(共13张PPT)
第二章 实数
第2课时 算术平方根
1. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就
叫作a的 ，记作 ，读作“ ”.
例：若32＝9，则称3是9的 根，记作 .
2. 特别地，我们规定：0的算术平方根是 ，即 ＝ .
3. 当a≥0时， ＝ ，()2＝ ；当a＜0时， ＝ .
算术平方根
根号a
算术平方
0
0
a
a
－a
知识点1 算术平方根的概念及表示
【例1】填空：
(1)9的算术平方根是 ；
(2) 的算术平方根是 ；
(3)5的算术平方根是 ；
(4)32的算术平方根是 ；
(5)0.01的算术平方根是 .
3
3
0.1
【变式1】填空：
(1)4的算术平方根是 ；
(2)900的算术平方根是 ；
(3) 的算术平方根是 ；
(4)0的算术平方根是 ；
(5)π的算术平方根是 .
2
30
0
知识点2 算术平方根的计算
【例2】填空：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；
(3) ＝ ；
(4) ＝ ；
(5) ＝ ；
(6) 的算术平方根是 ；
(7)－9 算术平方根.(填“有”或“没有”)
20
0.2
5
3
没有
【变式2】填空：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；
(3) ＝ ；
(4) ＝ ；
(5) － ＝ ；
(6) 的算术平方根是 ；
(7) 的算术平方根是 .
10
0.8
4
1
知识点3 算术平方根的实际应用
【例3】(北师教材P32例2)由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)
与下落时间t(单位：s)的关系为s＝4.9t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物
上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将s＝19.6代入s＝4.9t2，得t2＝4，
∴t＝ ＝2.
答：铁球到达地面需要2 s.
解：将s＝19.6代入s＝4.9t2，得t2＝4，
∴t＝ ＝2.
答：铁球到达地面需要2 s.
【变式3】(北师教材P39T16)在某次学校运动会上， 324名学生排成一个
n×n的方阵，每排有多少名学生？
解：由n×n＝324，得n2＝324，
∴n＝ ＝18.
答：每排有18名学生.
解：由n×n＝324，得n2＝324，
∴n＝ ＝18.
答：每排有18名学生.
1. 若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是( D )
A. －1，0或1 B. 1 C. －1或1 D. 0或1
2. 下列说法正确的是 .(填序号)
①3是 的算术平方根； ② ＝－3；
③9的算术平方根是4.5； ④ 的算术平方根是3；
⑤10－4的算术平方根是0.01.
D
⑤
3. 填空：
(1) 的算术平方根是 ； (2) ＋ ＋ ＝ .
4. (北师教材P32T2改编)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，
则AB＝
3
5. 如图是一个数值转换器的程序图.当输入的数x为81时，输出的数y为
( C )
A. 9 B. 3 C. D. ±
C
6. (北师教材P31引入)(1)根据图填空：x2＝ ，y2＝ ，z2
＝ ，w2＝ ；
(2)x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？
2
3
4
5
解：(2)由(1)，得x＝ ，y＝ ，z＝ ＝2，w＝ .
∴z是有理数，x，y，w是无理数.
解：(2)由(1)，得x＝ ，y＝ ，z＝ ＝2，w＝ .
∴z是有理数，x，y，w是无理数.
7. (北师教材P39T18改编)当人站在距地面h km的高处时，肉眼能看到的
地面最远距离为d km，d≈112 . 某人站在900 m的高处，在没有障碍
物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少千米？
解：根据题意，得d≈112× ＝112×30＝3 360(m)＝3.36(km).
答：肉眼能看到的地面最远距离大约是3.36 km.
解：根据题意，得d≈112× ＝112×30＝3 360(m)＝3.36(km).
答：肉眼能看到的地面最远距离大约是3.36 km.
8. (北师教材P32T3)如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子
AC固定帐篷.若绳子的长度为8 m，地面固定点C到帐篷支撑杆底部B的
距离是6.4 m，则帐篷支撑杆的高是多少？
解：在Rt△ABC中，AC＝8 m，BC＝6.4 m，
由勾股定理，得AB＝ ＝4.8 m.
答：帐篷支撑杆的高是4.8 m.
解：在Rt△ABC中，AC＝8 m，BC＝6.4 m，
由勾股定理，得AB＝ ＝4.8 m.
答：帐篷支撑杆的高是4.8 m.(共14张PPT)
第二章 实数
第7课时 二次根式(1)
1. 二次根式的概念：一般地，形如 (a≥0)的式子叫作 ，
a叫作被开方数.
2. 二次根式的乘、除法法则： · ＝ (a≥0，
b≥0)， ＝ (a≥0，b＞0).
二次根式
·
知识点1 二次根式的概念
【例1】下列各式中，一定是二次根式的是( B )
A. B.
C. D.
B
【变式1】下列各式中，一定是二次根式的是( C )
A. B.
C. D.
C
知识点2 二次根式的双重非负性： 有意义 a 0； 表示a
的 根 0
【例2】下列说法错误的是( A )
A. 若 是二次根式，则x＞－1
B. 若m≥0，则 ≥0
C. 是二次根式
D. 若 ＞0，则m＞0
≥
算术平方
≥
A
【变式2】若 有意义，则x的值可以是 .(写出一
个即可) ＝
＝2.
(答案不唯一)3
知识点3 二次根式的计算
【例3】(北师教材P42例1改编)计算：
(1) × ；
解：(1)原式＝
＝
＝2.
(2) × －5； ：(3)原式＝3×2×
＝6×
＝6 .
(3)3 ×2 .
解：(2)原式＝ －5
＝ －5
＝6－5
＝1.
解：(3)原式＝3×2×
＝6×
＝6 .
【变式3】(北师教材P42T1改编)计算：
(1) × ；
解：(1)原式＝
＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝
＝ .
(2) × －21；
解：(2)原式＝ －21
＝20－21
＝－1.
(3)2 ×5 .
解：(3)原式＝2×5×
＝10×
＝10 .
解：(2)原式＝ －21
＝20－21
＝－1.
解：(3)原式＝2×5×
＝10×
＝10 .
【例4】(北师教材P42例2改编)计算：
(1) ；
解：(1)原式＝
＝
＝ ＝3.
解：(1)原式＝
＝
＝ ＝3.
(2) ；
解：(2)原式＝()2＋2 ＋1
＝5＋2 ＋1
＝6＋2 .
(3)(＋3)(－3).
解：(3)原式＝()2－32
＝13－9
＝4.
解：(2)原式＝()2＋2 ＋1
＝5＋2 ＋1
＝6＋2 .
解：(3)原式＝()2－32
＝13－9
＝4.
【变式4】(北师教材P42T1改编)计算：
(1) ；
解：(1)原式＝
＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝
＝ .
(2) ；
解：(2)原式＝ －2×2 ＋1
＝12－4 ＋1
＝13－4 .
(3)(2＋ )(2－ ).
解：(3)原式＝22－()2
＝4－3
＝1.
解：(2)原式＝ －2×2 ＋1
＝12－4 ＋1
＝13－4 .
解：(3)原式＝22－()2
＝4－3
＝1.
【例5】(北师教材P42例2改编)计算：
(1) × ；
解：(1)原式＝ × － ×
＝ －
＝6－1
＝5.
解：(1)原式＝ × － ×
＝ －
＝6－1
＝5.
(2) ；
解：(2)原式＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
＝5.
解：(2)原式＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
＝5.
(3)(1＋ )(2－ ).
解：(3)原式＝1×2－1× ×2－ ×
＝2－ ＋2 －3
＝ －1.
解：(3)原式＝1×2－1× ×2－ ×
＝2－ ＋2 －3
＝ －1.
【变式5】(北师教材P42T1改编)计算：
(1) × ；
解：(1)原式＝ × ＋ ×
＝ ＋
＝4＋1
＝5.
解：(1)原式＝ × ＋ ×
＝ ＋
＝4＋1
＝5.
(2) ；
解：(2)原式＝ －
＝ －
＝ －
＝1.
解：(2)原式＝ －
＝ －
＝ －
＝1.
(3)(2 － )×(3 ＋ ).
解：(3)原式＝2 ×3 ＋2 × － ×3 － ×
＝6 ＋6－6－
＝5 .
解：(3)原式＝2 ×3 ＋2 × － ×3 － ×
＝6 ＋6－6－
＝5 .
1. 若式子 有意义，则实数a的取值范围是 .
2. 计算：
(1)2 ×5 ＝ 10 ；(2) ＝ 7－2 ；
(3)2 × ＝ ；(4) × ＝ － .
a≥0且a≠2
10
7－2
12
－
3. 如图是一个长方形和正方形，计算它们的面积并比较大小.
解：S长方形＝(3 ＋2)×(3 －2)＝ －22＝18－4＝14.
S正方形＝ ＝ －2×2 ＋1＝12－4 ＋1＝13－4 .
∴14＞13－4 .
解：S长方形＝(3 ＋2)×(3 －2)＝ －22＝18－4＝14.
S正方形＝ ＝ －2×2 ＋1＝12－4 ＋1＝13－4 .
∴14＞13－4 .(共14张PPT)
第二章 实数
第8课时 二次根式(2)
1. 将 · ＝ (a≥0，b≥0)等号的左右两边交换，得
到 (a≥0，b≥0)；
将 ＝ (a≥0，b＞0)等号的左右两边交换，得到 ＝
(a≥0，b＞0).
2. 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样
的二次根式，叫作最简二次根式.
3. 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个
二次根式叫作 ，同类二次根式可以合并成一项.
＝ ·
＝
同类二次根式
知识点1 二次根式乘法法则的逆运算
【例1】(北师教材P43例3改编)化简：
(1) ＝ 2 ；(2) ＝ 4 ；
(3) ＝ ；(4) ＝ .
【变式1】化简：
(1) ＝ 3 ；(2) ＝ 5 ；
(3) ＝ ；(4) ＝ .
2
4
12
15
3
5
42
20
【例2】(北师教材P44T1改编)化简：
(1) ＝ ＝ 2 ；
(2) ＝ ＝ 3 ；
(3) ＝ ＝ 4 ；
(4) ＝ ＝ 5 ；
(5) ＝ ＝ 6 .
2
3
4
5
6
【变式2】化简：
(1) ＝ ＝ 2 ；
(2) ＝ ＝ 3 ；
(3) ＝ ＝ 4 ；
(4) ＝ ＝ 5 ；
(5) ＝ ＝ 6 .
2
3
4
5
6
知识点2 二次根式除法法则的逆运算
【例3】(北师教材P43例3改编)化简：
(1) ；
解：(1)原式＝ ＝ .
解：(2)原式＝ ＝ .
解：(1)原式＝ ＝ .
解：(2)原式＝ ＝ .
(2) ；
(3) .
解：(3)原式＝ ＝ .
解：(3)原式＝ ＝ .
【变式3】(北师教材P44T1改编)化简：
(1) ；
解：(1)原式＝ ＝ .
(2) ；
解：(2)原式＝ ＝ ＝ .
(3) .
解：(3)原式＝ ＝ ＝ .
解：(1)原式＝ ＝ .
解：(2)原式＝ ＝ ＝ .
解：(3)原式＝ ＝ ＝ .
知识点3 二次根式的加减运算
【例4】(北师教材P44例5改编)计算：
(1) ＋ ；
解：(1)原式＝4 ＋
＝5 .
解：(2)原式＝ －
＝ .
解：(1)原式＝4 ＋
＝5 .
解：(2)原式＝ －
＝ .
(2) － .
【变式4】计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝3 －2
＝ .
解：(2)原式＝7 －
＝ .
解：(1)原式＝3 －2
＝ .
解：(2)原式＝7 －
＝ .
(2)7 － .
知识点4 二次根式的简单四则运算
【例5】(北师教材P44例5(3))计算：
× .
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝2 ＋3 ＝5 .
【变式5】(北师教材P47T3(4))计算：
× .
解：原式 ＋ ＝ ＋ ＝3 ＋3 .
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝2 ＋3 ＝5 .
解：原式 ＋ ＝ ＋ ＝3 ＋3 .
1. 下列计算正确的是( C )
A. ＝ ＋ B. 3 － ＝3
C. × ＝7 D. ÷ ＝2
2. 下列二次根式中，为最简二次根式的是( A )
A. B. C. D.
C
A
3. 若2 与最简二次根式 是同类二次根式，则a＝ .
4. 若一个长方形的长为5 ＋2 ，宽为5 －2 ，则这个长方形的
周长为 .
2
20
5. 计算：(1) ＋ － ＋ ；
解：(1)原式＝5 ＋2 －3 ＋
＝2 ＋ .
(2) × .
解：(2)原式＝ × ＋ ×
＝ ＋2
＝ .
6. 如图，按此程序计算，若开始输入的n值为 ，则最后输出的结果是
( B )
A. 14 B. 8＋5 C. 16 D. 14＋
B
7. 如图，从一个大正方形中裁去15 cm2和24 cm2的两个小正方形，留下
部分的面积
为 .
12 cm2
8. (北师教材P48T12改编)阅读下列材料，然后解决问题.
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， 之类的式
子，其实我们还可以将其进一步化简，如： ＝ ＝ ； ＝
＝ ＝ －1.
以上这种化简的过程叫作分母有理化.
(1)化简： ＝ ； (2)化简： ＝ － ；
(3)化简： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ；
－
(4) － 和 － 的大小关系为 － － .(填
“＞”“＜”或“＝”)
＜ (共14张PPT)
第二章 实数
第4课时 立方根
1. 一般地，如果一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x就
叫作a的 (也叫作三次方根).每个数a都有 个立方根，记
作 ，读作“三次根号a”.正数的立方根是正数，0的立方根
是 ，负数的立方根是 .
2. 求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数.
3. (1)∵23＝8，∴8的立方根是 ，即 ＝ ；
(2)∵(－2)3＝－8，∴－8的立方根是 ，即 ＝ .
x3＝a
立方根
一
0
负数
2
2
－2
－2
知识点1 立方根的概念及计算
【例1】填空：
(1)1的立方根是 ，－1的立方根是 ；
(2) 的立方根是 ，－ 的立方根是 － ；
(3) ＝ ， ＝ ， ＝ ；
(4) ＝ ， ＝ .
1
－1
－
3
－3
0
0.2
－0.2
【变式1】填空：
(1)1 000的立方根是 ，64的立方根是 ；
(2)343的立方根是 ，－0.216的立方根是 ；
(3) ＝ ， ＝ ；
(4) ＋ ＝ ，－ ＝ － .
10
4
7
－0.6
0.1
1
－
知识点2 立方和开立方互为逆运算：()3＝a， ＝a
【例2】(北师教材P35例6改编)填空：
(1)()3＝ ， ＝ ；
(2)()3＝ ， ＝ .
【变式2】填空：
(1) ＝ ，()3＝ ；
(2)()3＝ ， ＝ － .
5
5
－5
－5
10
－10
π
－
知识点3 利用立方根求值
【例3】求满足下列各式的未知数x.
(1)27x3＝8；
(1)解：x3＝ ，
x＝ ，
x＝ .
(2)解：x－1＝ ，
x－1＝－2，
x＝－1.
(1)解：x3＝ ，
x＝ ，
x＝ .
(2)解：x－1＝ ，
x－1＝－2，
x＝－1.
(2)(x－1)3＝－8.
【变式3】求满足下列各式的未知数x.
(1)64x3＝－1；
(1)解：x3＝－ ，
x＝ ，
x＝－ .
(1)解：x3＝－ ，
x＝ ，
x＝－ .
(2)x3－3＝ .
(2)解：x3＝ ，
x＝ ，
x＝ .
知识点4 立方根的应用
【例4】(北师教材P36T2)一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体
体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
解：设这个正方体的棱长为x cm.
根据题意，得x3＝8×33，
即x3＝23×x3＝(2×3)3，
x＝6.
答：这个正方体的棱长是6 cm.
解：设这个正方体的棱长为x cm.
根据题意，得x3＝8×33，
即x3＝23×x3＝(2×3)3，
x＝6.
答：这个正方体的棱长是6 cm.
【变式4】(北师教材P39T19)快递自取柜某格口尺寸为45 cm×34 cm×29
cm， 现有一个体积为 0.027 m 3 的正方体形的纸箱，能否将该纸箱完全
放入其中？为什么？
解：不能.理由如下：
0.027 m 3＝27 000 cm3.
设该正方体形纸箱的棱长为x cm.
根据题意，得x3＝27 000，x＝30.
∵29＜30，
∴不能将该纸箱完全放入其中.
解：不能.理由如下：
0.027 m 3＝27 000 cm3.
设该正方体形纸箱的棱长为x cm.
根据题意，得x3＝27 000，x＝30.
∵29＜30，
∴不能将该纸箱完全放入其中.
1. 下列各式中，计算正确的是( C )
A. ＝－6 B. ＝±2.5
C. ＝－1 D. ＝±5
2. (北师教材P40T25改编)若一个正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱
长变为原来的 倍.
C
2
3. (易错题)若x2＝(－9)2， ＝－2，则 x＋y的值是 .
4. 已知球体的体积V＝ πr3，若一个球的体积是36π，则它的半径r
为 .
5. 计算： ＋ ＋ －2－1.
解：原式＝1＋ ＋0.5－ ＝1.5.
1或－17
3
解：原式＝1＋ ＋0.5－ ＝1.5.
6. 已知3a－2的平方根是±2，a－2b－4的立方根是－2.
(1)求a，b的值；
解：(1)∵3a－2的平方根是±2，
∴3a－2＝4，解得a＝2.
∵a－2b－4的立方根是－2，
∴a－2b－4＝－8.
∴2－2b－4＝－8，解得b＝3.
解：(1)∵3a－2的平方根是±2，
∴3a－2＝4，解得a＝2.
∵a－2b－4的立方根是－2，
∴a－2b－4＝－8.
∴2－2b－4＝－8，解得b＝3.
(2)求3a＋b的平方根.
解：(2)由(1)，得a＝2，b＝3，
∴3a＋b＝3×2＋3＝9.
∵9的平方根是±3，
∴3a＋b的平方根是±3.
解：(2)由(1)，得a＝2，b＝3，
∴3a＋b＝3×2＋3＝9.
∵9的平方根是±3，
∴3a＋b的平方根是±3.
7. (数学理解)观察下列各式的规律，解决下列问题：
≈0.027 76， ≈0.277 6， ≈2.776.
(1)填空： ≈ ；
(2)按上述规律，数a小数点的移动与它的立方根 的小数点移动间有何
规律？
解：(2)数a的小数点向右(或左)移动3位，则它的立方根 的小数点向
右(或左)移动1位.
27.76
解：(2)数a的小数点向右(或左)移动3位，则它的立方根 的小数点向
右(或左)移动1位.
7. (数学理解)观察下列各式的规律，解决下列问题：
≈0.027 76， ≈0.277 6， ≈2.776.
解：(2)数a的小数点向右(或左)移动3位，则它的立方根 的小数点向
右(或左)移动1位.
(3)已知 ＝1.587，若 ＝－0.158 7，用含x的代数式表示y，则y
＝ ；
(4)试写出当a≥1时， 与a的大小关系.
解：(4)当a＝1时， ＝a；
当a＞1时， ＜a.
－0.001x
解：(4)当a＝1时， ＝a；
当a＞1时， ＜a.(共13张PPT)
第二章 实数
第5课时 估算
由0＜1＜2＜3＜4可得 ＜ ＜ ＜ ＜ ，以下结论错误的
是 .(填序号)
①1＜ ＜2；②1＜ ＜2；③ ＜ ；④ 的整数部分小于 的
整数部分.
④
知识点1 估算一个无理数的近似值
【例1】1.(1)估计 的值在( B )
A. 1和2之间 B. 2和3之间
C. 3和4之间 D. 4和5之间
(2) 的整数部分为 ， 的小数部分为 －2 .
B
2
－2
2. 估算下列各数的大小：
(1) (结果精确到0.1)≈ ；
(2) (结果精确到1)≈ .
3.7
9
【变式1】1.(1)估计 的值介于相邻整数 和 之间；
(2) 的整数部分为 ， 的小数部分为 －2 .
2. 估算下列各数的大小：
(1) (结果精确到0.1)≈ ；
(2) (结果精确到1)≈ .
2
3
2
－2
2.5
5
知识点2 通过估算比较大小
【例2】(北师教材P38T9改编)通过估算，比较下列各组数的大小：
(1) ；
(2) 5；
(3) .
＞
＞
＞
【变式2】通过估算，比较下列各组数的大小：
(1) 4；
(2) 3.1；
(3) .
＜
＞
＜
知识点3 估算的实际应用
【例3】(北师教材P36引入改编)已知一块长方形草地的面积为400 m2，它
的长是宽的2倍.请你估算它的宽为多少？(结果精确到1 m)
解：设这块长方形草块的宽为x m，则它的长为2x m.
根据题意，得x·2x＝400，
x2＝200，
x＝ ≈14.
答：它的宽约为14 m.
解：设这块长方形草块的宽为x m，则它的长为2x m.
根据题意，得x·2x＝400，
x2＝200，
x＝ ≈14.
答：它的宽约为14 m.
【变式3】(北师教材P36例7)生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底
端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.如图，现有一架长度
为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的
距离恰为梯子长度的 .
根据勾股定理，得x2＋ ＝62，
即x2＝32，x＝ .
∵5.62＝31.36，∴ ＞5.6.
答：梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头.
1. 估算 －1的值在( B )
A. 1和2之间 B. 2和3之间
C. 3和4之间 D. 4和5之间
2. 如图，在数轴上表示无理数 的点可能是( C )
A. 点P B. 点Q
C. 点 M D. 点 N
B
C
3. 通过估算，比较下列各组数的大小：
(1) 10； (2)－ －3.5；
(3) .
4. (北师教材P38T8改编)估算：
(1) ≈ (结果精确到1)；(2) ≈ (结果精确到0.1).
＜
＞
＜
6
5.1
5. 已知一个正方形纸片的边长为8 cm，若将此正方形纸片沿边的方向
剪掉一部分，能否剩下一个长、宽之比为2∶1，且面积为60 cm2的长方
形纸片？请说明理由.
解：能.理由如下：
设长方形纸片的长为2x cm，宽为x cm.
根据题意，得2x·x＝60，x2＝30，
∴x＝ .
∵2 ＜8 ，
∴能剪出符合要求的纸片.
解：能.理由如下：
设长方形纸片的长为2x cm，宽为x cm.
根据题意，得2x·x＝60，x2＝30，
∴x＝ .
∵2 ＜8 ，
∴能剪出符合要求的纸片.
6. (中考热点·规律探索与应用)为了进一步研究算术平方根的特点，陈老
师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了表2和表3中.
(1)填空：
表1
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 第7组 …
…
0.1 0.316 3.16 31.6 …
1
10
100
表1
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 第7组 …
…
0.1 0.316 3.16 31.6 …
1
10
100
(2)请你仿照(1)中的规律，将表2和表3补充完整.
表2
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 …
…
0.173 2 0.547 7 5.477 …
表3
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 …
…
1.26 2.71 …
1.732
17.32
54.77
0.585
5.85
12.6
27.1
7. 是无理数，而1＜ ＜2，所以 的整数部分是1，于是可用 －
1来表示 的小数部分.
根据以上材料，解决下列问题：
(1) 的整数部分是 ，小数部分是 －4 ；
4
－4
(2)3＋ 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3＋ ＜b，
求a＋b的平方根. ∴a＋b的平方根为±3.
解：(2)∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2.
∴4＜3＋ ＜5.
又∵a＜3＋ ＜b，
∴a＝4，b＝5.
∴a＋b＝9.
∴a＋b的平方根为±3.(共14张PPT)
第二章 实数
第6课时 实数及其运算
1. 和 统称为实数.实数有两种分类方法：
(1)按定义分：实数
正 实数
正有理数
正无理数
负 实数
负有理数
负无理数
(2)按正负分：实数
有理数
无理数
正
负
2. 在 范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的
相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
3. 有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.
4. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一
个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是 .
实数
一一对应的
知识点1 实数的概念及分类
【例1】将下列各数填入相应的集合内：
(－ )0， ，0， ， ， ，－0.333…， ，3.141 5，0.010
010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
(1)无理数集合：{ …}；
(2)负实数集合：{ …}.
， ， ，0.010 010 001…
－0.333…
【变式1】将下列各数填入相应的横线上：
3.14， ，0. ， ，0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数逐次
加1)， ， ，－2 ，0.
(1)有理数： ；
(2)无理数： ；
(3)整数： .
3.14，0. ， ， ，－2 ，0
， ，0.202 002 000 2…
，0
知识点2 实数的倒数、绝对值、相反数
【例2】(1)－ 的相反数是 ；－ 的绝对值是 ； －
2的相反数是 .
(2)8的相反数的立方根是 .
2－
2
【变式2】(1)(易错题)｜ －3｜＝ 3－ ； 的倒数是 ；
－ 的相反数是 1＋ .
(2)下列说法正确的是 .(填序号)
①实数－a是负数；②实数－a的相反数是a；③实数－a的绝对值是
a；④｜－a｜一定是正数.
3－
1＋
②
知识点3 实数与数轴上的点一一对应
【例3】如图，以2个单位长度作正方形，连接各边的中点作小正方形.在
数轴上以－1对应的点为圆心，以小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于
原点右侧的点A处，点 A所表示的数是( A )
A. －1
B. 2－
C. 2－2
D. －1－
A
【变式3】如图，在数轴上点A表示的实数是( A )
A.
B.
C. －1＋3
D. 1＋
A
知识点4 实数的运算及化简
【例4】计算：｜－2｜＋ －2 0260－ ＋ .
解：原式＝2＋16－1－3＋20＝34.
【变式4】计算：(π－3.14)0＋ ＋｜ －1｜－ .
解：原式＝1＋2＋ －1－(－2)＝4＋ .
解：原式＝2＋16－1－3＋20＝34.
解：原式＝1＋2＋ －1－(－2)＝4＋ .
1. 下列说法正确的是( D )
A. (2－π)0是无理数 B. 是分数
C. 是有理数 D. － 是正实数
D
2. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不
尽的数；③－a没有平方根；④某数的绝对值、相反数、算术平方根都
是它本身，则这个数是0.其中正确的是( D )
A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①④
3. 实数a在数轴上的位置如图所示，则｜a－ ｜＝ －a .
D
－a
4. 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿着数轴无滑动地逆时针滚动
一周到达点A，则点A表示的数是( D )
A. －2π－1 B. －1＋π
C. －1＋2π D. －π
D
5. (北师教材P50T5)如图，已知OA＝OB.
(1)说出数轴上点A所表示的数；
解：(1)∵OA＝OB，OB＝ ＝ .
∴数轴上点A所表示的数为－ .
(2)比较点A所表示的数与－2.5的大小.
解：(2)∵5＜2.52，
∴ ＜2.5.
∴－ ＞－2.5.
解：(1)∵OA＝OB，OB＝ ＝ .
∴数轴上点A所表示的数为－ .
解：(2)∵5＜2.52，
∴ ＜2.5.
∴－ ＞－2.5.
6. (中考热点·网格作图)如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是
1，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图1中画出一个三角形，使其三边长分别为3， ， ；
解：(1)(答案不唯一)如图所示.
解：(1)(答案不唯一)如图所示.
(2)在图2中画出一个腰长为5的等腰三角形.
解：(2)(答案不唯一)如图所示.
解：(2)(答案不唯一)如图所示.
7. (数形结合)如图，点A表示的数为－ ，一只蚂蚁从点A开始，沿数
轴向右爬行2个单位长度后到达点 B. 设点B表示的数为n.
(1)n的值为 ；
(2)求｜n＋1｜＋(n＋2 －2)的值.
解：(2)由(1)，得n＝2－ ，
∴原式＝3－ ＋ ＝3.
2－
解：(2)由(1)，得n＝2－ ，
∴原式＝3－ ＋ ＝3.(共14张PPT)
第二章 实数
第3课时 平方根
1. 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫作
a的平方根(也叫作二次方根).正数a有 个平方根，它们互为相反
数，记作 ；0有 个平方根，它是 ；负数
平方根.
例：3的平方是9， 的平方也是9，所以9的平方根是 ，即
± ＝ .
2. 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作 .
两
±
一
0本身
没
有
－3
±3
±3
被开方数
知识点1 求平方根
【例1】(北师教材P33例3改编)填空：
(1)16的平方根是 ；
(2) 的平方根是 ± ；
(3)102的平方根是 ；
(4)3的平方根是 ；
(5) ± ＝ ；
(6) 的平方根是 ± .
±4
±
±10
±
±0.7
±
【变式1】(北师教材P34T1改编)求下列各数的平方根：
(1)0.81；
解：(1)∵(±0.9)2＝0.81，
∴± ＝±0.9.
解：(2)∵ ＝ ，
∴± ＝± .
解：(1)∵(±0.9)2＝0.81，
∴± ＝±0.9.
解：(2)∵ ＝ ，
∴± ＝± .
(2) ；
(3)1.96；
解：(3)∵(±1.4)2＝1.96，
∴± ＝±1.4.
解：(4)∵(± )2＝7，
∴7的平方根是 ± .
解：(3)∵(±1.4)2＝1.96，
∴± ＝±1.4.
(4)7.
解：(4)∵(± )2＝7，
∴7的平方根是 ± .
知识点2 平方与开平方互为逆运算：(± )2＝ (a≥0)；±
＝ (a≥0)
【例2】(北师教材P34T2改编)填空：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；
(3) ＝ ；
(4) ＝ .
a
±a
5
5
5
5
【变式2】填空：
(1) ＝ ； (2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4)－ ＝ .
－π
知识点3 利用平方根求值
【例3】(北师教材P38T5改编)求满足下列各式的未知数x.
(1)x2＝ ；
(1)解：x＝± ，
x＝± .
(2)解：x＝± ，
x＝±6.
(2)x2＝36；
【变式3】求满足下列各式的未知数x.
(1)2x2＝18；
(1)解：x2＝9，
x＝± ，
x＝±3.
(2)解：x2＝225，
(1)解：x2＝9，
x＝± ，
x＝±3.
(2)解：x2＝225，
x＝± ，
x＝±15.
(2)x2－225＝0.
1. 下列说法错误的是( C )
A. 0的平方根是0 B. 4的平方根是±2
C. 的平方根是±4 D. 2是4的算术平方根
2. 填空：
(1) ＝ ； (2)± ＝ ± ；
(3) 的平方根为 ± ；(4)若 的平方根为±3，则a＝ ；
C
3
±
±
81
3. 一个正数的两个不相等的平方根分别是2a－1和3，则a＝ .
4. 若 ＋(y－3)2＝0，则x＋y的平方根是 ± .
5. 满足 (x－2)2＝8的x的值为 .
－1
±
10或－6
6. 已知一个正数m的两个不相等的平方根是a＋6与2a－9.
(1)求这个正数m；
解：(1)根据题意，得a＋6＋2a－9＝0，
解得a＝1.
∴m＝(a＋6)2＝49.
(2)求满足ax2－16＝0的x的值.
解：(2)由(1)，得a＝1.
∴x2－16＝0，
即x2＝16，得x＝±4.
解：(1)根据题意，得a＋6＋2a－9＝0，
解得a＝1.
∴m＝(a＋6)2＝49.
解：(2)由(1)，得a＝1.
∴x2－16＝0，
即x2＝16，得x＝±4.
7. 小卓家客厅是用若干块相同的正方形地板砖铺成的，面积为21.6 m2，
小卓数了一下正好是60块.请你帮忙算一下，每块地板砖的边长是多少？
解：设每块地板砖的边长为x m.
根据题意，得60x2＝21.6，
即x2＝0.36，x＝±0.6.
∵x＞0，
∴x＝0.6.
答：每块地板砖的边长是0.6 m.
解：设每块地板砖的边长为x m.
根据题意，得60x2＝21.6，
即x2＝0.36，x＝±0.6.
∵x＞0，
∴x＝0.6.
答：每块地板砖的边长是0.6 m.
8. 探究发散：
(1)完成下列填空：① ＝ ； ② ＝ ；
③ ＝ ； ④ ＝ ；
⑤ ＝ ； ⑥ ＝ ；
(2)根据上述计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了
吗？请你用数学语言描述出来：
；
3
0.5
6
0
不一定，正数和0的平方的算术平方根
为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
(3)利用你总结的规律，计算：
若3＜a＜3.14，则 ＝ ， ＝ ；
(4)利用你发现的规律解决问题：
有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示.化简： －｜a＋
b｜＋｜－a＋c｜.
解：(4)由数轴，得a＜0＜b＜c，｜a｜＞｜b｜，
∴b－c＜0，a＋b＜0，－a＋c＞0.
∴ －｜a＋b｜＋｜－a＋c｜＝c－b－[－(a＋b)]＋(－a＋
c)＝c－b＋a＋b－a＋c＝2c.
a－3
π－a
解：(4)由数轴，得a＜0＜b＜c，｜a｜＞｜b｜，
∴b－c＜0，a＋b＜0，－a＋c＞0.
∴ －｜a＋b｜＋｜－a＋c｜＝c－b－[－(a＋b)]＋(－a＋
c)＝c－b＋a＋b－a＋c＝2c.(共22张PPT)
第二章 实数
2.1 认识实数
1. 有理数： 和 统称为有理数.
2. 有理数可以用有限小数或无限循环小数表示.
3. 在下列数：－8，0，5，0.7， ，0. 中，是整数的有
，是分数的有 .
4. 若a2＝2，则a 有理数.(填“是”或“不是”)
整数
分数
－8，0，
5
0.7， ，0.
不是
知识点1 无理数的产生
【例1】(北师教材P25引入改编)如图，将两个边长为1的小正方形都沿一
条对角线剪开，重新拼成一个大正方形，设大正方形的边长为a.
(1)大正方形的边长a满足的条件是a2＝ ；
(2)a既 分数，也 整数，所以a 有理数.(填
“是”或“不是”)
2
不是
不是
不是
【变式1】如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？设该
正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？
解：根据题意，得该正方形的面积为22＋12＝5.
∴b应满足 b2＝5，b不是有理数.
知识点2 无理数的估计(无限不循环小数称为无理数)
【例2】(北师教材P25尝试·思考改编)已知面积 S为 3 的正方形的边长为
a，在探索a的值时，整理过程如下：
边长 a 面积S
1＜a＜2 1＜S＜4
1.7＜a＜1.8 2.89＜S＜3.24
1.73＜a＜1.74 2.992 9＜S＜3.027 6
由此可知，面积S为3的正方形的边长a既不是整数，也不是分数，a是
一个无限不循环小数(无理数).若结果精确到0.1，则估计a的值为 .
1.7
【变式2】(1)若正方形的面积是5，则这个正方形的边长a的整数部分
是 ，a是 数.(填“有理”或“无理”)
(2)若面积为15的正方形的边长为x，则x的取值范围是( A )
A. 3＜x＜4 B. 4＜x＜5
C. 5＜x＜6 D. 5＜x＜8
2
无理
A
知识点3 实数的概念( 和 统称为实数)
【例3】把下列各数填入相应的集合内：
0.28，0.5 ，－ ，－ ，8，－0.021 021 021…，0.
有理数集合：{0.28，0.5 ，－ ，8，－0.021 021 021…，0 …}；无理
数集合：{ － …}.
有理数
无理数
0.28，0.5 ，－ ，8，－0.021 021 021…，0
－
【变式3】下列实数：－0.89，3.141， ，π，－0.010 010 001…(相邻两
个1之间0的个数逐次加1)，其中无理数有( B )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
1. 下列各数中，是无理数的是( B )
A. 0 B. －π C. 0.141 D.
2. (北师教材P29T2改编)下列说法中，正确的是 .(填序号)
①0.100 100 01是无理数； ②无理数是无限循环小数；
③无理数可以写成分数的形式； ④实数a的相反数是－a；
⑤实数a的倒数为 .
B
④
3. 下列无理数中，大于2而小于3的是( D )
A. B. 3.141 526…
C. 面积为3的正方形的边长 D. 面积为5的正方形的边长
4. (北师教材P26随堂练习改编)若边长为 2 的等边三角形的高为h，则h
的取值范围为( A )
A. 1.5＜h＜2 B. 2＜h＜2.5
C. 2.5＜h＜3 D. 3＜h＜3.5
D
A
5. (北师教材P27思考·交流改编)如图，以单位长度为边长画一个正方
形，以原点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表
示的数为 ，与负半轴的交点表示的数为 － .
－
6. (1)(北师教材P28T2改编)比较大小：4 π；－3.14 －π.(填
“＞”“＜”或“＝”)
(2)(北师教材P27例改编)将下列各数填入相应的集合内：
3.14，－ ，0. ，π，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐
次加2).
＞
＞
－
π，0.101 000 100 000 1…
7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶
点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形.(不写画法)
(1)在图1中画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
解：(1)如图1，△ABC即为所求.
解：(1)如图1，△ABC即为所求.
解：(2)如图2，正方形MNPQ即为所求.
7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶
点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形.(不写画法)
(2)在图2中画一个正方形，使它的面积是10；
解：(3)如图3，点A即为所求.
7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶
点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形.(不写画法)
(3)如图3，在数轴上作出表示－ 的点.
1. 下列四个数中，是无理数的是( C )
A. 3.14 B. C. －π D. 0
2. 两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长是( D )
A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数
3. 估计面积等于7的正方形的边长a的值(结果精确到十分位)是( B )
A. 2.5 B. 2.6 C. 2.7 D. 2.8
C
D
B
4. 比较大小：(填“＞”“＜”或“＝”)
(1)3 ；(2)－ － .
5. 在 ，3.141 59，－8，0.6，0， ，2.202 002 000 2…(相邻两个2之
间0的个数逐次加1)中，是无理数的有 个.
6. 已知体积为6的小正方体的棱长为a，则a 有理数.(“是”或
“不是”)
＞
＞
2
不是
7. 已知某个正方形的面积为10 cm2，设其边长为a cm，面积为S cm2.
(1)请你利用计算器计算并填写下面的横线.
边长a
3＜a＜4
3.1＜a＜3.2
3.16＜a＜3.17
3.162＜a＜3.163
3.162 2＜a＜3.162 3
3.162 27＜a＜3.162 28
面积S
9＜S＜
9.61＜S＜
9.985 6＜S＜
＜S＜10.004 569
＜S＜10.000 141 29
＜S＜10.000 014 798 4
16
10.24
10.048 9
9.998 244
9.999 508 84
9.999 951 552 9
(2)当精确程度为0.1 cm时，则a的近似值为 ；
(3)当精确程度为0.000 1 cm时，则a的近似值为 .
3.2
3.162 3
8. 把下列各数按要求填入相应的集合内.
－(＋10)，4.5，－ ，0，－(－3)，＋16，－ ，－1.5.
正整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}.
－(－3)，＋16
－ ，－1.5
－
9. 如图是棱长为1的正方体，有一只聪明的蚂蚁从点A爬到点B吃糖，它
走的是最短路线，则最短路线的长度是( D )
A. 整数
B. 分数
C. 有理数
D. 以上都不对
D
10. 在数轴上作出表示－ 的点.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点A即为所求.
解：如图，点A即为所求.
11. 如图，分别以Rt△ABC的边为一边向外作正方形，已知AB＝2，BC＝1.
(1)求图中以AC为一边的正方形的面积；
解：(1)在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，
∴AC2＝AB2＋BC2＝4＋1＝5.
∴以AC为一边的正方形的面积为5.
(2)AC的长是不是有理数？若不是有理数，请求出它的整数部分.
解：(2)∵AC2＝5，
∴AC的长不是有理数.
∵22＜5＜32，
∴AC的长的整数部分为2.
解：(2)∵AC2＝5，
∴AC的长不是有理数.
∵22＜5＜32，
∴AC的长的整数部分为2.
12. (几何直观)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知点 C 在格点上，分别按下列要求作△ABC，使点A，B均在格点上，∠ACB＝90°，AC＝BC.
(1)AB的长为无理数，AC，BC的长均为整数；
解：(1)如图1所示.
(2)AB的长为有理数，AC，BC的长均为无理数；
解：(2)如图2所示.
(3)三条边的长均为无理数.
解：(3)如图3所示.(共14张PPT)
第二章 实数
第9课时 二次根式(3)
二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先算 ，
再算 ，最后算 ，有括号的先算括号内的(或先去掉括
号).
乘方
乘除
加减
知识点1 二次根式的加减运算
【例1】(北师教材P45例6改编)计算： ＋ .
解：原式＝ ＋ ＝ .
【变式1】(北师教材P44例5(2)改编)计算： － .
解：原式＝2 － ＝ .
解：原式＝ ＋ ＝ .
解：原式＝2 － ＝ .
知识点2 二次根式的乘除
【例2】(北师教材P45例6(3))计算：
÷ .
解：原式＝ ÷ － ÷
＝ －
＝2 －
＝ .
【变式2】(北师教材P46T1(3)改编)计算：
÷ .
解：原式＝ ÷ ＋ ÷
＝ ＋
＝3＋ .
解：原式＝ ÷ ＋ ÷
＝ ＋
＝3＋ .
知识点3 二次根式的混合运算
【例3】计算： －10 ÷ ＋2× .
解：原式＝3 －10 × ＋2×
＝3 －2 ＋
＝2 .
解：原式＝3 －10 × ＋2×
＝3 －2 ＋
＝2 .
【变式3】计算：(2－ )÷ － (2＋ ).
解：原式＝(2－ )× －2 －2
＝ －1－2 －2
＝－ －3.
解：原式＝(2－ )× －2 －2
＝ －1－2 －2
＝－ －3.
1. 计算：(1)(＋ )(－ )＋(－ )÷ ；
解：(1)原式＝3－5＋ ÷ － ÷
＝－2＋2－
＝－ .
(2) ＋(＋ )(－ ).
解：(2)原式＝2＋2 ＋3＋3－2
＝6＋2 .
解：(1)原式＝3－5＋ ÷ － ÷
＝－2＋2－
＝－ .
解：(2)原式＝2＋2 ＋3＋3－2
＝6＋2 .
2. 先化简，再求值：(a－ )(a＋ )＋a(5－a)，其中a＝ ＋1.
解：原式＝a2－5＋5a－a2＝5a－5.
当a＝ ＋1时，原式＝5×(＋1)－5＝5 .
解：原式＝a2－5＋5a－a2＝5a－5.
当a＝ ＋1时，原式＝5×(＋1)－5＝5 .
3. 一个三角形的三边长分别为5 ， ， .
(1)求它的周长；
解：(1)这个三角形的周长是5 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝ .
解：(1)这个三角形的周长是5 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝ .
(2)请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的
周长.
解：(2)(答案不唯一)当x＝20时，这个三角形的周长是 ＝ ＝
25.
解：(2)(答案不唯一)当x＝20时，这个三角形的周长是 ＝ ＝
25.
4. (北师教材P46思考·交流)如图，小正方形的边长为1.
(1)求梯形ABCD的周长；
解：(1)由勾股定理，得CD＝ ，BC＝ ＝2 ，AB＝
＝5 .
∴梯形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋AB＝6＋ ＋2 ＋5 ＝6
＋6 ＋2 .
解：(1)由勾股定理，得CD＝ ，BC＝ ＝2 ，
AB＝ ＝5 .
∴梯形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋AB＝6＋ ＋2 ＋5 ＝6
＋6 ＋2 .
(2)求梯形ABCD的面积.
解：(2)梯形ABCD的面积为5×7－ ×1×1－ ×2×4－ ×5×5＝35－
－4－ ＝18.
解：(2)梯形ABCD的面积为5×7－ ×1×1－
×2×4－ ×5×5＝35－ －4－ ＝18.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ ＋1，BC＝ －
1，CD是斜边上的高.
(1)求AB的长；
解：(1)由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝
2 .
(2)求CD的长.
解：(2)∵ ＝ AC BC＝ AB CD，
∴CD＝ ＝ ＝ .
解：(1)由勾股定理，得
AB＝ ＝ ＝2 .
解：(2)∵ ＝ AC BC＝ AB CD，
∴CD＝ ＝ ＝ .
6. 设一个三角形的三边长分别为a，b，c，p＝ (a＋b＋c)，则有下列三角形面积公式成立：S＝ (海伦公式)；
S＝ (秦九韶公式).
(1)一个三角形边长依次为5，6，7，利用上面两个公式分别求这个三角形的面积；
解：(1)海伦公式计算：p＝ ×(5＋6＋7)＝9，
∴S＝ ＝ ＝6 .
秦九韶公式计算：S＝ ＝
＝ ＝6 .
6. 设一个三角形的三边长分别为a，b，c，p＝ (a＋b＋c)，则有下列三角形面积公式成立：S＝ (海伦公式)；S＝ (秦九韶公式)
(2)一个三角形边长依次为 ， ， ，利用上面两个公式分别求这个三角形的面积.
解：(2)海伦公式计算：p－a＝ ＋ ＋ )－ ＝ ＋ － )，
同理，可得p－b＝ － ＋ )，p－c＝ ＋ － ).
∴S2＝ ＋ ＋ )× ＋ － )× [－(－ )]×
[＋(－ )]＝ ×(8＋2 )(－8＋2 )＝ ×(168－64)＝ .
∴S＝ .秦九韶公式计算：S＝ ＝ ＝ .
