1 探索直线平行的条件
课题 第1课时 利用同位角判定两条直线平行 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P41-43
教学目标 1.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。 2.会认由“三线八角”所成的同位角。 3.感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，养成分析问题、解决问题的良好习惯。
教学重难点 重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件，即“同位角相等，两直线平行”。 难点：判断两直线平行的说理过程。
教学准备 多媒体课件、一套三角尺
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 在日常生活中，人们经常用到平行线。如图1，装修工人要在墙上钉木条，如果木条b与竖直木条垂直，那么木条a与竖直木条所成的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行 图1 图2 教师提问：你知道其中的理由吗？ 学生活动：学生根据自己的生活经验自然会得到，木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行。 教师追问：如图2，如果木条b不与竖直木条垂直呢？ 学生活动：把墙壁看作直线c，直线b与直线c垂直，只有当直线a也与直线c垂直时，才能得到直线a平行于直线c。 教师活动：图中的直线b与直线c不垂直，直线a应满足什么条件才能与直线b平行呢？那我们来研究一下吧。（教师板书课题：第1课时 利用同位角判定两条直线平行） 从装修工人钉木条这个情境入手，提出直线平行的问题，激发学生学习兴趣。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 操作·交流 （1）如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b，c，转动木条a。在转动木条a的过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化 木条a何时与木条b平行 与同伴进行交流。 (2)改变图2-15中∠1的大小，按照(1)中的方式再做一做。∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行 与同伴进行交流。 师生活动：学生交流讨论，教师引导学生发现，当图中的∠2满足与∠1相等时，木条a与木条b平行，再利用多媒体展示。 当∠1>∠2时，直线a与直线b相交，不平行。 当∠1=∠2时，直线a与直线b平行。 当∠1<∠2时，直线a与直线b相交，不平行。 如图，直线AB，CD被直线l所截： 具有∠1与∠2这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，相对位置是相同的角，我们把这样的角称为同位角。∠3与∠4也是同位角。 教师提问：图中还有其他的同位角吗？ 学生回答：∠5与∠6，∠7与∠8。 【归纳总结】 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简述为：同位角相等，两直线平行。 两直线平行，用符号“∥”表示。例如，直线a与b平行，记作a∥b。 【探究2】 尝试·思考 (1)你能借助三角尺画平行线吗 小明按如图所示的方法画出了已知直线的平行线，请说明其中的道理。 师生活动：让学生利用移动三角尺的方法画平行线，要求学生会用此种方法过已知直线外一点画这条直线的平行线，并利用“同位角相等，两直线平行”的结论解释画法的合理性。 画平行线的步骤：先画一条直线，用一个三角尺的一边与这条直线重合，然后把第二个三角尺紧靠第一个三角尺另一边，第二个三角尺不动，移动第一个三角尺，这样就可以画出与已知直线平行的直线。 (2)如图，你能过直线AB外一点C画直线AB的平行线吗 能画出几条 师生活动：先让学生独立思考，再小组交流.教师引导学生发现平行线的两条性质，并用自己的语言加以描述。 学生发现：过直线外一点画一条直线的平行线，只能画一条；画出的EF∥GH。 操作·思考 在下图中，分别过点C和D画直线AB的平行线EF和GH，那么EF与GH有怎样的位置关系 【归纳总结】 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 也就是说如果b∥a，c∥a，那么b∥c（如下图）。 希望学生在操作活动中，通过观察、归纳，直观认识“两直线平行，同位角相等”的结论。 通过移动三角尺的方法画平行线，让学生学会此种方法并解释，这是操作与说理的最初的结合。 使学生在实践中学会思考，再利用所得结论来解决新问题:如何过直线外一点画已知直线的平行线 这也是本节课学生要重点掌握的内容。
3.学以致用，应用新知 考点1 认识同位角 例1 如图所示，图中的同位角有_______对。 答案：2 考点2 利用同位角判定两直线平行 例2 找出下面点阵（点阵中相邻的四个点构成正方形）中互相平行的线段，并说明理由。 解：AB∥CD，EF∥GH。 因为线段EF，GH与线段AB，CD相交所成的锐角都是45°， 所以AB∥CD，EF∥GH。 变式训练 如图，∠1=∠2=55°，直线AB与CD平行吗？ 解：平行。 设∠1的对顶角为∠3，则∠3=55°， 直线AB与CD平行。 考点3 平行公理及其推论 例3 对于同一平面内的直线a，b，c，如果a与b平行，c与a相交，那么c与b的位置关系是相交还是平行？ 答案：c与b相交 变式训练 如图是一个可折叠的衣架，AB是地平线，当∠1=∠2时，PM∥AB；∠3=∠4时，PN∥AB，就可确定点N，P，M在同一条直线上的依据是____________。 答案：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 通过例题讲解，进一步激发学生的探究兴趣，学生学会用所学知识解释和解决实际生活中的问题，提高能力。 通过变式训练巩固所学知识，提高学生应用知识的能力。
4.随堂训练，巩固新知 1.下列说法正确的是( ) A．两条不相交的直线叫做平行线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 答案：D 2.如图，若∠1=70°，∠2=110°，∠3=70°，则有( ) A.a∥b B.c∥d C.a⊥d D.任意两条都无法判定是否平行 答案：A 3.如图，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB∥CD，试写出符合要求的一个条件:__________。 答案：∠BEF=100°(答案不唯一) 4.如图，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，DE是∠ADC的平分线，你能推断出哪两条直线平行，并说明理由。 解：DE//BC.理由如下： 因为∠ADC=60°，DE是∠ADC的平分线， 所以∠ADE=30°，又因为∠ABC=30°， 所以∠ADE=∠ABC，所以DE//BC。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.同位角 同位角的特征：①在两条被截线的同一方；②在截线的同侧；③形如字母“F”。 2.利用同位角判定两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简称为同位角相等，两直线平行。 3.平行公理及其推论 （1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 （2）推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P47习题2.2中的T1、T2、T5、T6、T7。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高应用能力和做题效率。
板书设计 第1课时 利用同位角判定两直线平行1.同位角 2.两直线平行，同位角相等 3.平行公理及其推论投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课一开始，教师就为学生营造一个生动活泼、主动求知的学习环境，并从学生的生活出发，以实例引入问题，较好地激发学生的兴趣，充分体现了以学生为主体，以培养学生思维能力为重点的教学思想。 学生的思维是在自己原有的认知结构上建构的，教师应尽可能多地给学生充分自主思考的空间和时间，即使他们找不到思路，也充分感知了困难、尝试了困难，为进一步探究奠定了基础.学生在独立思考的基础上进行合作研究，进行生生之间的对话，在合作中发挥个人的自主性，让学生尝试自己证明猜想，引导他们注意力的求异性、思维的发散性，是培荞学生创新精神和实践能力的重要途径，有利于增强学生学习的自信心和克服困难的意志力，有利于培养自主意识和合作精神。 本课时需要注意的是同位角的概念是用来判断直线平行的，只要能识别即可，不要、也不必认为编造一些复杂的问题。 反思，更进一步提升。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
1. 如图，∠1和∠2不是同位角的是 （ ）
础
基
练
知识点1 认识同位角
A
2. 已知点 C 为∠AOB 的边 OA 上一点，射线 CE 交 OB 于点 D，则图中与∠AOB是同位角的是________________。
∠ACD，∠CDB
3. （山西晋中太谷区期中）如图，直线a，b被直线c所截，∠2=60°，下列条件能判定a b的是 （ ）
A. ∠1=150°
B. ∠1=120°
C. ∠1=60°
D. ∠1=30°
A
知识点2 利用同位角判定两直线平行
4. 在同一平面内有两两不重合的直线l1，l2和l，l1⊥l，l2⊥l，则直线l1与l2的位置关系是 （ ）
A. 互相平行
B. 互相垂直
C. 不平行
D. 可能平行，可能不平行
A
5. 如图，将木条 a，b 与 c 钉在一起，∠1=85°，∠2=50°。若要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少为 （ ）
A. 15°
B. 25°
C. 35°
D. 50°
C
6. 如图，一个三角尺ABC，D是AB边上一点，现要求在AC边上确定点E，使DE BC。
（1）通过尺规作图确定点E；（不写作法，留下作图痕迹，要有结论）
（2）请直接写出（1）中的作图理论依据。
解：（1）如图，过点D作∠ADE=∠ABC，交AC于点E，
则 DE BC，则点 E 即为所求作。
（2）作图理论依据：同位角相等，两直线平行。
7. 如图，点F在BC上，过点F作FG⊥AC于点G，点H是AB边上一点，过点H作HE⊥AC于点E。
（1）试说明：HE FG；
（2）点D在AB上，若∠DEH=∠CFG，试判断DE与BC的位置关系，并说明理由。
解：（1）因为HE⊥AC，FG⊥AC，
所以∠HEA=∠FGA=90°，
所以HE FG。
（2）DE BC。理由如下：
因为FG⊥AC，HE⊥AC，
所 以 ∠FGC=90° ，∠HEA=90° ，
所 以 ∠C + ∠CFG=180°-∠FGC=90°，∠DEH+∠AED=90°，
即∠C+∠CFG=∠DEH+∠AED。
因为∠DEH=∠CFG，
所以∠C=∠AED，所以DE BC。
知识点3 平行公理及其推论
8. 下列说法中，正确的个数为 （ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行；
（2）如果a b，a c，那么b c；
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行；
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
9. 已知直线EF及其外一点B，过点B作AB EF，过点B作BC EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是____________________________________________________。
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
10. 图中用数字所标出的角中，同位角共有 （ ）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
【解析】根据同位角的定义，图中∠3与∠4，∠4与∠5，∠7与∠1，∠5与∠2，∠2与∠3是同位角，共5对。故选D。
D
升
提
练
11. （教材P43T2改编）如图，把三角尺的直角顶点放在直线 b上。若∠1=50°，则当∠2=________时，a b。
40°
【解析】如图所示，因为∠1=50°，
所以∠3=180°-90°-50°=40°，
当∠2=40时，∠2=∠3，
所以a∥b。
3
12. 如图，已知∠1=（3x+24）°，∠2=（5x+20）°。要使m n，那么∠1=________°。
【解析】如图所示，当∠2=∠3时，m∥n。
因为∠1+∠3=180°，
所以∠1+∠2=180°，
所以3x+24+5x+20=180，解得x=17。
则∠1=(3x+24)°=75°。
75
3
13. 【新趋势 探究性问题】如图，a，b，c三根木棒钉在一起，∠1=70°，∠2=100°。现将木棒a，b同时顺时针旋转一周，速度分别为17°/s和2°/s，两根木棒都停止时运动结束，则________________s时木棒a，b平行。
【解析】设ts后木棒a，b平行，
依题意有100°-17t°=70°-2t°，解得t=2；
或180°+100°-17t°=70°-2t°，解得t=14。
当a停止运动时，b还在转动，也就是a回到原位置后，b还在转动，这种情况下2t°-70°=180°-100°，解得t=75；或2t°-70°=360°-100°，解得t=165。
故2或14或75或165s后木棒a，b平行。
2或14或75或165
14. 【新趋势 过程性学习】如图，已知EF⊥FG，垂足为点F，且点F在直线CD上，EF与直线AB相交于点 H，∠1 + ∠2=90°。
试说明：AB CD。（请完成下面的说明过程）
解：因为EF⊥FG（已知），
所以∠EFG=________°（垂直的定义），
即∠EFD+________=90°。
又因为∠1+∠2=90°（已知），
所以∠EFD=________（ ），
所以AB CD（ ）。
解：因为EF⊥FG(已知)，
所以∠EFG=90°(垂直的定义)，
即∠EFD+∠2=90°。
又因为∠1+∠2=90°(已知)，
所以∠EFD=∠1(同角的余角相等)，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。
15. 如图，∠B与∠BCD互为余角，∠B=∠ACD，DE⊥BC，垂足为点E，AC与DE平行吗？为什么？
解：AC∥DE。理由如下：
因为∠B=∠ACD，∠B+∠BCD=90°，
所以∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°。
因为DE⊥BC，
所以∠DEB=90°，所以∠ACB=∠DEB，
所以AC∥DE。
16. 如图，已知直线AB和直线CD被直线EF所截，交点分别为点M，N，∠BME+∠CNM=180°。
（1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若 MP 是∠BME 的平分线，NQ 是∠DNM 的平分线，用推导的方式说明 MP 与 NQ 的位置关系，并写出每步推导的理由。
解：（1）AB∥CD。理由如下：
因为∠BME+∠AME=180°，∠BME+∠CNM=180°，
所以∠AME=∠CNM，
所以AB∥CD。
17.已知直线l1 l2，l2⊥l3，l3 l4，l4⊥l5，l5 l6，……按此规 律 ，直 线 l1 与 直 线 l2 025 的 位 置 关 系 是__________。
养
素
练
【解析】因为l1∥l2，l2⊥l3，l3∥l4，l4⊥l5，l5∥l6，
所以l1⊥l3，l1⊥l4，l1∥l5，l1∥l6，
因为l6⊥l7，所以l1⊥l7。
所以可得规律，l1⊥l3，l1⊥l4，l1∥l5，l1∥l6，l1⊥l7……每四个为一循环，
因为(2 025-1)÷4=506，
所以l1∥l2 025。
l1 l2 025
18.（河南商丘虞城县阶段练习）如图，∠1=140°，∠2=40°，∠3=108°，则∠4=________时，AB EF。
【解析】如图，延长GD，DC，标注∠5，∠6。
因为∠2+∠5=180°，∠2=40°，所以∠5=140°，
所以∠5=∠1，所以AB∥CD。
因为∠6=180°-∠3=72°，所以当∠DGE=∠6=72°时，CD∥EF。因为AB∥CD，所以AB∥EF，
此时∠4=180°-∠DGE=108°。
108°(共25张PPT)
1.理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数。
2.能够运用同位角相等判定两直线平行。理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题。（难点）（重点）
两条直线相交，能形成些具有什么关系的角？
复
习
回
顾
a
b
3
1
2
4
∠1与∠3是对顶角；
∠2与∠4也是对顶角。
∠1与∠2、∠4互为补角；
∠3与∠2、∠4互为补角。
像上面这样，一条直线被另一条直线所截形成的4个角称为“两线四角”。
一条直线被另一条直线所截，形成“两线四角”，那么两条直线被第三条直线所截，会形成什么呢？
a
c
b
3
1
2
4
6
5
7
8
“三线八角”
这些角之间有什么位置关系呢？
知识点1 同位角的认识
1
5
a
c
b
3
2
4
6
7
8
观察∠1与∠5。
（1）都在截线c的 。
（2）都在被截直线的 。
同旁（左边）
同侧（上方）
像∠1与∠5这样，两条直线a，b为第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把具有这样位置关系的角称为同位角。
1
5
a
c
b
3
2
4
6
7
8
找一找“三线八角”中，其他的同位角。
∠4与∠8
∠2与∠6
∠3与∠7
同位角的图形特征：“F”型。
如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
A
c
b
a
1
2
3
4
5
知识点2 利用同位角判断两直线平行
日常生活中，人们经常用到平行线。如图，装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所成的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？
你知道其中的理由吗？
如果木条b不与墙壁边缘垂直呢？
如图，三根木条相交成∠1，∠2，
固定木条b，c，转动木条a。
观察∠2与∠1的大小关系及木条a与木条b的位置关系。
∠1与∠2是同位角。
当∠1>∠2时，
直线a与直线b相交，不平行。
当∠1=∠2时，
直线a与直线b平行。
当∠1<∠2时，
直线a与直线b相交，不平行。
由此我们可以得到一种判断两条直线平行的方法
平行线的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简述为：同位角相等，两直线平行。
两直线平行，用符号“∥”表示，
如直线a与直线b平行，记作a∥b。
（1）你能借助三角尺画平行线吗
尝试·思考
此过程中，哪个角始终没变？
这两个角是同位角，
同位角相等，两直线平行。
知识点3 平行于同一条直线的两条直线平行
（2）你能过直线AB外一点C画直线AB的平行线吗？能画几条？
尝试·思考
B
C
A
知识点3 平行于同一条直线的两条直线平行
B
C
A
只能画1条。
（2）你能过直线AB外一点C画直线AB的平行线吗？能画几条？
尝试·思考
B
C
A
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
在下图中，分别过点C，D画直线AB的平行线EF和GH，那么EF与GH有怎样的位置关系呢？
操作·思考
B
C
A
D
EF∥GH
F
E
H
G
b
a
c
平行于同一条直线的两条直线平行。
如果b∥a，c∥a，
那么b∥c。
1. 找出下面点阵（点阵中相邻的四个点构成正方形）中互相平行的线段，并说明理由。（教材P43 随堂练习T1）
B
A
D
C
F
E
H
G
AB∥CD，EF∥GH。
2
3
1
在点阵中，∠1=∠2=∠3=45°。
因为∠1=∠2，所以EF∥GH。
因为∠2=∠3，所以AB∥CD。
2、如图，∠1=∠2=55°，直线AB与CD平行吗？（教材P43 随堂练习T2）
解：AB∥CD。
3
理由：因为∠1=∠2，
由题意可知∠1=∠3（对顶角相等），
所以∠2=∠3，
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。
3.对于同一平面内的直线a，b，c，如果a与b平行，c与a相交，那么c与b的位置关系是相交还是平行？（教材P43 随堂练习T3）
c与b相交。
1.下列说法正确的是 ( )
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内不相交的两条线段互相平行
D．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
D
2.如图，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，DE是∠ADC的平分线， 你能推断出哪两条直线平行，并说明理由。
A
B
C
D
E
解：DE//BC。理由如下：
∵∠ADC=60°，DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=30°，又∵∠ABC=30°，
∴∠ADE=∠ABC，∴DE//BC。
【点睛】本题直线相交与平行相关概念。
1.同位角的定义：
a
c
b
1
2
像∠1与∠2这样，两条直线a，b为第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把具有这样位置关系的角称为同位角。
2.平行线的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简述为：同位角相等，两直线平行。
3.平行线的性质：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行。
