(共36张PPT)
1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用。（重点）
2.理解完全平方公式的结构特征，灵活运用完全平方公式进行计算。（难点）
3.体会数学整体思想，发展运算能力。
观察下列算式及其运算结果， 你有什么发现？
(m + 3)2 = (m + 3) (m + 3)
= m2 + 3m + 3m + 9
= m2+ 2×3m + 9
= m2 + 6m + 9
(2 + 3x)2 = (2 + 3x) (2 + 3x)
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
= 4 + 2×2×3x + 9x2
= 4 + 12x + 9x2。
(m + 3)2 =
m 2 + 2×3m + 32
(2 + 3x)2 = 22 + 2×2×3x + （3x）2
知识点1 完全平方公式的认识
猜想：(a + b)2= 。
a 2 + 2ab + b2
再举两例验证你的发现。
(3x + 5)2
(2m + 3n)2
猜想：(3x + 5)2= 。
9x2+30x+25
(3x + 5)2 = (3x + 5) (3x + 5)
= (3x) 2 + 5×3x + 5×3x + 25
= 9x2 + 2×5×3x + 25
= 9x2 + 30x + 25
与猜想结果一致。
猜想：(2m + 3n)2= 。
4m2+12mn+9n2
(2m + 3n)2 = (2m + 3n) (2m + 3n)
= (2m) 2 + 2m×3n + 3n×2m + (3n) 2
= 4m2 + 2×2m×3n + 9n2
= 4m2+12mn+9n2
与猜想结果一致。
(a + b)2=a 2 + 2ab + b2。
用自己的语言描述这一公式。
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。
思考·交流
1. 你能用下图解释这一公式吗？
b
a
b
a
（1）大正方形的边长为 ，面积为： 。
（a+b）2
（a+b）
（2）大正方形的面积也可以表示为两个小正方形面积与两个长方形面积的和，分别表示出它们的面积。
a2
b2
ab
ab
则大正方形的面积也可以表示为： 。
a2+2ab+b2
（3）比较（1）和（2）的结果，你能验证这个公式吗？
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
思考·交流
2. 如何计算（a – b）2 ？你是怎样做的？
（a – b）2
=（a – b）（a – b）
=a2 – 2ab+ b2
（a – b）2
=[a + （– b）]2
=a2 + 2a（– b）+ （– b）2
=a2 – 2ab+ b2
(a – b)2=a 2 – 2ab + b2。
用自己的语言描述这一公式。
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。
尝试·思考
请你设计一个图形解释这一公式。
b
a
b
a
如右图，用不同的方式表示阴影部分的面积。
（1）阴影部分正方形的边长为： ，
面积为： 。
（a – b）
（a – b）2
（2）阴影部分正方形面积也可以表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积。
ab
b（a–b）
a2 – ab – b（a – b）
=a2 – ab – ab +b2
=a2 – 2ab +b2
（3）比较（1）和（2）的结果验证这个公式。
（a – b）2
a2 – 2ab +b2
=
(a + b)2=a 2 + 2ab + b2。
(a – b)2=a 2 – 2ab + b2。
完全平方公式
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
例5
利用完全平方公式计算：
（1） (2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2。
(2x)2 – 2 2x 3 + 32
=4x2 – 12x + 9
解：（1） (2x – 3)2=
（2） (4x + 5y)2=
(4x)2 + 2 4x 5y + (5y)2
=16x2 + 40xy + 25y2
（3） (mn – a)2=
(mn)2 – 2 mn a + a2
=m2n2 – 2amn + a2
1.计算(a – 1)2的结果是 ( )
A.a2 – a + 1 B.a2 – 2a + 1 C.a2 – 2a – 1 D.a2 – 1
B
2.下列计算结果为2ab – a2 – b2的是 ( )
A．(a – b)2 B．( – a – b)2
C． – (a + b)2 D． – (a – b)2
D
3.计算：（教材P21 随堂练习T1）
（1）( x – 2y)2； （2）(2xy + x)2； （3）(n + 1)2 – n2。
2
1
5
1
解：（1） ( x – 2y)2=
2
1
( x)2 – 2 x 2y + (2y)2
2
1
2
1
= x2 – 2xy + 4y2
4
1
（2） (2xy + x)2=
5
1
(2xy)2 + 2 2xy x + ( x)2
5
1
5
1
=4x2y2 + x2y + x2
5
4
25
1
（3）(n + 1)2 – n2=
n2 + 2n + 1 – n2
= 2n + 1
知识点2 完全平方公式的运用
思考：怎样计算1022，1972更简便呢？
102与197都接近整百数，写成整百数加（或减）一个数来计算能否简便呢？
1022可以写成（100 + 2）2；
1972可以写成（200 – 3）2。
1022=（100 + 2）2
=1002 + 2×100×2 + 22
=10 000 + 400 + 4
=10 404
1972=（200 – 3）2
=2002 – 2×200×3 + 32
=40 000 – 1 200 + 9
=38 809
将原数转化成符合完全平方公式特点的形式，可以简化运算。
总结归纳
完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a + b)2 或者(a b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解。
例6
（1）(x + 3)2 – x2； （2）(a + b + 3)(a + b – 3)；
（3） (x + 5)2 – (x – 2) (x – 3) ； （4）[(a+b)(a-b)]2。
=x2 + 6x + 9 – x2
=6x + 9；
解：（1）(x + 3)2 – x2
计算：
= [(a + b )+ 3][(a + b )– 3]
=(a + b )2 – 32
（2） (a + b + 3)(a + b – 3)
=a2 + 2ab + b2 – 9 ；
例6
计算：
= x2 + 10x + 25 – (x2 – 5x + 6)
=x2 + 10x + 25 – x2 + 5x – 6
（3） (x + 5)2 – (x – 2) (x – 3)
=15x + 19；
（1）(x + 3)2 – x2； （2）(a + b + 3)(a + b – 3)；
（3） (x + 5)2 – (x – 2) (x – 3) ； （4）[(a + b)(a - b)]2。
=(a2 - b2)2
=a4 - 2a2b2 + b4。
（4）[(a + b)(a - b)]2
总结归纳
对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算。
观察·思考
观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗 请用所学的公式解释自己的结论。。
解：(m+n)×(m+n)=m2+2mn+n2
m×m+n×n=m2+n2
观察·思考
观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗 请用所学的公式解释自己的结论。。
(m+n)×(m+n)≠m×m+n×n。
所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和不一样多。
知识拓展
完全平方公式 变形
(a + b)2 = a2 +
2ab + b2 ①a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
②2ab = (a + b)2 – (a2 + b2)
(a – b)2 = a2 –
2ab + b2 ①a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
②2ab = (a2 + b2) – (a – b)2
③(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
④(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
常见的完全平方公式的变形。
总结归纳
知道(a + b)2 ，(a – b)2 ，a2 + b2 ，ab中任意两个的值，可以求其余两个。
1. 若(a + b)2＝(a – b)2 + A，则A为 ( )
A．2ab B． – 2ab
C．4ab D． – 4ab
C
2. 已知a + b=3，a2 + b2=5，则ab= 。
2
3. 利用整式乘法公式计算：（教材P24 随堂练习）
(1)962； (2)(a – b – 3) (a – b + 3)。
=（100 – 4）2
=1002 – 2×100×4 + 42
解：（1）962
=10 000 – 800 + 16
=9 216
= [(a – b ) – 3][(a – b ) + 3]
=(a – b )2 – 32
（2） (a – b – 3)(a – b + 3)
=a2 – 2ab + b2 – 9
1.下列计算正确的是 ( )
A. (x + y)2=x2 + y2
B. (x – y)2=x2 – 2xy – y2
C. (x + 2y)(x – 2y)=x2 – 2y2
D. ( – x + y)2=x2 – 2xy + y2
D
2．将( – a + b – 1)(a + b + 1)化为(m + n)(m – n)的形式为( )
A．[b + (a + 1)] [b – (a – 1)]
B．[b + (a + 1)] [b – (a + 1)]
C．[b + (a + 1)] [b – ( – a + 1)]
D．[b + (a + 1)] [b – ( – a – 1)]
B
3.若x2 + 6x + k是完全平方式，则k等于( )
A．9 B．– 9
C．±9 D．±3
A
4. 已知x – y = 7，xy = 2，则x2 + y2的值为 ( )
A．53 B．45
C．47 D．51
A
5. 若a + b = 3，a2 + b2 = 7，则ab等于 ( )
A．2 B．1
C． – 2 D． – 1
B
6.若代数式x2 + kx + 25是一个完全平方式，则k= 。
10或–10
7.下面各式的计算是否正确？若不正确，请改正。
(x + y)2= x2 + y2
(2)(x – y)2 =x2 – y2
(3) (x – y)2 =x2 – 2xy – y2
(4) (2x + y)2 =4x2 + 2xy + y2
不正确，原式=x2 + 2xy + y2
不正确，原式=x2 – 2xy + y2
不正确，原式=x2 – 2xy + y2
不正确，原式=4x2 + 4xy + y2
8.运用乘法公式计算:
(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3) ; (2) (a + b + c)2。
= [x + (2y – 3)][x – (2y – 3) ]
=x2 – (2y – 3)2
解：（1） (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)
=x2 – (4y2 – 12y + 9)
=x2 – 4y2 + 12y – 9
=[a + (b + c)]2
=a2 + 2a(b + c) +(b + c)2
（2）(a + b + c)2
=a2 + 2ab + 2ac +b2 + 2bc + c2
完全平方公式
内容
验证方法
结果是三项，不要忘记中间项
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
符号表示
(a + b)2=a 2 + 2ab + b2
(a – b)2=a 2 – 2ab + b2
等面积法
注意事项
中间项的符号要正确
完全平方公式的应用
计算数的平方
找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a + b)2 或者(a b)2 的形式。
公式的变形
计算多项式之积
可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，再运用公式计算。
知二求二，熟练掌握公式的各种变形。(共22张PPT)
1. 下列多项式相乘时，可用完全平方公式计算的是 （ ）
A.（m+2n）（2m-n） B.（-2m-n）（2m+n）
C.（-m-2n）（2m-n） D.（2m-n）（-2m-n）
础
基
练
知识点1 完全平方公式的认识
B
2. 下列运算正确的是 （ ）
A.（-a+b）（a+b）=a2-b2
B.（a-b）2=a2-b2
C.（-a-b）（a+b）=-a2-b2
D.（-a+b）2=（a-b）2
D
4. 原创题 数学文化 如图，我国古代的赵爽弦图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。若已知直角三角形的较长直角边和较短直角边分别为a和b，大正方形的面积为a2+b2，则可以得到关于小正方形面积的恒等式为 （ ）
A.（a+b）（a-b）=a2-b2
B.（a+b）2=（a-b）2+4ab
C.（a+b）2=a2+2ab+b2
D.（a-b）2=a2-2ab+b2
D
知识点2 完全平方公式的几何背景
A
知识点3 完全平方公式的逆用
6. （易错题）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是x2+（■-1）xy+9y2，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数可能是________。
7或-5
7. 计算：1032=________。
10 609
知识点4 利用完全平方公式进行计算
解：原式=1-2x2y2+x4y4。
（3）（x+2y-3z）（2y+3z+x）；
（4）（2x+y）2-（2x+3y）（2x-3y）。
解：原式=［（x+2y）-3z］［（x+2y）+3z］
=（x+2y）2-（3z）2=x2+4xy+4y2-9z2。
解：原式=（2x+y）2-［（2x）2-（3y）2］
=4x2+4xy+y2-4x2+9y2=4xy+10y2。
9. 若a+b=7，ab=10，则a2+b2的值为 （ ）
A. 17 B. 29 C. 25 D. 49
B
知识点5 完全平方公式的变形
10. （河南郑州郑东新区期末）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x，y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为 100，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是 （ ）
A. x+y=10
B. x-y=2
C. xy=24
D. x2+y2=100
D
7
12. 对于等式（2x+□）2=4x2+12xy+△，△代表的是 （ ）
A. 3y B. 9y C. 9y2 D. 36y2
C
升
提
练
13. 三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，小明用这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝且不重叠），现有A类16块，B类48块，那么小明所用C类地砖块数为 （ ）
A. 36 B. 24 C. 12 D. 6
A
14. 如图所示的是正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分）多6.25 m2，则主卧与客卧的周长差是 （ ）
A. 5 m B. 6 m
C. 10 m D. 12 m
C
15. 已知a+b=8，ab=c2+16，则a+2b+3c=________。
12
16. 新情境 数学文化 杨辉三角可以解释二项式和的乘方规律，观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
……
请你猜想（a+b）6的展开式中第三项的系数是________。
15
17. （1）化简：（a+1）2-（a+1）（a-1）-a（a-2）；
（2）若 a 满足条件 a2-4a+1=0，求（1）中代数式的值。
解：（1）原式=a2+2a+1-（a2-1）-a2+2a
=a2+2a+1-a2+1-a2+2a
=-a2+4a+2。
（2）因为a2-4a+1=0，所以a2-4a=-1，
所以原式=-（a2-4a）+2=-（-1）+2=1+2=3。
18. 新定义 新运算问题 对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）。我们规定：（a，b） （c，d）=a2+d2 bc。例如：（1，2） （3，4）=12+42 2×3=11。
（1）若（2x，kx） （y， y）是一个完全平方式，求常数k的值；
养
素
练
解：（1）（2x，kx） （y，-y）
=（2x）2+（-y）2-kxy=4x2-kxy+y2。
因为4x2-kxy+y2是一个完全平方式，
所以k=4或-4。
（2）若2x+y=12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x 3y）=104，求xy的值；
解：（2）（3x+y，2x2+3y2） （3，x 3y）
=（3x+y）2+（x-3y）2-3（2x2 + 3y2）
=9x2 + 6xy + y2 + x2-6xy + 9y2-6x2-9y2
=4x2+y2=（2x+y）2-4xy=104。
因为2x+y=12，所以122-4xy=104，所以xy=10。
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E，G分别在CD，BC边上，连接BD，BF，DF，EG。若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积。3 乘法公式
课题 第2课时 完全平方公式 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P20-24
教学目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用。 2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.
教学重难点 重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述。 难点：会用完全平方公式进行运算。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？： （m+3）2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9 （2+3x）2=(2+3x)(2+3x) =4+2×3x+2×3x+9x2 =4+12x+9x2 师生活动：对多项式乘多项式的运算法则进行回顾复习，请学生计算回答上述问题，观察两个算式的结果，为本节课对于完全平方公式的认识和应用奠定基础。（教师板书课题： 第2课时 完全平方公式） 学生观察发现：(a+b)2=a2+2ab+b2 与引入平方差公式的想法一样，让学生观察等式的特点，通过对比等式两边代数式的结构，得到一般性的结论。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 1.再举两例验证你的发现。 2.你能用自己的语言叙述这一公式吗 学生活动：举例验证(a+b)2=a2+2ab+b2，用自己的语言描述这一公式。 猜想：(3x + 5)2=9x2+30x+25； (2m + 3n)2=4m2+12mn+9n2。 (3x + 5)2 = (3x + 5) (3x + 5) =(3x)2 + 5×3x + 5×3x + 25 = 9x2 + 2×5×3x + 25 = 9x2 + 30x + 25 与猜想结果一致。 (2m + 3n)2 = (2m + 3n) (2m + 3n) =(2m)2 + 2m×3n + 3n×2m + (3n)2 = 4m2 + 2×2m×3n + 9n2 = 4m2+12mn+9n2 与猜想结果一致。 【归纳总结】 (a+b)2=a2+2ab+b2 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。 思考·交流 （1）你能用下图解释这一公式吗 师生活动：图中最大正方形的面积可以用两种方法表示。 方法1：大正方形的边长为a+b，所以面积可以表示为（a+b）2； 方法2：图中大正方形面积等于图中4个部分面积的和，表示为a2+2ab+b2。 因为这两个代数式表示的是同一个正方形的面积，所以我们可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2。 教师引导学生归纳完全平方公式并用自己的语言描述这一公式。 （2）如何计算(a-b)2 你是怎样做的 与同伴进行交流。 师生活动：先让学生自己计算并比较结果与方法.学生在计算时主要有两种不同的方法： （1）按照多项式乘多项式的法则进行计算，（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-2ab+b2； （2）按照两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍进行计算，即（a-b）2=[a+（-b）]2 =a2+2a（-b）+（-b）2 =a2-2ab+b2 教师引导学生观察算式（a-b）2=a2-2ab+b2，总结归纳，并用自己的语言描述这一公式.学生容易得到式子的左边是两个数的差，式子右边是两数的平方和减去这两数积的2倍。 【归纳总结】 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数和的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。 尝试·思考 请你设计一个图形解释这一公式。 师生活动：如下图，用不同的方式表示阴影部分的面积。 方法1：阴影部分正方形的边长为a-b，所以面积可以表示为（a-b）2； 方法2：图中阴影部分面积等于图中大正方形面积减去空白部分面积，表示为a2-2ab+b2。 因为这两个代数式表示的是同一个正方形的面积，所以我们可以得到(a-b)2=a2-2ab+b2。 学生自主完成问题，然后组内交流，教师引导学生类比上面公式(a+b)2=a2+2ab+b2的几何证明过程对(a-b)2=a2-2ab+b2进行几何解释，最后利用多媒体出示结果。 【教材例题】 例5 利用完全平方公式计算： （1）(2x-3)2； （2）(4x+5y)2； （3）(mn-a)2。 师生活动：让学生先观察，自己完成题目，教师引导学生利用完全平方公式写出过程，完成后请一位同学口述，教师给出板书演示。 （1）(2x-3)2 =(2x)2-2 2x 3 + 32 =4x2-12x + 9。 （2）(4x+5y)2 =(4x)2 + 2 4x 5y + (5y)2 =16x2 + 40xy + 25y2。 （3）(mn-a)2 =(mn)2-2 mn a + a2 =m2n2 - 2amn + a2。 【探究2】 怎样计算1022，1972更简便呢？102与197都接近整百数，写成整百数加（或减）一个数来计算能否简便呢？ 师生活动：让学生计算1022，1972，教师巡视，可能有学生会直接计算，然后提出后面的问题，请学生回答，利用多媒体展示过程，引导学生发现两种方法的异同。 1022可以写成（100+2）2，1972可以写成（200-3）2，得到： 1022=（100+2）2 =1002+2×100×2+22 =10 000+400 + 4 =10 404。 1972=（200-3）2 =2002-2×200×3+32 =40 000-1 200+9 =38 809。 学生发现：将原数转化成符合完全平方公式特点的形式，可以简化运算。 【归纳总结】 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解． 【教材例题】 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3)(a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 师生活动：让学生先观察、计算，然后组内交流，教师引导学生口述，教师给出板书演示。 （1）(x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9。 （2）(a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9。 （3）(x+5)2-(x-2)(x-3) =x2+10x+25-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19。 观察·思考 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗 请用所学的公式解释自己的结论。 师生活动：教师先让学生自己思考，然后在小组内交流自己的想法和解题过程，交流结束后请几位同学回答自己的解题过程。 解：(m+n)×(m+n)=m2+2mn+n2， m×m+n×n=m2+n2， (m+n)×(m+n)≠m×m+n×n。 通过几何直观的方法对(a+b)2=a2+ 2ab+b2进行解释，不仅使学生更清晰地“看到”公式的结构，同时感受这样的抽象代数运算也有直观的背景。 呈现得到公式的两种方法：直接计算或利用上面总结的公式。让学生观察、思考、总结、归纳，掌握基本的数学活动经验，用文字语言表示公式，提高学生运用数学语言的能力。 让学生能够类比“两数和”的情况，利用几何直观对这一结果进行解释。 让学生进一步熟悉，巩固公式。建议先写出详细过程，再逐渐过渡到公式。 通过类比平方差公式进行简便计算，提出问题，体会符号运算对解决问题的作用。 使学生进一步熟悉乘法公式。 通过分析点阵，使学生进一步巩固（a+b）2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解（a+b）2与a2+b2的关系。
3.学以致用，应用新知 考点1 完全平方公式的认识 例 计算：（1）(x-2y)2； （2）(2xy+x)2； （3）(n+1)2-n2。 解：（1）(x-2y)2 =(x)2-2 x 2y + (2y)2 =x2-2xy + 4y2。 （2）(2xy+x)2 =(2xy)2 + 2 2xy x+(x)2 =4x2y2+x2y +x2 =x2 - 4y2 + x2 - 1 =2x2-4y2-1。 （3）(n+1)2-n2 =n2+2n+1-n2 =2n+1。 变式训练 计算： （1）（a﹣b）2； （2）（﹣x2+3y2）2； （3）（﹣a2﹣2b）2； （4）（0.2x+0.5y）2。 解：（1）原式＝a2﹣ab+b2； （2）原式＝x4﹣6x2y2+9y4； （3）原式＝a4+4a2b+4b2； （4）原式＝0.04x2+0.2xy+0.25y2。 考点2 完全平方公式的逆用 例1 若是一个完全平方式，则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或-1 D.-1 答案：C 考点3 利用完全平方公式进行计算 例2 利用整式乘法公式计算： （1）962； （2）(a–b–3)(a–b+3)。 解：（1）962 =（100–4）2 =1002–2×100×4+42 =10 000–800+16 =9 216。 （2）(a–b–3)(a–b+3) =[(a–b)–3][(a–b)+3] =(a–b)2–32 =a2–2ab+b2–9。 变式训练 计算： (1)472-94×27+272； (2)(a+b+c)2。 解：（1）原式=472-2×47×27+272=（47-27）2=202=400。 （2）原式=［(a+b)+c］2(a+b)2+2(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2。 考点4 完全平方公式的变形 例3 已知a+b=6，ab=-27，求下列各式的值。 （1）a2+b2；（2）a2+b2-ab。 解：（1）a2+b2 =a2+2ab+b2-2ab =（a+b）2-2ab =36-2×（-27） =36+54=90。 （2）a2+b2-ab =a2+2ab+b2-3ab =36-3×（-27） =36+81=117。 通过例题讲解，进一步理解完全平方公式，提高学生应用完全平方公式的能力。 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。 通过例题讲解，进一步理解完全平方公式，体会完全平方公式在简便运算中的作用。 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 答案：C 2.下列计算正确的是( ) A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.(-x+y)2=x2-2xy+y2 答案：D 3.将(–a+b–1)(a+b+1)化为(m+n)(m–n)的形式为（ ） A．[b+(a+1)][b–(a–1)] B．[b+(a+1)][b–(a+1)] C．[b+(a+1)][b–(–a+1)] D．[b+(a+1)][b–(–a–1)] 答案：B 4. 已知x–y=7，xy=2，则x2+y2的值为( ) A.53 B．45 C．47 D．51 答案：A 5.若代数式x2 + kx + 25是一个完全平方式，则k=______。 答案：10或-10 6.计算: (1)(4x+0.5)2； （2）(2x2-3y2)2。 解：（1）原式=(4x)2+2×4x×0.5+(0.5)2 =16x2+4x+0.25 （2）原式=(2x2)2-2(2x2)(3y2)+(3y2)2 =4x4-12x2y2+9y4。 7. 利用完全平方公式计算: (1)482； (2)1032。 解：(1)482=(50-2)2=2 500-200+4=2 304。 (2)1032=(100+3)2=10 000+600+9=10 609。 8. 用乘法公式计算： （1）(x+2y–3)(x–2y+3)；（2）（3x+2y-5z+1）（-3x+2y-5z-1）。 解：（1）(x+2y–3)(x–2y+3) =[x+(2y–3)][x–(2y–3)] =x2–(2y–3)2 =x2–(4y2–12y+9) =x2–4y2+12y–9。 （2）（3x+2y-5z+1）（-3x+2y-5z-1） =［(2y-5z)+(3x+1）］［（2y-5z）-（3x+1）］ =（2y-5z）2-（3x+1）2 =4y2-9x2+25z2-20yz-6x-1。 9.（1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和。 方法1：________；方法2：________。 （2）请你直接写出三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系。 （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n=3，m2+n2=25，求mn和（m-n）2的值； ②已知（x-2022）2+（x-2024）2=124，求（x-2023）2的值。 解：（1）a2+b2，(a+b)2-2ab （2）a2+b2=(a+b)2-2ab （3）①因为m+n=3，所以（m+n）2=9=m2+2mn+n2， 因为m2+n2=25，所以2mn=-16，即mn=-8， （m-n）2=m2-2mn+n2=25-（-16）=41。 ②设a=x-2022，b=x-2024，则a-b=2， a2+b2=（x-2022）2-（x-2024）2=124， 所以ab===60， 即（x-2022）-（x-2024）=60， 所以[（x-2023）+1][（x-2023）-1]=（x-2023）2-1=60， 即（x-2023）2=61。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1. 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。 符号表示：(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2。 2.完全平方公式的应用： （1）计算数的平方：找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a b)2的形式； （2）计算多项式之积：可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，再运用公式计算； （3）完全平方公式的变形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P24习题1.3中的T3、T4、T5、T7、T8、T9、T11、T12。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 完全平方公式的认识例1 (a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2。投影区例2 完全平方公式的应用学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 完全平方公式是多项式乘多项式运算的直接结果，是多项式乘多项式运算的一种特殊情况。教师引导学生归纳完全平方公式时，可以让学生多举几个例子来验证。 本课时通过几何直观的方法对完全平方公式进行解释，让学生建立数形结合的意识。在教学过程中，为了保证基本的运算技巧，要适当、分阶段地提供一些必要的训练，使学生能够准确地运用完全平方公式进行简单的运算。 授课过程中，应注重让学生总结公式的特点，说明运用公式过程中容易出现的问题和需要特别注意的细节。有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算，学生应掌握完全平方公式的常见变形。 反思，更进一步提升。
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