(共22张PPT)
1.掌握平行线的性质,会运用两条直线是平行判断角相等或互补。(重点)
2.能够根据平行线的性质进行简单的推理及计算。(难点)
复
习
回
顾
之前我们学行线的判定方法,大家还记得有哪些判定方法吗?
同位角相等,两直线平行;
内错角相等,两直线平行;
同旁内角互补,两直线平行。
条件
结论
若将条件与结论反过来,是否成立呢?
两直线平行,
两直线平行,
两直线平行,
同位角相等;
同旁内角互补。
内错角相等;
知识点 平行线的性质
如右图,直线a与直线b平行。
1
c
b
4
2
3
a
5
8
6
7
(1)测量同位角∠1和∠5的大小,它们有什么关系?
∠1=∠5
还有哪些同位角?它们大小有什么关系?
1
c
b
4
2
3
a
5
8
6
7
还有哪些同位角?它们大小有什么关系?
∠2与∠6;
∠3与∠7;
∠4与∠8。
同位角:
同位角都相等。
改变直线c与直线a所成角的大小再试一试,你能得到相同的结论吗?
c′
能得到。
由此我们可以得到平行线的性质:
平行线的性质1:
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
简述为:两直线平行,同位角相等。
1
c
b
4
2
3
a
5
8
6
7
如右图,直线a与直线b平行。
(2)图中有几对内错角?它们的大小有什么关系?
图中有两对内错角,分别是∠4与∠5,∠3与∠6。
同一组内错角大小相等。
可以用平行线的性质1证明。
1
c
b
4
2
3
a
5
8
6
7
如右图,直线a与直线b平行。
(2)图中有几对内错角?它们的大小有什么关系?
以∠3=∠6的证明为例,∠4=∠5同理可证。
因为a∥b,
所以∠2=∠6(两直线平行,同位角相等)。
因为∠3=∠2(对顶角相等)。
所以∠3=∠6。
平行线的性质2:
两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
简述为:两直线平行,内错角相等。
1
c
b
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3
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5
8
6
7
如右图,直线a与直线b平行。
(3)有了第二问的经验,你能找出图中的同旁内角,并证明“两直线平行,同旁内角互补”吗?
图中有两对同旁内角,分别是∠3与∠5,∠4与∠6。
1
c
b
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2
3
a
5
8
6
7
如右图,直线a与直线b平行。
(3)有了第二问的经验,你能找出图中的同旁内角,并证明“两直线平行,同旁内角互补”吗?
因为a∥b,
所以∠2=∠6(两直线平行,同位角相等)。
因为∠4+∠2=180°。
所以∠4+∠6=180°。
平行线的性质3:
两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简述为:两直线平行,同旁内角互补。
如图,一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2 ,∠3=∠4 。
思考·交流
1
2
3
4
B
E
A
C
D
F
(1)∠1与∠3的大小有什么关系?∠2与∠4呢?
(1)由AB∥DE,可以得到∠1=∠3;
由∠1=∠2,∠3=∠4,可以得到∠2=∠4。
说明理由。
两直线平行,同位角相等
等量代换
如图,一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2 ,∠3=∠4 。
1
2
3
4
B
E
A
C
D
F
(2)反射光线BC与EF也平行吗?
(2)由∠2=∠4,可以得到BC∥EF。
说明理由。
同位角相等,两直线平行
1. 如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为( )
A.40° B.50°
C.130° D.150°
B
2.如图,已知AB∥CD∥EF,FC平分∠AFE,∠C=25°,则∠A的度数是 ( )
A.25°
B.35°
C.45°
D.50°
D
3. 如图所示,AB∥CD,AC∥BD。 分别找出与∠1相等或互补的角。(教材P50 随堂练习)
解:与∠1相等的角有:
∠3,∠5,∠7,∠9,∠11,∠13,∠15;
与∠1互补的角有:
∠2,∠4,∠6,∠8,∠10,∠12,∠14,∠16。
1. 如图,已知a∥b,直角三角尺的直角顶点在直线b上,若∠1=60°,则下列结论错误的是( )
A.∠2=60°
B.∠3=60°
C.∠4=120°
D.∠5=40°
D
2. 如图,直线AB、CD被直线EF所截,如果AB∥CD,∠1=110°,那么∠2=______°。
70
3.如图,已知平行线AB、CD被直线AE所截,∠1=110°。 ∠2,∠3,∠4分别为多少度?为什么?
3
4
1
B
A
C
D
E
2
解:AB∥CD,
∠1=∠2=110°。(两直线平行,同位角相等)
∠1+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∠3=180°-∠1=180°-110°=70°。
∠4=∠3=70°。(对顶角相等)
平行线的性质:
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
简述为:两直线平行,同位角相等。
两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
简述为:两直线平行,内错角相等。
两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简述为:两直线平行,同旁内角互补。3 平行线的性质
课题 第1课时 平行线的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P49-50
教学目标 1.经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算。 2.经历观察、测量、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,能有条理地思考和表达自己的探索过程和结果,从而进一步增强分析、概括、表达能力。
教学重难点 重点:理解平行线的性质。 难点:学会利用平行线的性质解决实际问题。
教学准备 多媒体课件、量角器
教与学互动设计(教学过程) 设计意图
1.创设情景,导入新课 通过前面的学习,你知道判定两条直线平行有哪几种方法吗? 师生活动:教师带领学生回顾复习判定两条直线平行的方法.共有5种方法,如下, (1)平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行线的传递性:平行于同一条直线的两条直线平行。 (3)利用同位角判定两直线平行:同位角相等,两直线平行。 (4)利用内错角判定两直线平行:内错角相等,两直线平行。 (5)利用同旁内角判定两直线平行:同旁内角互补,两直线平行。 教师活动:反过来,如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角又有什么样的关系呢?那么这节课我们就来研究一下.(教师板书课题: 第1课时 平行线的性质) 平行线的性质与判定直线平行的条件是互逆的,复习判定直线平行的条件为后面学习性质做好淮备。
2.实践探究,学习新知 【探究】 如图,直线a与直线b平行。 (1)测量同位角∠1和∠5的大小,它们有什么关系? 学生回答:∠1=∠5。 教师追问:还有哪些同位角?它们大小有什么关系? 学生回答:∠2与∠6;∠3与∠7;∠4与∠8。同位角相等。 教师继续追问:改变直线c与直线a所成角的大小再试一试,你能得到相同的结论吗 学生活动:在练习本上画图,度量各角度数,容易得出结论,猜想仍然成立。 师生活动:教师引导学生归纳平行线的性质1: 两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 (2)图中有几对内错角?它们的大小有什么关系?为什么 学生回答:图中有两对内错角,分别是∠4与∠5,∠3与∠6。同一组内错角大小相等。 教师追问:怎样说明它们相等? 师生活动:可以利用平行线的性质1来说明。过程如下: 因为a∥b,所以∠2=∠6(两直线平行,同位角相等)。 因为∠3=∠2(对顶角相等),所以∠3=∠6。 同理,也可说明∠4=∠5。 由此我们可以得到平行线的性质2: 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。 (3)图中有几对同旁内角?它们的大小有什么关系?为什么? 师生活动:有了第二问的经验,学生容易找出图中的同旁内角,并证明“两直线平行,同旁内角互补”。 因为a∥b,所以∠2=∠6(两直线平行,同位角相等)。 因为∠4+∠2=180°,所以∠4+∠6=180°。 教师让学生自己归纳得到平行线的性质3: 两直线平行,同旁内角互补。 【归纳总结】 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。 简述为:两直线平行,内错角相等。 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简述为:两直线平行,同旁内角互补。 思考·交流 如图,一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2,∠3=∠4。 (1)∠1与∠3的大小有什么关系?∠2与∠4呢? (2)反射光线BC与EF也平行吗? 师生活动:教师鼓励学生用自己的语言说明理由,鼓励他们充分进行交流。 (1)由AB∥DE,可以得到∠1=∠3(两直线平行,同位角相等); 由∠1=∠2,∠3=∠4,可以得到∠2=∠4(等量代换)。 (2)由∠2=∠4,可以得到BC∥EF(同位角相等,两直线平行)。 通过测量、猜想、验证,让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质,然后再在性质1的基础上推理论证性质2,3的正确性。 运用平行线的性质解释光的反射现象,使学生进一步理解平行线的性质与判定两直线平行的方法。
3.学以致用,应用新知 考点1 平行线的性质 例1 如图所示,AB∥CD,AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。 解:与∠1相等的角有: ∠3,∠5,∠7,∠9,∠11,∠13,∠15; 与∠1互补的角有: ∠2,∠4,∠6,∠8,∠10,∠12,∠14,∠16。 变式训练 已知:如图,AB∥CD,CE∥BF。 试说明:∠C+∠B=180°。 解:设CD交BF于点O。 因为AB∥CD,CE∥BF, 所以∠COB+∠B=180°, ∠C=∠COB, 所以∠C+∠B=180°。 考点2 平行线的性质的应用 例2 如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上。如果∠1=20°,那么∠2的度数是( ) A.30° B.25° C.20° D.15° 答案:B 变式训练 如图是一种可调节角度的躺椅及其简化的结构示意图,已知AB∥CD,O是AB上一点,OE与CD交于点G,OF与CD交于点D,DM∥OE,DM与AB交于点N。当OE⊥OF,∠ODC=32°时,躺椅的舒适度最高,求此时∠AOE和∠MNB的度数。 解:因为AB∥CD,∠ODC=32°, 所以∠BOD=∠ODC=32°。 因为OE⊥OF, 所以∠EOF=90°, 所以∠AOE=180°-∠EOF-∠BOD=58°。 因为DM∥OE, 所以∠AND=∠AOE=58°, 所以∠MNB=∠AND=58°。 通过例题讲解,巩固练习相关知识,一方面加深学生理解,从而提高知识的应用能力;另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练,巩固新知 1.如图,AB∥ED,∠ECF=70°,则∠BAF的度数是( ) A.130° B.110° C.70° D.20° 答案:B 2.如图,已知a∥b,直角三角尺的直角顶点在直线b上,若∠1=60°,则下列结论错误的是( ) A.∠2=60° B.∠3=60° C.∠4=120° D.∠5=40° 答案:D 3.如图,已知平行线AB、CD被直线AE所截,∠1=110°。∠2,∠3,∠4分别为多少度?为什么? 解:AB∥CD, ∠1=∠2=110°.(两直线平行,同位角相等) ∠1+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∠3=180°-∠1=180°-110°=70°。 ∠4=∠3=70°。(对顶角相等) 为学生提供自我检测的机会,教师针对学生的学习情况,及时调整授课,查缺补漏。
5.课堂小结,自我完善 1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。 简述为:两直线平行,内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简述为:两直线平行,同旁内角互补。 通过小结,使学生梳理本节课所学内容,掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P53习题2.3中的T1、T2、T7。 课后练习巩固,让所学知识得以运用,提高解决问题的能力和做题效率。
板书设计 第1课时 平行线的性质1.两直线平行,同位角相等。 2.两直线平行,内错角相等。 3.两直线平行,同旁内角互补。投影区学生活动区
提纲掣领,重点突出。
教后反思 本节课研究的内容是平行线的性质,它是在学生学习了判定直线平行的条件之后来进行学习的.本节课一开始,从复习判定直线平行的条件入手,进而引导学生进行平行线性质的探究。 要得出结论当然是重要的,但是探究的过程,更应该重视,这不仅因为结论的得出依赖于过程,而且因为探究的过程也是运用、体验归纳推理的过程,是积累基本的数学活动经验的过程。因此,探索和交流的时间要充分,要鼓励学生运用多种方法进行探索。 反思,更进一步提升。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共20张PPT)
1. 如图,AB CD,点E在AC的延长线上,下列结论一定成立的是 ( )
A. ∠D=∠DCE
B. ∠D+∠DCE=180°
C. ∠1=∠2
D. ∠3=∠4
础
基
练
知识点1 平行线的性质
D
2. (河南模拟)如图,a b,c d,∠1=51°,则∠2的度数为 ( )
A. 151° B. 141° C. 129° D. 119°
C
3. 如图,点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,DE BA,DF CA。图中与∠A不一定相等的角是 ( )
A. ∠BFD B. ∠CED C. ∠AED D. ∠EDF
C
4. (教材P50T1改编)如图,AB CD,AE CF,AB 与 CF相交于点O,则图中与∠BOC互补的角有 ( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
5. 【新趋势 过程性学习】如图,在四边形 ABCD 中,
AD BC,AB DC,点E是AB延长线上一点,
试说明:∠A=∠C。
(1)(1)请将下面的解题过程补充完整:
解:因为AD BC,所以∠A=________(________________________)。
因为AB DC,所以_____________(________________________),
所以∠A=∠C。
(2)请根据题目条件,用与(1)不同的方法说明∠A=∠C。
∠CBE
两直线平行,同位角相等
∠C=∠CBE
两直线平行,内错角相等
解:(1)因为AD BC,
所以∠A=∠CBE(两直线平行,同位角相等).
因为AB DC,
所以∠C=∠CBE(两直线平行,内错角相等),
所以∠A=∠C。
(2)因为AD BC,所以∠D+∠C=180°。
因为AB DC,所以∠D+∠A=180°,
所以∠A=∠C。
6. 如图,为了加固房屋,要在屋架上加一根横梁DE,使 DE BC。若∠ABC=30°,则∠ADE 应为 ( )
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
A
知识点2 平行线的性质的应用
7. (教材P54T7改编)如图,小明在操场上从A点出发,先沿南偏东 30°方向走到 B 点,再沿南偏东 60°方向走到C点。这时,∠ABC的度数是
( )
A. 120° B. 135° C. 150° D. 160°
C
8. 【新情境 传统文化】为了增强学生体质,感受中国的传统文化,某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间。如图,这是某同学抖空竹时的一个瞬间,王聪把它抽象成数学问题:如图,已知 AB CD,过点 E 作 EF CD。若∠EAB=78° ,∠ECD=112° ,则 ∠AEC 的 度 数 为 ( )
A. 22°
B. 24°
C. 32°
D. 34°
D
9. 如图,已知AB CD EF,FC平分∠AFE,∠A=70°,则∠C的度数为
( )
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
升
提
练
B
10. 【新情境 生产生活】如图,一公路修到汤逊湖边时,需拐弯绕湖通过,如果第一次拐的角∠A 是110°,第二次拐的角∠B是160°,第三次拐的角是∠C,这时的路与第一条路平行,则∠C 的度数是 ( )
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
B
【解析】如图,过点B作BE AD。
因为AD CF,所以BE AD CF,
所以∠ABE=∠A=110°,∠EBC+∠C=180°。
因为∠ABC=160°,∠ABE+∠EBC=∠ABC,
所以∠EBC=50°,所以∠C=130°。 故选B。
11. 【新趋势 跨学科融合】光在不同介质中的传播速度是不同的,因此当光线从水中射向空气时要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的。如图,∠1=48°,∠2=158°,则∠3的度数为 ( )
A. 68° B. 70° C. 78° D. 80°
【解析】如图所示,因为EF GH,∠1=48°,所以∠GEF=∠1=48°。
因为∠2=158°,所以∠CEF=158°-∠GEF=110°。
因为EF CD,所以∠ECD=180°-∠CEF=70°。
因为CE DF,所以∠3=∠ECD=70°。 故选B。
B
12. 如图所示,已知 FC AB DE,∠α∶∠2∶∠1=3∶4∶5,则∠B=______。
【解析】由∠1+∠2+∠α=180°,
∠α∶∠2∶∠1=3∶4∶5,
可设∠α=3x°,∠2=4x°,∠1=5x°,
所以3x+4x+5x=180,解得x=15,
所以∠2=4x°=60°。
因为FC AB DE,所以∠2+∠B=180°,
所以∠B=∠180°-∠2=120°。
120°
13. (易错题)若∠A 与∠B 的两边分别平行,且∠A比∠B的2倍少60°,求∠B的度数。
解:因为∠A与∠B的两边分别平行,
所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°。
因为∠A比∠B的2倍少60°,所以∠A=2∠B-60°。
当∠A=∠B时,2∠B-60°=∠B,得∠B=60°;
当∠A+∠B=180°时,2∠B-60°+∠B=180°,得∠B=80°。
综上所述,∠B的度数为60°或80°。
14. (山西运城盐湖区期末)已知,直线AB DC,点P为平面上一点,连接AP与CP。
(1)如图1,点P在直线AB,CD之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC的度数;
(2)如图 2,点 P 在直线 AB,CD 之间,∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点 K,写出∠AKC 与∠APC之间的数量关系,并说明理由。
15. 【新趋势 探究性问题】如图,在两条笔直且平行的景观道AB,CD上放置P,Q两盏激光灯。其中光线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至边PA 便立即回转,并不断往返旋转;光线 QC 按顺时针方向以每秒3°的速度旋转至边QD就停止旋转,此时光线PB也停止旋转。若光线 QC先旋转 4 s,光线 PB 才开始旋转,当 PB1 QC1时,光线PB旋转的时间为________s。
【解析】①当PB1∥QC1,则∠PB1Q=∠CQC1,如下图。
6或43.5
养
素
练
因为AB CD,所以∠PB1Q=∠BPB1,
所以∠CQC1=∠BPB1.
设光线PB旋转的时间为t s,所以4×3+3t=5t,所以t=6。
②当PB1 QC1,则∠CQC1=∠PB1Q,如下图。
因为AB CD,所以∠PB1Q=∠BPB1。
所以∠BPB1=∠CQC1。
设光线PB旋转的时间为t s,此时光线PB由PA处返回,
所以∠APB1=5t°-180°。
所以∠BPB1=180°-∠APB1=180°-(5t°-180°)=360°-5t°,
所以360-5t=4×3+3t,所以t=43.5。
综上,光线PB旋转的时间为6或43.5 s。