：
方法二：
如图，作，垂足为H，连接AF，
由题意可知：
设，则：
在中，
由勾股定理得：
方法三：
如图，延长DA交于点M，
为直径
直径GM
B为中点
即：
，即：为等腰直角三角形
接下来的思路就比较清晰了
其一可作：作，垂足为N，连接MF
可知：
亦可连接GB，可知：
【分析】方法一：直接可得EF的长度，即可EC的长度，设DE=a，则可知BC和BF的长为a+3，可得CD=AB=4+a，再由勾股定理即可得a的值，即可得BC的长；
方法二：作FH⊥AB于点H，得，FH=3，再设半径为r，由勾股定理得r的值，即可得BC的长；
方法三：作FN⊥AD于点N，得得DN的长为3，即可得BC的长.
14．【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别化简二次根式，去绝对值、求出零次幂和2025次方，再计算加减法即可得结果.
15．【答案】解：解不等式①，得：
解不等式②，得：
所以不等式组的解集为：
在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别计算出不等式的解集可得不等式组的解集，再将解集表示在数轴上.
16．【答案】（1）解：50；20%；补全条形统计图如下，
（2）解：由题意a=，
对科技畅想得分排序有3，6，9，9，9，10，10，共7个分数，第4个数即为中位数，故b=9；
“科技故事”得分中，8出现次数最多，故c=8；
故a、b、c的值分别为8，9，8
（3）解：从极差的角度，科技畅想的得分极差为10-3=7，“科技故事”的得分极差为10-6=4；
选择科技故事主题：理由是该主题极差比较小，最低评分6分，整体来看学生代表们的接受度较高.（该题属于开放试题，言之有理即可）
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；极差
【解析】【解答】解：（1）本次投票人数为：5÷10%=50（人），
科技安全人数为：50-14-5-7-14=10（人），
∴占比为：
补全条形统计图如下，
【分析】(1)由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技安全的人数，再除以总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图；
(2)由题目所给数据可直接算出“科技畅想”得分的平均分；从小到大排序后，可直接得中位数b，观察数据可得众数c；
(3)从极差的角度知科技故事的得分极差小，可选科技故事.
17．【答案】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元
（三个方程组任选一种即可）
解得：
答：每个篮球60元，每个足球50元.
（2）解：设篮球有m个，则足球有(10-m)个
解得：
设购买的总费用是W元
随着m的减小而减小
当m最小值为4时，W最小值为540元
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球和足球的价格，由条件可列3个方程组，解其中一个方程组即可得结果；
(2)设篮球有m个，则足球有10-m个，由题意列不等式可得m的范围，求出费用与m的函数关系，可得当m=4时，费用最少.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形ADCE为平行四边形
又∵，且D为AB中点
∴
∴平行四边形ADCE为菱形.
（2）解：①30°
②设半径为r
∵
∴
∵
∴
解得：
（3）解：方法不唯一(图1作BC中垂线，图2作内错角相等，图3作角分线+等腰出平行)：
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；切线的性质；作图-平行线；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ADCE为菱形.∴
∴
又∵
∴
∴
∵CD切于D
∴
∴
∴
【分析】(1)由，可知四边形ADCE为平行四边形，结合BD=AD可得ADCE为菱形；
(2)①结合菱形性质和切线的性质知∠COD=2∠CAD=2∠OCD，再由直角三角形两锐角互余可得∠ACD的度数；
②设半径为r，得OC=4-r，根据30角所对直角边等于斜边的一半，即可r的值；
(3)可作BC的中垂线，也可作内错角相等，还可作作角分线+等腰出平行.
19．【答案】（1）18x；
（2）解：由(1)知
∴当时，
（3）解：设开了m条通道则：
∴对称轴为
若按照①的方式理解：
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又∵最多开通9条
∴
∵m为正整数
∴m最小值为7
∴最少开7条通道
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1) 平均每条通道每分钟可安检6人，故3条安检通道的入场人数为18x，
排队人数w=y-18x=，即
【分析】(1) 由平均每条通道每分钟可安检6人，可知3条通道x分钟通过的人数；由w=y-18x可得w与x的函数关系；
(2)由(1)中的二次函数关系，可知当x=21时，w取最大值；
(3)设开通m条通道，可得关于m的不等关系，可得m的取值范围，即可得m的最小值.
20．【答案】（1） ；
（2）解：①为旋转得到
令，则，
又
∴四边形ABDE为双等四边形
②作于点H
设，则：
在中，，即，
解得：
ⅰ)当时，
ⅱ)若时，
作于点M
ⅲ)若时，
综上所述：满足条件时，CD=或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)∵AB=AC，AD=CD，∠BAC=∠D
∴∠ACB=，∠CAD=
∴∠ACB=∠CAD
∴AD||BC
∵∠BAC=∠D，∠ACB=∠CAD
∴△ABC~△DAC
∴
∴AC2=DC·BC
【分析】(1)直接由双等四边形的性质适
(2)①结合旋转的性质知，AB=AD，EA=ED，即可得ABDE为双等四边形；
②先解△ABC，求出三边长，再由题意分3种情况讨论，分别求出CD的长即可.
1 / 1广东省深圳市2025年中考真题数学试题(回忆版)
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的
1．（2025·深圳） 节约5吨的水记作+5吨，则浪费2吨水记作（ ）
A．+3吨 B．-2吨 C．+3吨 D．+2吨
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意知浪费2吨水记作-2吨.
故答案为：B .
【分析】正负数表示相反意义的量知浪费2吨水记作-2吨.
2．（2025·深圳） 深圳街头出现了一种智能石墩，不仅能发光，还能无线充电，又能播放视频.网友赞叹，“深圳不愧是科技之都”！则下列说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．主视图和俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：石墩正面与侧面一相同的，故主视图与左视图相同.
故答案为： A.
【分析】直接观察石墩正面与侧面即可得结论.
3．（2025·深圳） 鹏鹏是一个历史爱好者，若他从《论语》、《史记》、《孙子兵法》、《资治通鉴》四本书中，随机抽取一本，则抽取的恰好是《孙子兵法》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机抽取一本书有4种可能，抽到《孙子兵法》有1种情况，故概率P=.
故答案为： C.
【分析】简单事件的总数有4种，而抽到《孙子兵法》的情况有1种，即可得概率.
4．（2025·深圳） 如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为( ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在△ABC中，sinA=.
故答案为：D .
【分析】直接由正弦的定义求解即可.
5．（2025·深圳） 以下运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对A选项，不是同类项，不可合并，故A错误；
对B选项，，故B正确；
对A选项， ，故C错误；
对A选项，，故D错误；
故答案为： B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、乘方与完全平方公式计算，依次判断即可.
6．（2025·深圳）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°.则入射角∠AON的度数为( ）
A．22° B．32° C．35° D．122°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵CB||OA
∴∠AOB=∠CBO=122°
∵∠BON=90°
∴∠AON=∠AOB-∠BON=122°-90°=32°
即∠AON=32°
故答案为： B.
【分析】由两直线平行，内错角相等知∠AOB=∠OBC，结合∠BON=90°，即可得∠AON的度数.
7．（2025·深圳） 某社区组织居民种树共 60 棵，由于大家积极参加，实际参加植树活动的人数是原计划的2倍，结果每人比原计划少种了3棵树，设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意原计划有x人参加活动，则实际参加活动的人数为2x人，计划每人种树为，实际每人种树为，由此得.
故答案为：A .
【分析】结合题意知实际参加活动人数为2x，分别表示每人种植的棵数，即可列出分式方程.
8．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025·深圳） 已知关于x的方程的解为x=1，则a= .
【答案】4
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得1+a=5，解得a=4.
故答案为： 4.
【分析】直接将方程的解代入方程即可得a的值.
10．（2025·深圳） 深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统，无人机可以按照设计好的飞行轨迹，将快递精准的送达客户.以地面（水平方向）为x轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为y轴，建立平面直角坐标系.无人机现位于P(1，2)的位置，现在桃李的同学们操作无人机向右平移3个单位长度到P'.则P'坐标为 .
【答案】(4，2)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由平移规律可得P'(1+3，2)即（4，2）.
故答案为： (4，2).
【分析】直接由坐标系中点的平移规律：左加右减，即可得出结果.
11．（2025·深圳）计算： = ．
【答案】a﹣1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式=
=a﹣1．
故答案为：a﹣1
【分析】分式化简的基本方法有通分、约分，分子分母出现多项式时看能否分解因式，便于约分.
12．（2025·深圳） 如图所示，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数交于A，B两点，若A的横坐标为1，则B点坐标是 .
【答案】(-1，-1)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将x=1分别代入正比例函数与反比例函数解析式得y=a=2-a，得a=1，故点A(1，1)
正比例函数与反比例函数都是关于(0，0)对称的函数，故点A、B关于原点对称，故B(-1，-1).
故答案为：(-1，-1) .
【分析】令x=1得a=2-a，即a的值，根据函数的对称性知A、B的对称性，即可得点B的坐标.
13．（2025·深圳） 如图，以矩形ABCD的B为圆心，BC的长为半径作，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE.将线段 CE 绕点 E 顺时针旋转至 EG，点 G 落在上，且点F为 EG 中点.若AF=1，AE=3，则 CB 的长为 .
【答案】6
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念；旋转的性质
【解析】【解答】解：方法一：
由题意可知：
设EC=a，则：CB=a+4，AB=a+3
在中，
由勾股定理得：
方法二：
如图，作，垂足为H，连接AF，
由题意可知：
设，则：
在中，
由勾股定理得：
方法三：
如图，延长DA交于点M，
为直径
直径GM
B为中点
即：
，即：为等腰直角三角形
接下来的思路就比较清晰了
其一可作：作，垂足为N，连接MF
可知：
亦可连接GB，可知：
【分析】方法一：直接可得EF的长度，即可EC的长度，设DE=a，则可知BC和BF的长为a+3，可得CD=AB=4+a，再由勾股定理即可得a的值，即可得BC的长；
方法二：作FH⊥AB于点H，得，FH=3，再设半径为r，由勾股定理得r的值，即可得BC的长；
方法三：作FN⊥AD于点N，得得DN的长为3，即可得BC的长.
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．（2025·深圳） 计算：
【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别化简二次根式，去绝对值、求出零次幂和2025次方，再计算加减法即可得结果.
15．（2025·深圳） 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来.
【答案】解：解不等式①，得：
解不等式②，得：
所以不等式组的解集为：
在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别计算出不等式的解集可得不等式组的解集，再将解集表示在数轴上.
16．（2025·深圳）某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题，全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） 本次投票共 人参与，其中科技安全所占百分比为 ，请补全条形统计图
（2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想"和“科技故事”打分，分数列表如下
“科技畅想” 10 9 9 3 6 9 10
“科技故事” 9 10 7 8 6 8 8
平均数 中位数 众数
“科技畅想” a b 9
“科技故事” 8 8 c
（3）结合上述信息，班会课应该选择哪个科技主题，并说明理由
【答案】（1）解：50；20%；补全条形统计图如下，
（2）解：由题意a=，
对科技畅想得分排序有3，6，9，9，9，10，10，共7个分数，第4个数即为中位数，故b=9；
“科技故事”得分中，8出现次数最多，故c=8；
故a、b、c的值分别为8，9，8
（3）解：从极差的角度，科技畅想的得分极差为10-3=7，“科技故事”的得分极差为10-6=4；
选择科技故事主题：理由是该主题极差比较小，最低评分6分，整体来看学生代表们的接受度较高.（该题属于开放试题，言之有理即可）
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；极差
【解析】【解答】解：（1）本次投票人数为：5÷10%=50（人），
科技安全人数为：50-14-5-7-14=10（人），
∴占比为：
补全条形统计图如下，
【分析】(1)由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技安全的人数，再除以总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图；
(2)由题目所给数据可直接算出“科技畅想”得分的平均分；从小到大排序后，可直接得中位数b，观察数据可得众数c；
(3)从极差的角度知科技故事的得分极差小，可选科技故事.
17．（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为140元
②购买2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球和购买6个足球花费相同
（1） 上述3个条件选择两2个，请帮助小桃小李求出每个篮球、足球多少钱？
（2） 现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少？
【答案】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元
（三个方程组任选一种即可）
解得：
答：每个篮球60元，每个足球50元.
（2）解：设篮球有m个，则足球有(10-m)个
解得：
设购买的总费用是W元
随着m的减小而减小
当m最小值为4时，W最小值为540元
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球和足球的价格，由条件可列3个方程组，解其中一个方程组即可得结果；
(2)设篮球有m个，则足球有10-m个，由题意列不等式可得m的范围，求出费用与m的函数关系，可得当m=4时，费用最少.
18．（2025·深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD，AD=EC
（1） 证明：四边形AEBD是菱形.
（2）如图2，O是AB上一点，且E、A、D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切与点D，
①求= .
②若AB = 4，求⊙O的半径.
（3） 在(1)的条件下，用尺规作图过D作交BC于F . (保留作图痕迹，不用说明做法)
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形ADCE为平行四边形
又∵，且D为AB中点
∴
∴平行四边形ADCE为菱形.
（2）解：①30°
②设半径为r
∵
∴
∵
∴
解得：
（3）解：方法不唯一(图1作BC中垂线，图2作内错角相等，图3作角分线+等腰出平行)：
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；切线的性质；作图-平行线；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ADCE为菱形.∴
∴
又∵
∴
∴
∵CD切于D
∴
∴
∴
【分析】(1)由，可知四边形ADCE为平行四边形，结合BD=AD可得ADCE为菱形；
(2)①结合菱形性质和切线的性质知∠COD=2∠CAD=2∠OCD，再由直角三角形两锐角互余可得∠ACD的度数；
②设半径为r，得OC=4-r，根据30角所对直角边等于斜边的一半，即可r的值；
(3)可作BC的中垂线，也可作内错角相等，还可作作角分线+等腰出平行.
19．（2025·深圳）【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1） 若开设 3 条安检通道， 安检时间为 x 分钟， 则已入场人数为 (用 x 表示)， 若排队人数为 w， 则 w 与 x 的函数表达式 .
（2）【模型应用】 在(1)的条件下， 当安检时间在几分钟时， 排队人数达到最大值 最大值为多少
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在 10 分钟内 (包含 10 分钟) 减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
【答案】（1）18x；
（2）解：由(1)知
∴当时，
（3）解：设开了m条通道则：
∴对称轴为
若按照①的方式理解：
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又∵最多开通9条
∴
∵m为正整数
∴m最小值为7
∴最少开7条通道
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1) 平均每条通道每分钟可安检6人，故3条安检通道的入场人数为18x，
排队人数w=y-18x=，即
【分析】(1) 由平均每条通道每分钟可安检6人，可知3条通道x分钟通过的人数；由w=y-18x可得w与x的函数关系；
(2)由(1)中的二次函数关系，可知当x=21时，w取最大值；
(3)设开通m条通道，可得关于m的不等关系，可得m的取值范围，即可得m的最小值.
20．（2025·深圳） 综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在中，，.此时，四边形ABCD是“双等四边形”， 是“伴随三角形”.
（1）【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，
求：
①AD与BC的位置关系为： ；
② .(填“>”，“<”或“=”)
（2）【方法应用】①如图 4，将 绕点 A 逆时针旋转至，点 D 恰好落在 BC 边上，求证：四边形 ABDE 是双等四边形.
②如图 5，在等腰三角形 ABC 中，，，AB=5，在平面内找一点 D，使四边形 ABCD 是以 为伴随三角形的双等四边形. 若存在，请求出 CD 的长. 若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；
（2）解：①为旋转得到
令，则，
又
∴四边形ABDE为双等四边形
②作于点H
设，则：
在中，，即，
解得：
ⅰ)当时，
ⅱ)若时，
作于点M
ⅲ)若时，
综上所述：满足条件时，CD=或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)∵AB=AC，AD=CD，∠BAC=∠D
∴∠ACB=，∠CAD=
∴∠ACB=∠CAD
∴AD||BC
∵∠BAC=∠D，∠ACB=∠CAD
∴△ABC~△DAC
∴
∴AC2=DC·BC
【分析】(1)直接由双等四边形的性质适
(2)①结合旋转的性质知，AB=AD，EA=ED，即可得ABDE为双等四边形；
②先解△ABC，求出三边长，再由题意分3种情况讨论，分别求出CD的长即可.
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