(共13张PPT)
第五章 二元一次方程组
第7课时 二元一次方程与一次函数
【探究】(北师教材P128引入改编)
1. 方程x＋y＝5的解有 个，写出其中的3个：
；
无数
(答案不唯一)
2. 在平面直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们 一次
函数y＝5－x的图象上；(填“在”或“不在”)
3. 在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标 方程x＋y
＝5；(填“适合”或“不适合”)
4. 以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x
的图象 .(填“相同”或“不相同”)
在
适合
相同
【结论】
1. 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一
次函数的图象相同，是同一条直线.
2. x＋y＝5与y＝5－x表示的关系相同.
知识点1 二元一次方程与一次函数的关系
【例1】与二元一次方程2x＋y＝1对应的一次函数表达式是
，该方程的一个解 对应图象上的一个点为(1， ).
y＝1－
2x
－1
【变式1】下面四条直线中，直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x
－y＝2的解的是( B )
A B C D
B
知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系
【例2】(北师教材P128操作·思考)如图，在同一平面直角坐标系中分别画
出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的
坐标与方程组 的解有什么关系？
解：一次函数y＝5－x和y＝2x－1图象的交点为A(2，3)，而
就是方程组 的解.
解：一次函数y＝5－x和y＝2x－1图象的交点为A(2，3)，
而就是方程组 的解.
【变式2】(1)已知方程组 的解为 则一次函数y＝
－x＋1和y＝2x－2的图象的交点坐标为 .
(2)已知直线y＝kx＋c与直线y＝－2x＋b的交点坐标为(－1，－3)，则
关于x，y的方程组 的解为 .
(1，0)
课堂总结：
1. 二元一次方程组与一次函数的关系：从图形的角度看，确定两条直线
交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方
程组相当于确定相应两条直线的 的坐标；
2. 当两条直线平行时，对应的二元一次方程组无解.
交点
1. 以方程x＋3y＝2的解为坐标的所有点都在一次函数y＝
的图象上.
2. 如图，y＝kx＋b(k≠0)过点A(2，0)和点B(0，－1)，则方程kx＋b
＝0的解是 .
第2题图
－ x＋
x＝2
3. (北师教材P129T1改编)已知一次函数y＝3x－1与y＝2x图象的交点的
坐标是(1，2)，则方程组 的解为 .
4. 一次函数 y＝3x＋2 和 y＝2x－4 的图象的交点坐标为( D )
A. (1，5) B. (6，20)
C. (－6，16) D. (－6，－16)
D
5. (北师教材P129思考·交流改编)在同一平面直角坐标系中，一次函数y
＝x＋1和y＝x－2的图象如图所示.
第5题图
(1)它们的位置关系为 ；
平行
(2)方程组 的解的情况是 .
无解
6. (北师教材P132T3)已知直线y＝2x与y＝－x＋b交点的坐标为(1，
a)，试确定方程组 的解和a，b的值.
解：∵直线y＝2x与y＝－x＋b交点的坐标为(1，a)，
∴ 解得
∴方程组为
解得
解：∵直线y＝2x与y＝－x＋b交点的坐标为(1，a)，
∴ 解得
∴方程组为
解得
7. 在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4如图所示.
(1)画出一次函数y＝2x－5的图象；
解：(1)如图所示.
解：(1)如图所示.
(2)利用图象解方程组：
解：(2)由图象，得直线y＝－x＋4与直
线y＝2x－5交点的坐标为(3，1).
∴方程组 的解为
8. 如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b).
(1)b的值为 ；
(2)关于x，y的二元一次方程组 的解为 ；
2
(3)已知直线l3：y＝nx＋m，则关于x，y的一元二次方程组
的解为 .
(共13张PPT)
第五章 二元一次方程组
第8课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1. 已知正比例函数y＝kx过点(2，－4)，则该函数的表达式为( B )
A. y＝2x B. y＝－2x
C. y＝ x D. y＝－ x
2. 已知一次函数y＝mx－3的图象经过点(5，2)，则m的值是( A )
A. 1 B. 0 C. －1 D. 4
B
A
知识点1 用待定系数法确定一次函数的表达式
【例1】已知一次函数的图象过A(－3，－5)，B(1，3)两点.
(1)求这个一次函数的表达式；
解：(1)设这个一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0).
将点A(－3，－5)，B(1，3)代入上式，
得 解得
∴这个一次函数的表达式为y＝2x＋1.
(2)判断点P(－2，4)是否在这个一次函数的图象上.
解：(2)当x＝－2时，y＝2×(－2)＋1＝－3≠－4.
∴点P(－2，4)不在这个一次函数的图象上.
解：(2)当x＝－2时，y＝2×(－2)＋1＝－3≠－4.
∴点P(－2，4)不在这个一次函数的图象上.
【变式1】(北师教材P131尝试·思考改编)已知一次函数y＝2x＋b的图象
经过点(a，7)和点(－2，a).
(1)求这个函数的表达式；
解：(1)把点(a，7)，(－2，a)代入y＝2x＋b，
得
解得
∴这个函数的表达式为y＝2x＋5.
(2)当x＝－1时，求y的值.
解：(2)当x＝－1时，y＝2×(－1)＋5＝3.
解：(1)把点(a，7)，(－2，a)代入y＝2x＋b，
得
解得
∴这个函数的表达式为y＝2x＋5.
解：(2)当x＝－1时，y＝2×(－1)＋5＝3.
知识点2 利用一次函数解决实际问题
【例2】(北师教材P130例)某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一
定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y(单位：元)是行李
质量x(单位：kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5
元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元.
(1)写出y与x之间的关系式；
解：(1)设y与x之间的关系式为y＝kx＋b(k≠0).
根据题意，得 解得
∴y与x之间的关系式为y＝ x－5.
解：(1)设y与x之间的关系式为y＝kx＋b(k≠0).
根据题意，得 解得
∴y与x之间的关系式为y＝ x－5.
(2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？
解：(2)令y＝0，即 x－5＝0，解得x＝30.
当x＞30时，y＞0.
答：每名乘客最多可免费携带30 kg的行李.
解：(2)令y＝0，即 x－5＝0，解得x＝30.
当x＞30时，y＞0.
答：每名乘客最多可免费携带30 kg的行李.
【例2】(北师教材P130例)某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一
定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y(单位：元)是行李
质量x(单位：kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5
元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元.
【变式2】(北师教材P131T2)在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)是
所挂物体质量x(单位：kg)的一次函数.当所挂物体的质量为1 kg时，弹
簧长15 cm.当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的
关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
解：设y与x之间的关系式为y＝kx＋b(k≠0).
根据题意，得 解得
∴y与x之间的关系式为y＝0.5x＋14.5.
当x＝4时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5.
答：当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度为16.5 cm.
解：设y与x之间的关系式为y＝kx＋b(k≠0).
根据题意，得 解得
∴y与x之间的关系式为y＝0.5x＋14.5.
当x＝4时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5.
答：当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度为16.5 cm.
课堂总结：
待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：①设：设一次函数的表达式
为y＝kx＋b(k≠0)；②代：把直线上的两个点的坐标代入表达式，得到
关于k，b 的二元一次方程组；③解：解方程组，求出k，b的值；④回
代：将求出的k，b的值代入y＝kx＋b，即可确定一次函数表达式.
1. 一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，1)，(2，－4)，则k与b的值为
( C )
A. B.
C. D.
C
2. 某品牌鞋子的长度y(单位：cm)与鞋子的码数x(单位：码)之间满足一
次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38
码鞋子的长度为( B )
A. 23 cm B. 24 cm C. 25 cm D. 26 cm
B
3. (北师教材P131T1)如图，两条直线l1，l2的交点坐标可以看作方程
组 的解.
4. 一次函数y＝kx＋b经过点(－1，1)和点(2，7).
(1)求这个一次函数的表达式；
解：(1)将点(－1，1)和点(2，7)代入y＝kx＋b，得
解得
∴这个一次函数的表达式为y＝2x＋3.
(2)将所得函数图象平移，使它经过点(2，4)，求平移后直线的表达式.
解：(2)设平移后直线的表达式为y＝2x＋m.
把点(2，4)代入，得m＝0.
∴平移后直线的表达式为y＝2x.
解：(2)设平移后直线的表达式为y＝2x＋m.
把点(2，4)代入，得m＝0.
∴平移后直线的表达式为y＝2x.
5. 某综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率(最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数)数据如下：
年龄x/周岁 17 22 27 32 37 42 47
最大心率y/(次·min－1) 203 198 193 188 183 178 173
根据表中信息，可推断最大心率y(单位：次/min)是年龄x(单位：周岁)的 .
函数关系(填“一次”或“正比例”)，并求出y关于x的函数表达式.
一次
解：设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).
根据题意，得
解得
∴y关于x的函数关系式为y＝－x＋220.
6. (北师教材P129引入)A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s(单位：km)都是骑行时间t(单位：h)的一次函数.骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km.经过多长时间两人相遇？
解：对于乙来说，s是t的一次函数，可设s＝kt＋b(k≠0).
根据题意，得当t＝0时，s＝100；当t＝1时，s＝80.
将它们代入s＝kt＋b，得解得
∴乙的s与t之间的关系式为s＝－20t＋100.
同理可得甲的s与t之间的关系式为s＝15t.
联立两个关系式，得解得
答：经过 h后两人相遇.(共16张PPT)
第五章 二元一次方程组
第3课时 二元一次方程组的解法(2)——加减消元法
(一题多解)解二元一次方程组：
方法一：(消y)解：①＋②，得 ，
解得x＝ .
将x＝ 代入①，得y＝ .
∴原方程组的解是 .
2x＝4
2
2
1
方法二：(消x)解：①－②，得 ，
解得y＝ .
将y＝ 代入①，得x＝ .
∴原方程组的解是 .
2y＝2
1
1
2
知识点1 用加减消元法解二元一次方程组(同一未知数的系数相等或互
为相反数)
【例1】(北师教材P117引入)解方程组：
解：①＋②，得5x＝10，
解得x＝2.
将x＝2代入②，得4－5y＝－11，
解得y＝3.
∴原方程组的解是
解：①＋②，得5x＝10，
解得x＝2.
将x＝2代入②，得4－5y＝－11，
解得y＝3.
∴原方程组的解是
【变式1】(北师教材P117例3)解方程组：
解：②－①，得8y＝－8，
解得y＝－1.
将y＝－1代入①，得2x＋5＝7，
解得x＝1.
∴原方程组的解是
解：②－①，得8y＝－8，
解得y＝－1.
将y＝－1代入①，得2x＋5＝7，
解得x＝1.
∴原方程组的解是
知识点2 用加减消元法解二元一次方程组(同一未知数的系数成倍数
关系)
【例2】解方程组：
解：②×2，得2x＋8y＝－6.③
③－①，得5y＝－7，解得y＝－ .
将y＝－ 代入②，得x－ ＝－3，
解得x＝ .
∴原方程组的解是
【变式2】解方程组：
解：①×5，得10x＋5y＝15.③
②＋③，得13x＝26，解得x＝2.
将x＝2代入①，得4＋y＝3，
解得y＝－1.
∴原方程组的解是
知识点3 用加减消元法解二元一次方程组(找同一未知数系数的最小公
倍数)
【例3】(北师教材P118例4改编)解方程组：
解：①×3，得6x＋9y＝15.③
②×2，得6x－4y＝2.④
③－④，得13y＝13，解得y＝1.
将y＝1代入①，得2x＋3＝5，
解得x＝1.
∴原方程组的解是
解：①×3，得6x＋9y＝15.③
②×2，得6x－4y＝2.④
③－④，得13y＝13，解得y＝1.
将y＝1代入①，得2x＋3＝5，
解得x＝1.
∴原方程组的解是
【变式3】(北师教材P118T1(4))解方程组：
解：
①×2，得10x－12y＝18，③
②×3，得21x－12y＝－15.④
③－④，得－11x＝33，解得x＝－3.
将x＝－3代入①，得－15－6y＝9，
解得y＝－4.
∴原方程组的解是
解得y＝－4.
∴原方程组的解是
课堂总结：用加减消元法解二元一次方程组的类型与方法
类型1：同一未知数的系数互为相反数或相等时，通过两式直接相加或相
减进行消元；
类型2：同一未知数的系数成k倍关系时，让系数小的方程“乘k”，转
化为类型1；
类型3：若不是类型1和类型2时，则两个方程同时扩大整数倍，使得某一
未知数的系数变为它们的最小公倍数，进而转化为类型1.
1. 用加减消元法解方程组 先消去y，需要用( A )
A. ①×3＋②×2 B. ①×3－②×2
C. ①×4＋②×6 D. ①＋②
2. (整体思想)已知方程组 则x＋y＝ ，x－y＝ .
A
5
－1
3. (北师教材P119T2节选)用加减消元法解下列方程组：
(1)
解：
①×2，得4x－10y＝－42.③
②－③，得13y＝65，
解得y＝5.
将y＝5代入①，得2x－25＝－21，
解得x＝2.
∴原方程组的解是
解得x＝2.
∴原方程组的解是
(2)
解：整理方程组，得
①－②，得4y＝28，
解得y＝7.
将y＝7代入①，得3x－7＝8，
解得x＝5.
∴原方程组的解是
解：整理方程组，得
①－②，得4y＝28，
解得y＝7.
将y＝7代入①，得3x－7＝8，
解得x＝5.
∴原方程组的解是
4. 已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组 则此
等腰三角形的周长为 .
5. 已知｜2x－3y｜＋ ＝0，则x＝ ，y＝ .
5
1
6. 如图，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.若图中各行、各列
和各对角线上的三个数之和都相等，求x，y的值.
解：根据对角线、最下边一行、最右边一列上的三个数之和相等，
得方程组
整理，得 解得
解：根据对角线、最下边一行、最右边一列上的三个数之和相等，
得方程组
整理，得 解得
5
－3x 4
7 －x 3y
7. 已知代数式 ax＋by，当x＝3，y＝5时，它的值是－1；当x＝5，y＝
－1时，它的值是17.
(1)求a，b的值；
解：(1)根据题意，得 解得
(2)当4y－6x＝3时，求代数式ax＋by的值.
解：(2)由(1)，得a＝3，b＝－2，
∴ax＋by＝3x－2y.
∵4y－6x＝3，
∴3x－2y＝－ (4y－6x)＝－ ×3＝－ .
∴代数式ax＋by的值为－ .(共14张PPT)
第五章 二元一次方程组
第2课时 二元一次方程组的解法(1)——代入消元法
解一元一次方程：2x－6＝0.
解：2x＝6，
x＝3.
解：2x＝6，
x＝3.
知识点1 用一个未知数表示另一个未知数
【例1】已知2x＋y＝1.
(1)用含y的代数式表示x，则x＝ ；
(2)用含x的代数式表示y，则y＝ .
【变式1】把方程2y－3x＝1写成用含x的式子表示y的形式，正确的是
( C )
A. x＝ B. x＝
C. y＝ D. y＝－
1－2x
C
知识点2 用代入消元法解二元一次方程组(直接代入)
【例2】(北师教材P115例1)解方程组：
解：将②代入①，得3(y＋3)＋2y＝14，
解得y＝1.
将y＝1代入②，得x＝4.
∴原方程组的解是
解：将②代入①，得3(y＋3)＋2y＝14，
解得y＝1.
将y＝1代入②，得x＝4.
∴原方程组的解是
【变式2】(北师教材P117T1(1))解方程组：
解：
将①代入②，得x＋2x＝12，
解得x＝4.
将x＝4代入①，得y＝8.
∴原方程组的解是
解：
将①代入②，得x＋2x＝12，
解得x＝4.
将x＝4代入①，得y＝8.
∴原方程组的解是
知识点3 用代入消元法解二元一次方程组(恒等变形后代入)
【例3】(北师教材P116例2)解方程组：
解：由②，得x＝13－4y.③
将③代入①，得2(13－4y)＋3y＝16，
解得y＝2.
将y＝2代入③，得x＝5.
∴原方程组的解是
解得y＝2.
将y＝2代入③，得x＝5.
∴原方程组的解是
【变式3】(北师教材P117T1(4))解方程组：
解：
由②，得x＝3－2y.③
将③代入①，得3(3－2y)－2y＝9，
解得y＝0.
将y＝0代入③，得x＝3.
∴原方程组的解是
解得y＝0.
将y＝0代入③，得x＝3.
∴原方程组的解是
课堂总结：
1. 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就
把二元一次方程组转化为一元一次方程.这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫作消元思想.
2. 解二元一次方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变成“一
元”.
1. 二元一次方程组 的解是 .
2. 已知｜2x＋y｜＋(4x－y－6)2＝0，则x＋y的值为( A )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 若 a3xby与－a2ybx＋1是同类项，则x＋y＝ .
A
5
4. (北师教材P119T1改编)解方程组：
(1)
解：
由①，得m＝2＋ .③
将③代入②，得2 ＋3n＝12，
解得n＝2.
将n＝2代入③，得m＝3.
∴原方程组的解是
解得n＝2.
将n＝2代入③，得m＝3.
∴原方程组的解是
(2)
解：
由①，得x＝ .③
将③代入②，得4 ＋3y＝11，
解得y＝1.
将y＝1代入③，得x＝2.
∴原方程组的解是
5. (定义新运算)对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：
a b＝2a＋b.例如：3 4＝2×3＋4＝10.若x (－y)＝2，y (－x)＝
5，则x＋y的值为 .
6. (跨学科)如图，两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每
个果冻的质量相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别是( C )
A. 10 g，40 g B. 15 g，35 g
C. 20 g，30 g D. 30 g，20 g
7
C
7. 已知方程组 和 有相同的解，求a－5b的
平方根.
解：根据题意，得解得
将 代入方程组
得 即
∴a－5b＝4. ∴a－5b的平方根是±2.
8. 小颖和小刚在解方程组 时的解法如下：
小颖 小刚
由②，得y＝，再代入①，得
3x－＝2. 把②代入①，得11－2y－y＝2(将3x作
为一个整体).
你认为谁的方法较简便？并用该方法完成解方程组.
解：小刚的方法较简便.
解方程组如下：把②代入①，得11－2y－y＝2，
解得y＝3.
将y＝3 代入①，得3x－3＝2，解得x＝ . ∴原方程组的解为(共10张PPT)
第五章 二元一次方程组
第5课时 二元一次方程组的应用(2)——增收节支
销售问题 ①销售利润＝销售价格－进货价格；
②利润率＝ ×100％
增长率问题 ①原量×(1＋ )＝新量；②原量×(1－
)＝新量
储蓄问题 ①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息
增长率
亏损
率
知识点1 表格问题( 不含百分比)
【例1】(北师教材P122例2)医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制
营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单
位蛋白质和0.4单位铁质.如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁
质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？
解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g.
根据题意，得 解得
答：每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要.
解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g.
根据题意，得 解得
答：每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要.
【变式1】某商场用36万元购进A，B两种商品，全部销售完后共获利6万
元，其进价和售价如下表：
A B
进价(元/件) 1 200 1 000
售价(元/件) 1 380 1 200
(注：获利＝售价－进价)
该商场购进A，B两种商品各多少件？
解：设该商场购进A种商品x件，B种商品y件.
根据题意，得
整理，得 解得
答：该商场购进A种商品200件，B种商品120件.
知识点2 表格问题( 含百分比)
【例2】(北师教材P121引入)某工厂去年的利润(总收入－总支出)为200万元.今年的总收入比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有
年份 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y
今年
200
(1＋20％)x
(1－10％)y
780
解这个方程组，得 .
因此，去年的总收入是 ，总支出是 .
2 000万元
1 800万元
根据上表，可以列出方程组为 ，
【变式2】(北师教材P123T1)一、二两班共有100名学生，他们的体育达
标率(达到标准的百分率)为81％.如果一班学生的体育达标率为87.5％，
二班学生的体育达标率为75％，那么一、二两班各有多少名学生？
设一班有x名学生，二班有y名学生，填写下表并求出x，y的值.
人数 一班 二班 两班总和
学生数
达标学生数
解：根据题意，得
x
y
100
87.5％x
75％y
81％×100
解：根据题意，得
解得
答：x的值为48，y的值为52.
1. 某超市开展促销活动，决定对A，B两种商品进行打折出售.打折
前，买6件A商品和3件B商品需要108元；买3件A商品和4件B商品需
要94元.打折后，若买5件A商品和4件B商品仅需86元，比打折前节省
了 元.
2. (北师教材P143T11改编)某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共
15 t，实际生产了17 t，其中水稻超产15％，小麦超产10％，该专业户去
年实际生产水稻 t.
28
11.5
3. 某村18位农民筹集了5万元资金准备承包一些低产园地种植蔬菜和荞麦这两种作物.每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物种类 每公顷所需人数 每公顷需投入资金/万元
蔬菜 5 1.5
荞麦 4 1
在现有的条件下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？
解：设蔬菜种植面积为x hm2，荞麦种植面积为y hm2.
根据题意，得 解得
2＋2＝4(hm2).
答：这18位农民应承包4 hm2田地，其中蔬菜种植面积为2 hm2，荞麦种植面积
为2 hm2，才能使所有的人都有工作，且资金正好够用.
4. 某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 1～50 50～100 100以上
每人门票价/元 20 16 10
某校八(1)班和八(2)班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班
人数多于50人但少于100人，若两个班都以班为单位单独购票，则一共支
付1 828元；若两个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1 020元.
(1)两个班各有多少名学生？
解：(1)设八(1)班有x名学生，八(2)班有y名学生.
根据题意，得 解得
答：八(1)班有49名学生，八(2)班有53名学生.
4. 某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 1～50 50～100 100以上
每人门票价/元 20 16 10
某校八(1)班和八(2)班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班
人数多于50人但少于100人，若两个班都以班为单位单独购票，则一共支
付1 828元；若两个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1 020元.
(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
解：(2)八(1)班节省的费用：(20－10)×49＝490(元)；
八(2)班节省的费用：(16－10)×53＝318(元).
答：两个班各节约了490元和318元.(共12张PPT)
第五章 二元一次方程组
第4课时 二元一次方程组的应用(1)——鸡兔同笼
解二元一次方程组：
解：①×2，得4x＋2y＝42.③
②－③，得y＝5.
将y＝5代入①，得2x＋5＝21，
解得x＝8.
∴原方程组的解是
解：①×2，得4x＋2y＝42.③
②－③，得y＝5.
将y＝5代入①，得2x＋5＝21，
解得x＝8.
∴原方程组的解是
知识点1 和差倍分问题
【例1】某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量
的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，男生和女生各植
树多少棵？
解：设女生植树x棵，男生植树y棵.
根据题意，得 解得
答：女生植树16棵，男生植树40棵.
解：设女生植树x棵，男生植树y棵.
根据题意，得 解得
答：女生植树16棵，男生植树40棵.
【变式1】某学校为开展“快乐校园”活动，计划购买一批篮球和足球，
已知购买2个篮球和1个足球共需280元；购买3个篮球和2个足球共需460
元，求篮球与足球的单价.
解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元.
根据题意，得
解得
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元.
解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元.
根据题意，得
解得
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元.
知识点2 列方程组解古算问题
【例2】(北师教材P120引入)《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：
今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
解：设笼中有鸡x只，兔y只.
根据题意，得
解得
答：笼中有鸡23只，兔12只.
解：设笼中有鸡x只，兔y只.
根据题意，得
解得
答：笼中有鸡23只，兔12只.
【变式2】(北师教材P120例1)今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十
钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？(选自《张
邱建算经》)题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10
钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的 10钱，那么
两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱？
解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y.
根据题意，得
解得
答：甲带了38钱，乙带了18钱.
解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y.
根据题意，得
解得
答：甲带了38钱，乙带了18钱.
课堂总结：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为“审”
“ ”“ ”“ ”“答”
(1)审清题意，找出题目中的未知量和等量关系；(2)设未知数，用字母表
示题目中的两个未知数；(3)列出二元一次方程组；(4)解方程组，求出未
知数的值；(5)判断解的合理性，写出答案.
设
列
解
1. 某年级共有学生246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍多2人，则
下面所列的方程组中符合题意的是( C )
A. B.
C. D.
C
2. (几何与方程)一副三角尺按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°.若设
∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为( D )
A. B.
C. D.
D
3. (积分问题)某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出
胜负，胜1场得3分，负一场扣1分，某中学队在8场比赛中得到12分，则
该队胜了 场.
4. (图表问题)根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度.
5
解：设梅花鹿现在的高度是x m，长颈鹿现在的高度是y m.
根据题意，得 解得
答：梅花鹿现在的高度是1.5 m，长颈鹿现在的高度是5.5 m.
解：设梅花鹿现在的高度是x m，长颈鹿现在的高度是y m.
根据题意，得 解得
答：梅花鹿现在的高度是1.5 m，长颈鹿现
在的高度是5.5 m.
5. (北师教材P121T1)(古代文化)列方程组求解古算题：今有牛五、羊
二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？(选自《九章
算术》)题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8
两“金”.每头牛、每只羊各值多少“金”？
解：设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”.
根据题意，得 解得
答：每头牛值 两“金”，每只羊值 两“金”.
解：设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”.
根据题意，得 解得
答：每头牛值 两“金”，每只羊值 两“金”.
6. (北师教材P125T3改编)(古代文化)《孙子算经》中有一道题，原文
是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一
尺，木长几何？题目大意：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5
尺；将绳子对折后再量木条，木条还剩余1尺，则木条的长度为多少尺？
解：设绳子的长度为x尺，木条的长度为y尺.
根据题意，得 解得
答：木条的长度为6.5 尺.
解：设绳子的长度为x尺，木条的长度为y尺.
根据题意，得 解得
答：木条的长度为6.5 尺.(共11张PPT)
第五章 二元一次方程组
第6课时 二元一次方程组的应用(3)——几何、行程问题
1. 几何问题：长方形的面积＝长×宽，长方形的周长＝2×(长＋宽).
2. 行程问题中常见的三种类型及解题思路：
(1)相遇、追及问题：路程之和、路程之差；
(2)顺流、逆流问题：顺流速度＝静水速度 水流速度；逆流速度＝
静水速度 水流速度；
(3)火车过桥问题：车速＝(桥长＋车身长)÷时间，时间＝(桥长＋车身
长)÷车速.
3. 一个两位数，个位数字为a，十位数字为 b，用关于a，b的代数式表
示这个两位数为 .
＋
－
10b＋a
知识点1 几何问题
【例1】(北师教材P123引入)如图，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大
长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
解：设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm.
根据题意，得
解：设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm.
根据题意，得
解得
答：每块小长方形墙砖的长为30 cm，宽为10 cm.
解得
答：每块小长方形墙砖的长为30 cm，宽为10 cm.
【变式1】(北师教材P123引入改编)如图，用12块形状和大小均相同的小
长方形纸片拼成一个宽是40 cm的大长方形.若设小长方形的长为x cm，
宽为y cm，则可列方程组为( B )
B
A. B.
C. D.
知识点2 行程问题
【例2】(北师教材P124例3)火车以 40 m/s的速度经过一个隧道，从车头
进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s，其中火车全身都在隧道里的时
间是20 s，求隧道和火车的长度.
解：设隧道的长度为x m，火车的长度为y m.
根据题意，得
解得
答：隧道的长度为1 000 m，火车的长度为200 m.
解：设隧道的长度为x m，火车的长度为y m.
根据题意，得
解得
答：隧道的长度为1 000 m，火车的长度为200 m.
【变式2】(北师教材P125随堂练习T1)由甲地到乙地的公路全程为200
km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路.已知汽车在普通公
路和高速公路上的行驶速度分别是60 km/h和 100 km/h，从甲地到乙地用
时3 h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？
解：设在普通公路上行驶x km，在高速公路上行驶y km.
根据题意，得 解得
答：汽车在普通公路上行驶了150 km，在高速公路上行驶了50 km.
解：设在普通公路上行驶x km，在高速公路上行驶y km.
根据题意，得 解得
答：汽车在普通公路上行驶了150 km，在高速公路上行驶了50 km.
1. 甲、乙两地相距360 km，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用
18 h，逆水行船用24 h.若设轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y
km/h，则下列方程组中正确的是( A )
A. B.
C. D.
A
2. 如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5、
宽为4的大长方形中，则图中一个小长方形的面积为 .
2
3. 有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5.如果把这两个数字
的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.
解：设这个两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y
＋x，把两个数字的位置对换后，所得新数为10x＋y.
根据题意，得
解：设这个两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y
＋x，把两个数字的位置对换后，所得新数为10x＋y.
根据题意，得
解得
∴10y＋x＝49.
答：这个两位数为49.
解得
∴10y＋x＝49.
答：这个两位数为49.
4. (北师教材P123T2)甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行.如果甲先
走2 h，那么他们在乙出发2.5 h后相遇；如果乙先走2 h，那么他们在甲
出发3 h后相遇.甲、乙两人的速度各是多少？
设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值.
两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和
第一种情况(甲
先走2 h)
第二种情况(乙
先走2 h)
4.5x km
2.5y km
(4.5x＋2.5y) km
3x km
5y km
(3x＋5y) km
解：根据题意，得 解得
答：x的值为6，y的值为3.6.
5. (北师教材P127T13改编)小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30
里程碑上的数 是一个两位数，它的十位与个位数字之和为 6 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0
则小明在12：00时看到的两位数是多少？
解：设小明12：00看到的两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，即为10x＋y.
则13：00看到的两位数为10y＋x， 12：00～13：00时行驶的里程数为
(10y＋x)－(10x＋y)，14：30时看到的数为100x＋y， 13：00～14：30时行驶的里程数为
(100x＋y)－(10y＋x).
根据题意，得解得
∴10x＋y＝15.
答：小明在12：00时看到的两位数是15.(共13张PPT)
第五章 二元一次方程组
第1课时 认识二元一次方程组
1. 复习：下列方程是一元一次方程的是( B )
A. x2＝1 B. 2x－3＝0
C. 2x＋3y＝0 D. ax＋b＝0
2. 已知x与y的和为3，x与y的差为1，则可列方程： .
B
知识点1 二元一次方程的定义(含有两个未知数，并且含有未知数的项
的次数都是1的方程叫作二元一次方程)
【例1】下列方程中，是二元一次方程的是( B )
A. 3x－2＝4 B. x＋3y＝1
C. x－y2＝4 D. ＋y＝1
B
【变式1】下列各式：①x＝3y；②xy＝1；③2x－ ＝1；④3x＋y－z
＝2；⑤2x－ ＝0；⑥x2－x＝3.其中是二元一次方程的有 .(填
序号)
①③
知识点2 二元一次方程组的定义(共含有两个未知数的两个一次方程所
组成的一组方程叫作二元一次方程组)
【例2】下列方程组中，是二元一次方程组的是( C )
A. B.
C. D.
C
【变式2】下列方程组中，不是二元一次方程组的是( B )
A. B.
C. D.
B
知识点3 二元一次方程(组)的解
二元一次方程的解 二元一次方程组的解
定义 使一个二元一次方程左、右两
边的值相等的一组未知数的值 二元一次方程组中各个方程
的
(1)二元一次方程的解有无数组，二元一次方程组的解只有一组；
(2)二元一次方程(组)的解需要写成联立的形式，如方程组
的解写作
公共解
【例3】(1)下列选项中，不是方程2x－3y＝5的解的是( A )
A. B.
C. D.
(2)已知 是方程3x＋2y＝10的一个解，则m的值是 .
A
2
【变式3】(1)(北师教材P113T3)二元一次方程组 的解是
( C )
A. B.
C. D.
(2)已知 是二元一次方程2x＋ay＝3的解，则a的值为 .
C
知识点4 根据实际问题列二元一次方程组
【例4】(北师教材P111尝试·思考改编)周末，小亮一家和朋友们到公园徒
步锻炼，他们一共8个人，买门票花了34元.已知每张成人票5元，每张学
生票3元.设他们中有x个成人、y名学生，可列出方程：
.
【变式4】(北师教材P113习题T1)甲种物品每个4 kg，乙种物品每个7 kg.
现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76 kg.
(1)列出关于x，y的二元一次方程为 ；
(2)若x＝12，则y＝ ；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有 个.
4x＋7y＝76
4
5
1. (开放性问题)请写出一个二元一次方程组：
一) ，使该方程组的解为
2. (整体思想)已知 是方程ax＋by＝3的解，则代数式a＋2b－5
的值为 .
(答案不唯一)
－2
3. (北师教材P113随堂练习T1)根据题意列方程组：小明从邮局买了面值
50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元.两种邮票小明各买了多少枚？
解：设小明买了面值50分的邮票x枚，80分的邮票y枚.
根据题意，得
解：设小明买了面值50分的邮票x枚，80分的邮票y枚.
根据题意，得
4. (核心素养)已知关于x，y的方程组 由于甲看错了方
程ax＋5y＝15中的a，得到方程组的解为 乙看错了方程中
的b，得到方程组的解为 求原来a，b的值.
解：将 代入4x－by＝－2，
得－52＋b＝－2，
解得b＝50.
将 代入ax＋5y＝15，
得5a＋20＝15，解得a＝－1.
∴a的值是－1，b的值是50.
解得b＝50.
将 代入ax＋5y＝15，
得5a＋20＝15，解得a＝－1.
∴a的值是－1，b的值是50.(共15张PPT)
第五章 二元一次方程组
第9课时 三元一次方程组(选学)
1. 已知3个数x，y，z的和为23，x比y大1，x的2倍与y的和比z大20，
则列方程组为 .
2. 下列方程组中不是三元一次方程组的是( D )
A. B.
C. D.
D
3. 共含有 个未知数的 个一次方程所组成的一组方程，叫作
三元一次方程组.
4. 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为
“二元”，再化为“一元”.
三
三
知识点1 解三元一次方程组
【例1】解方程组：
解：②＋③，得3x－2y＝7.④
联立①和④，得 解得
将x＝1，y＝－2代入②，得1＋2＋z＝7，
解得z＝4.
∴原方程组的解是
【变式1】(北师教材P136T2)解方程组：
解：①＋②，得2x＋z＝27.④
解：①＋②，得2x＋z＝27.④
①＋③，得3x＋2z＝44.⑤
联立④和⑤，得 解得
将x＝10代入②，得10－y＝1，解得y＝9.
∴原方程组的解是
【例2】(北师教材P137T1(2))解方程组：
解：
②－①，得x＋2y＝7.④
②＋③，得5x＋5y＝25，即x＋y＝5.⑤
④－⑤，得y＝2.
将y＝2代入⑤，得x＝3.
将x＝3，y＝2代入①，得3＋2＋z＝10，解得z＝5.
∴原方程组的解是
【变式2】(北师教材P137T1改编)解方程组：
解：②－①，得y＋3z＝3.④
③－②，得y＋5z＝3.⑤
解：②－①，得y＋3z＝3.④
③－②，得y＋5z＝3.⑤
⑤－④，得2z＝0，解得z＝0.
将z＝0代入⑤，得y＝3.
将z＝0，y＝3代入①，得x＋3＝0，解x＝－3.
∴原方程组的解是
知识点2 三元一次方程组的应用
【例3】(北师教材P136T1)一个三位数，各数位上的数字和是14，个位数
字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字
的和大2.求这个三位数.
解：设这个三位数的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z.
根据题意，得 解得
答：这个三位数是275.
解：设这个三位数的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z.
根据题意，得 解得
答：这个三位数是275.
【变式3】已知△ABC的周长为48 cm，最长边与最短边之差为14 cm，另
一边与最短边之和为25 cm，求△ABC各边的长.
解：设△ABC的最长边为x cm，最短边为y cm，另一边为z cm.
根据题意，得 解得
答：△ABC各边的长分别为23 cm，9 cm，16 cm.
解：设△ABC的最长边为x cm，最短边为y cm，另一边为z cm.
根据题意，得 解得
答：△ABC各边的长分别为23 cm，9 cm，16 cm.
1. (北师教材P138T2)用不同的方法解方程组： 再对这些方法进行比较.
解：
方法一：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝40，
即x＋y＋z＝20.④
解：
方法一：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝40，
即x＋y＋z＝20.④
将①代入④，得15＋z＝20，
解得z＝5.
将z＝5代入②，得y＋5＝5，
解得y＝0.
将y＝0代入①，得x＝15.
∴原方程组的解是
方法二：①－②，得x－z＝10.④
1. (北师教材P138T2)用不同的方法解方程组： 再对这些方法进行比较.
③＋④，得2x＝30，
解得x＝15.
将x＝15代入①，得15＋y＝15，
解得y＝0.
将y＝0代入②，得z＝5.
∴原方程组的解是
方法一是代入消元法，方法二是加减消元法，两种方法的目的都是消元.
方法二，即加减消元法更为简便.
2. (北师教材P138T5节选改编)1只公鸡价值5钱，1只母鸡价值3钱，3只小
鸡合计价值1 钱.购买 100 只鸡总共花了 100 钱，则公鸡、母鸡、小鸡分
别买的数量为 .
3. 若三个二元一次方程3x－y＝7，2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，
则k的值是 .
4. 如图，两个天平都保持平衡，则与3个球体的质量相等的正方体的个
数是( D )
0，25，75或4，18，78或8，11，81或12，4，84
4
D
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
5. (北师教材P141T3改编)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝
0；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝10.
(1)求a，b，c的值；
解：(1)根据题意，得
②－①，得3a＋b＝4.④
③－①，得8a＋2b＝10.⑤
化简⑤，得4a＋b＝5.⑥
⑥－④，得a＝1.
将a＝1代入④，得3＋b＝4，解得b＝1.
将a＝1，b＝1代入①，
得1＋1＋c＝0，解得c＝－2.
∴原方程组的解是
(2)当x＝－1时，求y的值.
解：(2)由(1)，得y＝x2＋x－2.
当x＝－1时，y＝(－1)2－1－2＝－2.
解：(2)由(1)，得y＝x2＋x－2.
当x＝－1时，y＝(－1)2－1－2＝－2.
5. (北师教材P141T3改编)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝
0；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝10.
