江西省新余市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷（含详解）

江西省新余市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．记为递减等差数列的前n项和，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
5．2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
6．已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．
D．
二、多选题
9．下列函数在上是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．设，则的最小值为12
C．若对任意的恒成立，则
D．设，若数列的前n项和为，则
11．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的面积的最小值为 D．的面积大于
三、填空题
12．设函数，则 ．
13．已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为 ．
14．已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则 ．
四、解答题
15．在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
16．已知函数，为的导函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值．
17．数列和它的前项的和满足.
（1）求证：数列是等比数列，并求出该数列的通项公式；
（2）已知，.
①求；
②是否存在、、，且，使得、、成等差数列？如果存在，求出、、，如果不存在，请说明理由.
18．在三棱锥中，，，与平面所成的角为．
(1)若，，如图，过点作平面，分别交，于点，．
①求证：平面；
②设，为平面内的动点，求周长的最小值．
(2)若，，求二面角的取值范围．
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
江西省新余市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A D C C C AB ACD
题号 11
答案 ABD
1．A
【详解】因为集合，，
则，
则.
故选：A.
2．D
【详解】“”的否定是“”.
故选：D
3．A
【详解】由，则，若数列公差为，则，
∴，且，可得，故，，
∴.
故选：A
4．A
【详解】函数的图象如图所示，
当时，；当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
有极大值，无极小值，
故选：.
5．D
【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影，
有两人看《哪吒》，则有种方案，有一人看《哪吒》电影，则有种方案，
即满足小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案.
故选：D.
6．C
【详解】当时，单调递增且，此时至多有一个零点，
若有三个零点，则时，函数有两个零点；
当时，，故；
当时，要使有两个零点，
则，
所以，又，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
7．C
【详解】，，
又，，故C错误；
，，，故A正确；
，，故B正确；
，故D正确.
故选：C.
8．C
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于点对称，
所以关于对称，
又，
所以函数的图象关于点对称，A正确；
因为函数的图象关于点对称，
所以的图象关于原点对称，
所以，
所以，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，
所以函数的图象关于直线对称，B正确；
因为是奇函数，所以，
所以，即
又，
所以，
所以函数为周期函数，周期为4，
所以，
又，所以，
所以，故，D正确；
设，则，，
满足所给条件，但，所以C错误.
故选：C.
9．AB
【详解】对于A，，在上单调递增，故A正确；
对于B，，在上单调递减，故B正确；
对于C，，令，令，
故在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，，令，令，
在上单调递减，在上单调递增，故D错误；
故选：AB.
10．ACD
【详解】对于选项A：因为，
所以当时，，当时，，
因为为等比数列，所以，即，解得，
此时符合，则，，即为等比数列，故A正确；
对于选项B：因为，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以不能取到，故B错误；
对于选项C：因为，
所以当时，，当时，，则，
因为符合上式，所以，
若对任意的恒成立，则对恒成立，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
所以，则，故C正确；
对于选项D：由题意得，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【详解】设在上的投影为与轴交于点，因为两点在上，则，
又，则，得，A正确；
设A在上的投影为，则，所以，
又，则，
即，为等边三角形，
则，，B正确；
若在第四象限，设，则，
，令，
则，
则，当且仅当时取最小值，易知错误；
易知，所以，当且仅当轴时取等号，
由C知，此时，故，D正确.
故选：ABD

12．/
【详解】.
故答案为：
13．
【详解】，当时，，
当时，，
当时也满足，故；
又，当时，，，
当时，，，即，
是首项为，公比为的等比数列，，
数列是数列的公共项，
又，，，，
，，，
，，，，且为单调递增数列，
满足的的最大值为.
故答案为：.
14．2
【详解】由②及题设条件，得.
由①，知为增函数，得，即
即.
令，则.
又为增函数，所以，即，所以，
故.
故答案为：2.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）因为，
所以.
16．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
则，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由，，则，
所以，
则，
因为函数在处取得极值，
所以，解得，
此时，
则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则时，函数取得极小值，满足题意，即，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数取得最小值，无最大值.
17．（1）证明见解析，；（2）①；②不存在，详见解析.
【详解】（1）当时，，得；
当时，①，②，
①②，得，，则.
是以为首项与公比的等比数列，；
（2）①，
；
②假设存在、、，且，使得、、成等差数列，则.
去分母，整理得，
（*）
、、三个互不相等，且，不妨设，，.
，.
显然等式（*）不成立，、、不可能成等差数列.
18．(1)①证明见解析；②1；
(2).
【详解】（1）（i）由⊥平面，平面，得⊥，
由，得⊥平面BCD，而平面，则⊥，
又，，平面，则⊥平面，
又平面，则⊥，而，平面，
所以平面PCD；
（ii）由，得，，则，
过点作，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，得，，
则，，，
则平面的一个法向量为，
设点关于平面对称的点为，则，
，要最小，则需三点共线，
此时的最小值为的长，其中，且，
则且，而，解得，
故，；
所以△CGH周长的最小值为.
（2）PB与平面BCD所成的角，
以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，故，
PB与平面BCD所成的角，，则点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆，
设，，
设平面的法向量为，则，
令，得，平面的法向量为，
设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，，
则，
令，则，
又在上单调递减，因此，
所以二面角的取值范围为.
19．(1)答案见解析；
(2)（i），（ii）证明见解析.
【详解】（1）由定义域为，且，
令得，或，
①当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
②当时，，在单调递增，
③当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
综上：
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为.
（2）（i）由已知，，则，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
（ii）由（i）知，，，且，
，
要证，即证，只需证，
令，，则，
因为恒成立，所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
∵在上显然单调递增，
∴，
∴，即，得证．