黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多校联考2025届九年级下学期中考三模数学试卷(含详解)

数学试卷 2025.6
考生注意：
考试时间120分钟
全卷共三道大题，总分120分
题号 一 二 三 总分
18 19 20 21 22 23 24
得分
一、单选题（每小题3分，满分30分）
1．的相反数是（ ）
A． B．-2025 C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为( )
A． B． C． D．
5．用6个大小相同的小立方体组成如图所示的几何体，该几何体主视图，俯视图，左视图的面积分别记作，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
7．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
9．如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达，将数据用科学记数法可表示为 ，
12．如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ．
13．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．已知圆锥的高为，母线长为，则圆锥的表面积为 ．
15．如图，的顶点、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称，点在轴上，轴于点，点在点右侧，若，则的面积为 ．
16．四边形是平行四边形，的平分线交边于点，的平分线交边于点，，则平行四边形的边与之比为 ．
17．已知菱形的边长为2，，对角线、相交于点，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，，按此规律继续作下去，在轴的正半轴上得到点，，，，，则点的坐标为 ．
三、解答题（本题共7个大题，共69分）
18．（本题共2个小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，共10分）
（1）计算：．
（2）分解因式：．
19．（本题满分5分）解方程：
20．（本题满分8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势年，中国新能源汽车产销量均突破万辆，连续年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电
混动
氢燃料
油车
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动随机抽取了人；表中 ， ；
(2)请补全条形统计图；
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
21．（本题满分10分）如图，内接于，是的直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
22．（本题满分10分）在两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车的速度是________千米/时；
(2)求图象中线段所在直线的函数解析式；
(3)请直接写出乙车行驶多长时间，两车之间的距离为240千米．
23．（本题满分12分）在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第 1 步：如图 1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点 B 重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将边沿翻折得到；
第 3 步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．
证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程： ② ， 解得： ，即H是边的三等分点．
“破浪”小组进行如下操作：
第 1 步：如图 2 所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为；
第 2 步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与折痕交于点G； 第 3 步：过点G 折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ；
②处所列方程是 ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）①如图 3，将矩形纸片对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点G折叠矩形纸片，使折痕 ，若，求的值．
②在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长．
24．（本题满分14分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
(4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
参考答案
1．D
解：，则的相反数是，
故选：D．
2．B
解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．B
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4．C
解：，
，
，
．
故选：C．
5．C
解：设小正方体的棱长为1，从正面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为1，2，1，．
从上面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为2，1，2，．
从左面看所得到的图形为三列，正方形的个数分别为1，2，1，．
故选：C
6．A
解：
分式方程去分母得：，
解得：，
由方程的解是非正数，得到，且，
解得：．
故选：A．
7．C
解：设四张卡片从左到右分别为A、B、C、D，则四张卡片内容中是物理学变化的有：B，D．画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为物理变化的结果有：共2种，
∴抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为．
故选：C．
8．A
解：购买了x本笔记本，y支的签字笔，
则，
即．
∴，，，，
∴购买方案有4种；
故选：A
9．D
解：矩形，
，，，
①当时，点P在边上，
，
，，
，即，
，
；
②当时，点P在边上，点与点重合，
，
；
③当时，点P在边上，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
；
，
S与t的函数图像大致为
故选：D．
10．C
解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而增大，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点在抛物线上，且，
∴，，
∵存在，
∴，，
即，，，
解得：，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共3个．
故选：C．
11．
解：将数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
12．12
解：∵，，
∴,
连接，如图，据题意可得：，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得；
故答案为：12.
13．且
解：，
，，
且，
故答案为：且．
14．
解：由题意得，圆锥的底面圆的半径为，
∴表面积为：．
故答案为：．
15．
解：根据反比例函数的性质可得：的面积为，
即，
故，
∵，
∴的面积为，
∴的面积为，
∵、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称，
∴与的面积相等，
即的面积为．
故答案为：．
16．或
解：如图：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴；
如图：
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴；
综上所述，平行四边形的边与之比为或，
故答案为：或．
17．
解：∵菱形的边长为2，，
∴，，
∴．
∵菱形菱形，
∴，
∴．
同理可得,
…
∴．
∴点的坐标为，
故答案为：．
18．（1）；（2）
解：（1）原式
；
（2）解：
19．，
【分析】利用配方法求解即可；
【详解】解：
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，。
20．(1)，；
(2)补全条形统计图见解析；
(3)“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
(4)估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
（1）解：本次调查活动随机抽职人数为（人），
∴，则，，则，
故答案为：，；
（2）解：由（）得，本次调查活动随机抽职人数为人，“混动”类所占比为，
∴“混动”类人数（人），
补全条形统计图如图，
（3）解：解：由（）得，“混动”类所占比为，
∴“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（4）解：（人），
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
21．(1)见解析
(2)
（1）解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
，
，
．
22．(1)70
(2)
(3)小时或6小时
（1）解：由函数图象可知：甲车的速度是千米/时；
故答案为：70；
（2）解：由图象可知：乙车的速度是千米/时；
∴乙车从C地到达A地所用的时间为小时，
∴乙车从B地到达A地所用的时间为小时，
∴点F的坐标是，
设线段所在直线的函数解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：由题意可得：，
，
若两车之间的距离为240千米，
则当乙车到达C地之前时，，即，
解得：（不合题意，舍去）
当乙车从C地到达A地前，，即，
解得：或，
答：乙车行驶小时或6小时时，两车之间的距离为240千米．
23．（1）①HL②（2）点M是边的三等分点，证明见解析
（3） ①3；②3或12
解：（1）如图：连接，
∵正方形沿折叠，
，，
又，
（）
．设，
∵E是的中点，则，
在中，可列方程：．
解得： ，即H是边的三等分点．
故答案为：，．
（2）点M是边的三等分点，
证明如下：
分别是的中点，正方形，
∴，
，，
，
，
∵，
∴，
，即．
∴点M是边的三等分点．
（3）①分别是的中点，
∴，
结合折叠的性质可得：．，，
∴，
∵，
．
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，，则，，，，
∴，
∴，整理得：，解得：或（舍弃），
∴，
∴；
②如图∶当点H在线段上时，则，
设，则
∴在中，由勾股定理得，，解得：；
；
如图∶当点H在的延长线上时，连接，
∵正方形的边长为6，
，．
由折叠的性质得∶，
又∵，
，
．
设．
，．
在，由勾股定理，可知，
，解得．
综上所述，的长为3或12．
24．(1)
(2)的周长的最大值为
(3)存在，或或
(4)
（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则；
令，则，
，
抛物线经过、两点，
，
解得： ，
；
（2）设，则 ， ，
， ，
，
点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），
，
，
的周长为： ，
， ，
，
，
，
，
，
的周长为： ，，
时，的周长最大值为 ；
（3）存在点，或或；
由（2）可知： ，
此时可得： ，
，
抛物线的对称轴为： ，
则点的横坐标为，
，
，
设 ，
①当为平行四边形的边时，且点在点的左侧，
此时： ，
点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
则点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
点的横坐标为，
，
将其代入抛物线解析式得： ，
，
②当为平行四边形的边时，且点在点的右侧，
同理可知：将点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
此时 ，
代入抛物线解析式得： ，
，
③当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得：
，
，
代入抛物线解析式得： ，
综上所述：或或；
（4）在轴上截取 ，连接 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ，
在直角三角形中， ，
的最小值为 ．