2 探索直线平行的条件
课题 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P44-46
教学目标 1.理解内错角、同旁内角的概念，掌握内错角、同旁内角的特征及判断。 2.掌握从内错角、同旁内角判断两直线平行，能够运用其解决实际问题。
教学重难点 重点：掌握“内错角相等两直线平行”“同旁内角互补两直线平行”两种判定方法。 难点：正确证明和运用两种判定方法，证明两直线平行。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 李老师有一块小画板（如下图），他想知道它的上、下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB。 李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎么做的吗？ 师生活动：让学生独立思考，相互交流，通过前面的教学，学生能够较快地想到探索内错角的关系来判断两直线平行，但是主动考虑到去测量同旁内角的不多，教师可以适时地对学生进行启发。 教师活动：前面我们学习了根据同位角的数量关系可以直接判断两条直线是否平行，那么不能用同位角的数量关系时该怎么办呢？这节课我们就来学习利用除同位角之外的角来判断两直线平行。（教师板书课题： 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行） 从判断小画板边缘是否平行的情境入手，引导学生思考，当用同位角不能直接判断直线是否平行时，应该怎么办 由此激发学生进一步去探索直线平行的条件。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 如图，直线AB，CD被直线l所截。 图中∠1与∠2这样位置关系的角有什么特点？∠1与∠3这样位置关系的角呢？说说你的看法。 师生活动：教师引导学生类比对同位角的描述来发现和描述内错角、同旁内角的特点。 具有∠1与∠2这样位置关系的角，在两条被截直线的内部，在截线的两侧，这样的角称为内错角；像∠1与∠3这样位置关系的角，在两条被截直线的内部，在截线的同旁，这样的角称为同旁内角。 思考·交流 （1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ （2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 学生活动：在前面观察、归纳的基础上，通过独立思考和交流，学生会发现：当内错角相等时，两条直线平行；当同旁内角互补时，两条直线平行。 理由如下：如图， （1）因为∠2=∠3（对顶角相等）， 当∠1=∠2时，∠1=∠3， 所以l1∥l2（同位角相等，两直线平行）。 （2）因为∠2=∠3，当∠2+∠4=180°时，∠3+∠4=180°。 又∠1+∠4=180°，所以∠1=∠3， 所以l1∥l2（同位角相等，两直线平行）。 【归纳总结】 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 观察·交流 （1）如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。 (2)以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗 师生活动：BC与AE平行。 因为∠BCA=∠CAE， 所以BC∥AE。（内错角相等，两直线平行） (3)在上图中再找出一组平行线，说说你的理由，并与同伴进行交流。 学生回答：①BA与CE平行。 因为∠BAC=∠ACE， 所以BC∥AE。（内错角相等，两直线平行） ②AC与ED平行。 因为∠ACE=∠CED， 所以AC∥ED。（内错角相等，两直线平行） 【探究2】 如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN∥AB。 作法与示范： 作法示范1.在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。2.以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB。 PN边所在的直线MN就是要作的直线。
师生活动：教师引导学生依据尺规作角的作法，联合本节学行线的判定作出平行线。 学生思考并作图，教师巡视，大部分学生完成后请两位同学上台作图并解释这样作图的理由。 引导学生概括出图中∠1与∠2，∠1与∠3这样位置关系的角的特点，由此得到对内错角、同旁内角的初步认识。 充分发挥每一个学生的积极性，尽可能的找到多种方法，学生之间互相启发，博采众长。在学生交流的基础上，教师再利用课件展示，进一步验证结论，从而引导学生得出结论。 目的在于直接引导学生直接应用直线平行的条件来寻找平行线，提升学生的语言表达能力和推理能力。
3.学以致用，应用新知 考点1 认识内错角、同旁内角 例1 观察下图并填空： (1)∠1与_______是同位角； (2)∠5与_______是同旁内角； (3)∠2与_______是内错角。 答案：(1)∠4 (2)∠3 （3）∠1 变式训练 如图所示，∠B与∠1是一对（） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 答案：C 考点2 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 例2 当图中各角分别满足下列条件时，你能指出哪两条直线平行吗？ (1)∠1＝∠4； (2)∠2＝∠4； (3)∠1＋∠3＝180°。 答案：(1)a∥b (2)l∥m (3)l∥n 变式训练 如图，下列推理错误的是（ ） A．若∠1＝∠2，则c∥d B．若∠3＝∠4，则c∥d C．若∠1＝∠3，则a∥b D．若∠1＝∠4，则a∥b 答案：C 通过例题讲解，巩固练习相关知识，一方面加深学生理解，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，提高学生应用知识的能力。
4.随堂训练，巩固新知 1.在我们常见的英文字母中，也存在着同位角、内错角、同旁内角，在下面几个字母中，含有内错角最少的字母是( ) 答案：C 2.如图，直线AB，CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是( ) A.∠1 B.∠2 C.∠4 D.∠5 答案：B 3.如图，下列推理中正确的是( ) A.因为∠B=∠D，所以AB∥CD B.因为∠BAC=∠ACB，所以AD∥BC C.因为∠B+∠BAC=180°，所以BC∥AD D.因为∠B+∠BCD=180°，所以AB∥CD 答案：D 4.如图，已知∠1=∠3，AC平分∠DAB，你能判断哪两条直线平行吗？请说明理由。 解：AB∥CD， 理由：AC平分∠DAB，所以∠1=∠2。 因为∠1=∠3，所以AB∥CD。（内错角相等，两直线平行） 5.如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由。 解：AB∥CD。理由如下： 因为BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线， 所以∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2， 又因为∠1+∠2=90°， 所以∠ABD+∠BDC=180°， 所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 2.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P47习题2.2中的T3、T4、T8、T9。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高应用能力和做题效率。
板书设计 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行1.内错角相等，两直线平行。 2.同旁内角互补，两直线平行。投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课一开始，教师就为学生营造一个生动活泼、主动求知的学习环境，并从学生的生活出发，以实例引入问题，较好的激发学生的兴趣.充分体现了以学生为主体，以培养学生思维能力为重点的教学思想.教师以探索任务引导学生自主探究，在经历知识产生和发展的过程中，培养学生的操作、观察、探究、合作、归纳的能力。 与同位角一样，对于内错角、同旁内角的识别也不必做过多练习，特别是一些人为编造的繁难练习要尽量避免。 在探究过程中，学生可能表现出不同的思维习惯和水平.教师不应急于评判各种做法的优劣，而应鼓励学生之间充分交流，引导学生在与他人交流中获益，在与他人的交流中逐步学会用推导的方法得出结论。 反思，更进一步提升。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
1.理解内错角、同旁内角的概念，掌握内错角、同旁内角的特征及判断。
2.掌握从内错角、同旁内角判断两直线平行，能够运用其解决实际问题。（难点）（重点）
李老师有一块小画板（如下图），他想知道它的上、下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了要线段AB。
李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎么做的吗？
知识点1 内错角、同旁内角的认识
4
6
1
5
a
c
b
3
2
7
8
观察∠4与∠6。
（1）都在被截直线的 。
（2）在截线c的 。
之间
两侧
像∠4与∠6这样，两条直线a，b为第三条直线c所截，两个角分别在截线c的两侧，且夹在两条被截直线之间，我们把这样的两个角称为内错角。
1
5
a
c
b
3
2
4
6
7
8
找一找“三线八角”中，其他的内错角。
∠3与∠5
内错角的图形特征：“Z”型。
4
6
1
5
a
c
b
3
2
7
8
观察∠3与∠6。
（1）都在被截直线的 。
（2）在截线c的 。
之间
同侧
像∠3与∠6这样，两条直线a，b为第三条直线c所截，两个角分别在截线c的同侧，且夹在两条被截直线之间，我们把这样的两个角称为同旁内角。
1
5
a
c
b
3
2
4
6
7
8
找一找“三线八角”中，其他的同旁内角。
∠4与∠5
同旁内角的图形特征：“U”型。
总结归纳
位置 图形 结构特点
同位角 截线同侧，
被截线同侧 F型
内错角 截线两侧，
被截线之间 Z型
同旁内角 截线同侧，
被截线之间 U型
a
c
b
1
2
a
c
b
1
2
a
c
b
1
2
1. 如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
B
2.观察右图并填空：（教材P46 随堂练习T1）
(1)∠1与_______是同位角；
(2)∠5与_______是同旁内角；
(3)∠2与_______是内错角。
∠4
∠3
∠1
（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
思考·交流
知识点2 利用内错角、同旁内角判断两直线平行
（2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
猜想：（1）内错角相等时，两直线平行；
（2）同旁内角互补时，两直线平行。
（1）当∠1=∠2时，l1∥l2。
因为∠2=∠3（对顶角相等），
当∠1=∠2时，∠1=∠3，
所以l1∥l2（同位角相等，两直线平行）。
（2）当∠2+∠4=180°时，l1∥l2。
因为∠2=∠3，当∠2+∠4=180°时，∠3+∠4=180°。
又∠1+∠4=180°，
所以∠1=∠3，
所以l1∥l2（同位角相等，两直线平行）。
平行线的判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
总结归纳
平行线的判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。
观察·交流
B
C
A
E
D
BC与AE平行。
因为∠BCA=∠CAE，
所以BC∥AE。（内错角相等，两直线平行）
你还能找出另一组吗？
B
C
A
E
D
BA与CE平行。
因为∠BAC=∠ACE，
所以BC∥AE。（内错角相等，两直线平行）
如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。
观察·交流
尝试·思考
如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN∥AB。
1.在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。
2.以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB。
PN边所在的直线MN就是要作的直线。
O
C
D
M
N
1. 如图，下列推理错误的是( )
A．若∠1＝∠2，则c∥d
B．若∠3＝∠4，则c∥d
C．若∠1＝∠3，则a∥b
D．若∠1＝∠4，则a∥b
C
2. 当图中各角分别满足下列条件时，你能指出哪两条直线平行吗？（教材P48 随堂练习T2）
(1)∠1＝∠4；
(2)∠2＝∠4；
(3)∠1＋∠3＝180°。
a∥b
l∥m
l∥n
1. 在我们常见的英文字母中，也存在着同位角、内错角、同旁内角，在下面几个字母中，含有内错角最少的字母是( )
C
2. 如图，∠1=40°，∠2=140°，那么直线AB与直线CD平行吗？请说明理由。
解：AB∥CD，
理由：因为∠1=∠3=40°（对顶角相等），
所以∠3+∠2=180°。
所AB∥CD。（同旁内角互补，两直线平行）
3. 如图，已知∠1= ∠3，AC平分∠DAB你能判断那两条直线平行？请说明理由？
）
2
3
A
B
C
D
）
1
（
解：AB∥CD，
理由：AC平分∠DAB，所以∠1=∠2，
因为∠1=∠3，
所AB∥CD。（同旁内角互补，两直线平行）
位置 图形 结构特点
同位角 截线同侧，
被截线同侧 F型
内错角 截线两侧，
被截线之间 Z型
同旁内角 截线同侧，
被截线之间 U型
a
c
b
1
2
a
c
b
1
2
a
c
b
1
2
1. 同位角、内错角、同旁内角
2. 平行线的判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
3. 平行线的判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。(共19张PPT)
1. 下列各图中，∠1与∠2是内错角的是 （ ）
础
基
练
知识点1 认识内错角、同旁内角
B
2. （河南周口项城市期中）如图，与∠D是同旁内角的是 （ ）
A. ∠1
B. ∠2
C. ∠3
D. ∠4
D
3. 如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是 （ ）
A. ∠1与∠2是同位角
B. ∠2与∠4是内错角
C. ∠3与∠4是对顶角
D. ∠1与∠3是同旁内角
B
4. （易错题）下列四种说法：①同位角相等；②内错角相等；③同旁内角互补；④对顶角相等。其中说法一定正确的个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
5. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a b的是 （ ）
A. ∠2=∠5
B. ∠1=∠3
C. ∠5=∠4
D. ∠1+∠5=180°
C
知识点2 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
6. 如图，能够判定DE BC的条件是 （ ）
A. ∠1=∠2
B. ∠4=∠C
C. ∠1+∠3=180°
D. ∠3+∠C=180°
B
7. 【新情境 传统文化】世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前 2 世纪中国的《淮南万毕术》,书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣。”现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的。如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 （ ）
A. 内错角相等，两直线平行
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 对顶角相等
D. 两点确定一条直线
A
8. 如图，在条件：①∠A=∠ACE；②∠B=∠ACE；③∠B=∠ECD；④∠B+∠BCE=90°中，能判定AB CE的条件是________。（填序号）
①③
9. （教材P47T4改编）淇淇用6个相同的三角尺（注：在三角尺ABC中，∠BAC=30°，∠B=60°，∠ACB=90°）拼接成一个如图所示的图形。
（1）请你帮她找出图中的各组平行线；
（2）选择（1）中的一组平行线，进行说明。
解:（1）平行线为BH∥DF，HF∥AD，BD∥AF。
（2）(答案不唯一)选择BH∥DF。因为∠HAB=6×30°=180°，
所以点H，A，B在同一条直线上。因为∠FED=2×90°=180°，
所以点F，E，D在同一条直线上。因为∠B=60°，∠BDF=2×60°=120°，
所以∠B+∠BDF=180°，所以BH∥DF(同旁内角互补，两直线平行)。
10. （山西晋中左权县期中）如图，已知四边形ABCD，点E在AD的延长线上，连接AC，BD，下列说法中正确的是 （ ）
A. ∠2和∠3是同旁内角
B. 若∠1=∠2，则AD BC
C. 若∠BAD=∠CDE，则AB DC
D. 若∠BAD+∠ABC=180°，则AB DC
【解析】A. ∠2和∠3是同位角，说法错误；B. 若∠1=∠2，则AB∥DC，说法错误；C. 若∠BAD=∠CDE，则AB∥DC，说法正确；D. 若∠BAD+∠ABC=180°，则BC∥AD，说法错误。故选C。
D
升
提
练
11. 【新趋势 开放性问题】如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，若满足条件：_________________________，则有AE BF。（要求：不添加辅助线，填一个答案即可）
∠1=∠E（答案不唯一）
【解析】满足条件为∠1=∠E，理由如下：
因为∠1=∠E，
所以AE∥BF(内错角相等，两直线平行)。
12. 【新情境 生产生活】舞蹈诗剧《只此青绿》的横空出世让无数剧迷魂牵梦萦，舞者以绚烂之身，勾勒出如诗如幻的无垠山河，将中国古典式传奇娓娓道来。在表演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制。如图，光线AB与灯带AC的夹角∠A=40°，当光线CD与灯带AC的夹角∠ACD=____________时，CD AB。
40°或140°
【解析】如图，当CB'与AB同侧且∠ACB'=140°时，因为∠A=40°，所以∠ACB'+∠A=180°，
所以CB'∥AB。
B″
B′
13. 【新趋势 过程性学习】在横线上填上适当的内容，完成下面的推理填空。
已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=∠4，
试说明：c d。
解：因为∠1+∠2=180°（________），
∠2+∠3=180°（平角的定义），
所以________=∠3（________________）。
又因为∠3=∠4（已知），
所以∠1=∠4（________），
所以c d（________________________）。
已知
∠1
同角的补角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
解：AB CD，BC DE。理由如下：
因为∠1=60°，所以∠ABC=∠1=60°。
又因为∠2=120°，所以∠ABC+∠2=180°，
所以AB CD。
因为∠2+∠BCD=180°，所以∠BCD=60°。
因为∠D=60°，所以∠BCD=∠D，所以BC DE。
14. （河南许昌长葛市期中）如图，如果∠1=60°，∠2=120°，∠D=60°，那么 AB 与 CD 平行吗？BC 与DE呢？
15. 【新趋势 跨学科融合】光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象。如图，光线 a 从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线 b ，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线 a 与光线 b 是否平行，并说明理由。
解：平行。理由如下：
如图，因为∠1=∠2，∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，
所以∠5=∠6。
因为∠3=∠4，所以∠3+∠5=∠4+∠6，
所以a b。
17.【新趋势 探究性问题】如图，直线 EF 上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，CD与AB在直线EF两侧。若∠DCF=60°，射线AB，CD 分别绕点 A，C 以 1°/s 和6°/s的速度同时顺时针转动，设时间为 t s，在射线 CD 转动一周的时间内，当时间 t 的值为________时，CD与AB平行。
养
素
练
【解析】分三种情况：
①如图1，AB与CD在EF的两侧时，
(180°-60°)÷6°=20，所以02或38
此时∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°，∠BAC=110°-t°。
要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAF，即120°-(6t)°=110°-t°，解得t=2。
②如图2，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
(360°-60°)÷6°=50，所以20此时∠DCF=360°-(6t)°-60°=300°-(6t)°，∠BAC=110°-t°。
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即300°-(6t)°=110°-t°，解得t=38。
③如图3，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，t>50。
此时∠DCF=(6t)°-(360°-60°)=(6t)°-300°，∠BAC=t°-110°。
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即(6t)°-300°=t°-110°，解得t=38。
因为38<50，所以此情况不存在。
综上所述，当时间t的值为2或38时，CD与AB平行。
图1 图2 图3
