2 频率的稳定性
课题 第2课时 用频率估计概率 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P66-69
教学目标 1.了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性。 2.理解概率的意义，并能根据某些事件发生的频率来估计该事件发生的概率。
教学重难点 重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。 难点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。
教学准备 多媒体课件、硬币
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况（如图）： 你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？ 师生活动：教师出示问题，学生进行猜测，小组之间相互交流，大部分学生认为正面朝上和正面朝下的可能性相同。 教师活动：正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？那让我们用试验来验证吧。 由掷硬币游戏培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会猜测事件可能性。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师提问：你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗 （1）同桌两人做20次掷硬币游戏，并将数据记录在下表中： 试验总次数正面朝上的次数正面朝上的频率正面朝下的次数正面朝下的频率
（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表： （3）根据上表，完成折线统计图： （4）观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？ （5）下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据： 试验者投掷次数n正面出现次数m正面出现的频率布丰4 0402 0480.506 9德 摩根4 0922 0480.500 5费勒10 0004 9790,497 9皮尔逊12 0006 0190.501 6皮尔逊24 00012 0120.500 5维尼30 00014 9940.499 8罗曼诺夫斯基80 64039 6990.492 3
表中的数据支持你发现的规律吗？ 师生活动：学生分组进行试验，教师巡视，试验完成后，教师统计数据，填入表格并画出折线图，然后让学生观察分析图象，结合（5）表中数据，引导学生得出频率变化的规律。 通过试验所作的折线统计图发现： 当试验的次数较小时，折线上下摆动的幅度可能比较大，但当试验次数很大时，无论是正面朝上的频率还是正面朝下的频率，都会稳定在一个常数（）附近。也就是说，事件发生的频率具有稳定性，并且正面朝上的频率和正面朝下的频率稳定的值相等，它们发生的可能性大致相等。 【归纳总结】 无论是掷质地均匀的硬币还是抛瓶盖，在试验次数很大时，正面朝上(盖口向上)的频率都会在一个常数附近摆动。 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。我们常用大写字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A发生的概率。 一般地，在大量重复的试验中，我们可以用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。 【探究2】 尝试·思考 事件A发生的概率P（A）的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少？ 学生活动：学生自己思考总结，通过用频率可以估计概率，频率=，学生容易得到事件A发生的概率P(A)的取值范围为0~1，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。 【归纳总结】 必然事件发生的概率是1，不可能事件发生的概率是0，随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。 思考·交流 (1)小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是，你同意他的想法吗 与同伴进行交流。 (2)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上吗 如何理解正面朝上的概率是？与同伴进行交流。 师生活动：学生先自己思考，再通过小组讨论交流自己的想法，得出结论。教师巡视并对学生进行指导，大部分学生完成后请两名同学上台讲解自己的思路与结论。 通过掷硬币试验，使学生进一步了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；体会在“掷硬币”试验中，正面朝上和正面朝下的可能性是相同的，为后面的古典概型做准备。 突出本节课的重点:通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，并掌握三类事件的概率值。 通过练习，让学生由浅入深地掌握基本概念和解题方法。
3.学以致用，应用新知 考点 用频率估计概率 例1 下列事件发生的可能性为0的是（ ） A.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上 B.小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟 C.今天是星期天，昨天必定是星期六 D.小明步行的速度是每小时40千米 答案：D 例2 小凡做了5次掷均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此他认为正面朝上的概率大约为，朝下的概率约为。你同意他的观点吗？你认为他再多做一些试验，结果还是这样吗？ 解：因为试验的次数不多，只有5次，此时用频率来估计概率，其误差一般较大，所以，认为“正面朝上的概率大约为，朝下的概率约为”是不太合适的。由于硬币是质地均匀的，所以再多做一些试验，正面朝上的频率和正面朝下的频率一般都会稳定在的附近。 通过例题，进一步加深学生对概率及用频率估计概率的理解与掌握，促进学生将知识转化成技能。
4.随堂训练，巩固新知 1.一箱灯泡有24个，合格率为80％，从中任意拿一个是次品的概率为( ) A.0.2 B.80％ C. D.1 答案：A 2.某收费站在2 h内对经过该站的机动车统计如下表: 类型轿车货车客车其他数量/辆3624812
若有一辆机动车经过这个收费站，利用上面的统计表估计它是轿车的概率为( ) A. B. C. D. 答案：B 3.一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球。若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球，记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的概率稳定在20%左右，则a的值约为________。 答案：30 4.某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种树苗成活的频率稳定在___________，成活的概率估计值为___________。 (2)该地区已经移植这种树苗5万棵。 ①估计这种树苗成活___________万棵。 ②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵 解：(1)0.9附近；0.9 (2)①估计这种树苗成活5×0.9=4.5（万颗）； ②(18-4.5)÷0.9=15（万颗）， 所以还需移植这种树苗约15万棵。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。 2.我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P（A）。 3.一般地，大量重复的试验中，我们常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。 （1）必然事件发生的概率为1； （2）不可能事件发生的概率为0； （3）随机事件A发生的概率P（A）是0与1之间的一个常数。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P70习题3.2中的T3、T4、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。
板书设计 第2课时 用频率估计概率1.概率 2.用频率估计概率 3.概率的取值范围投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课从“抛硬币”问题入手，让学生再次经历“猜测—试验和收集试验数据—分析试验结果—猜测验证”的过程，进一步了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性。 通过课堂上小组合作掷硬币试验、并展示试验结果的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。 反思，更进一步提升。(共18张PPT)
1.了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；
2.理解概率的意义，并能根据某些事件发生的频率来估计该事件发生的概率。（重难点）
抛掷一枚均匀的硬币， 硬币落下后， 会出现两种情况：
你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？
正面朝上
正面朝下
（1）两人一组做20次掷硬币游戏，并将数据记录在下表中。
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表。
试验总次数 20 40 60 80 100 120 140 460 180 200
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
（3）根据上表，完成折线统计图。
（4） 观察上面的折线统计图， 你发现了什么规律？
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
频率
试验总次数
0.5
（5） 下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据:
试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率
布丰 4 040 2 048 0.506 9
德·摩根 4 092 2 048 0.500 5
费勒 10 000 4 979 0.497 9
皮尔逊 12 000 6 019 0.501 6
皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5
维尼 30 000 14 994 0.499 8
罗曼诺夫斯基 80 640 39 699 0.492 3
表中的数据支持你发现的规律吗？
n
m
知识点 用频率估计概率
一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。
知识点 用频率估计概率
我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。我们常用大写字母A，B，C等表示事件，用P（A）表示事件A发生的概率。
定义
一般地，大量重复的试验中，我们可以用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。
尝试·思考
随机事件A发生的概率P（A）的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少？
必然事件发生的概率为1；
不可能事件发生的概率为0；
随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。
必然事件发生的概率为1；
不可能事件发生的概率为0；
随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。
不可能事件
必然事件
随机事件
1
0
特别提醒
1. 试验得出的频率只是概率的估计值。
2. 对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）不可能小于0，也不可能大于1。
3. 用频率估计的概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生。
思考·交流
不同意
1.下列事件发生的可能性为0的是（ ）
A.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上
B.小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟
C.今天是星期天，昨天必定是星期六
D.小明步行的速度是每小时40千米
D
2. 一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球。若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球，记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的概率稳定在20%左右，则a的值约为 。
30
3. 一颗木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻着一个“兵”字，反面是平的，将它从一定高度下掷，落地后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下，由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷的试验，试验数据如下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的次数 14 38 47 52 66 78 88
“兵”字面朝上的频率 0.70 0.45 0.63 0.59 0.55 0.56
（1）请将表格补充完整；
18
0.52
0.55
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的次数 14 38 47 52 66 78 88
“兵”字面朝上的频率 0.70 0.45 0.63 0.59 0.55 0.56
（2）根据上表的数据，如果试验继续进行下去，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少(结果保留到小数点后两位)。
18
0.52
0.55
解：随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率稳定在0.55 附近，所以估计“兵”字面朝上的概率是0.55。
2. 一般的，大量重复的试验中，我们常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。
1. 事件A的概率，记为P(A)。
3. 必然事件发生的概率为1；
不可能事件发生的概率为0；
随机事件 A 发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。(共16张PPT)
础
基
练
知识点1 概率
1. （河南洛阳期末）某商家搞营销活动，顾客买商品后抽奖券，中奖概率为 0.2。对“中奖概率为0.2”这句话，下列理解正确的是 （ ）
A. 抽1张奖券肯定不会中奖
B. 抽100张奖券肯定会中2张奖
C. 抽1张奖券也可能会中奖
D. 抽100张奖券至少中1张奖
C
2. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，概率最大的是 （ ）
A. 点数小于4 B. 点数大于4
C. 点数大于5 D. 点数小于5
D
3. 在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率________后摸者赢的概率。（填“>”“<”或“=”）
=
4. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是 （ ）
A. 频率等于概率
B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 试验得到的频率与概率不可能相等
B
知识点2 用频率估计概率
5. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是 （ ）
A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.87
B
射击次数 100 200 400 800 1 000
“射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850
“射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85
6. 在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共 80 个，它们除颜色外，其余完全相同。在不倒出球的情况下，估计袋中各种颜色球的个数。同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红色球和绿色球的频率分别稳定在20%和40%。由此，推测口袋中黄色球有 （ ）
A. 16个 B. 18个 C. 21个 D. 32个
D
7. 【新情境 生产生活】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1 200棵 ，成 活的大约有________棵。
960
8. （教材P70T1改编）某市羽毛球厂对生产的羽毛球进行产品质量检查，结果如下：
（1）计算各次检查中的优等品率，并填入上表；
（2）该厂生产的羽毛球为优等品的概率大约是________。
抽取球数 100 500 1 000 5 000
优等品数 92 455 890 4 500
优等品频率
0.92
0.91
0.89
0.90
0.90
9. 一个口袋中有5个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回摇匀，重复上述过程，共试验100次，其中75次摸到白球，于是可以估计口袋中共有多少个球？
解：因为试验100次，其中75次摸到白球，
所以估计摸到白球的概率为0.75。
设口袋中共有x个球，则0.75x=x-5，
解得x=20，
所以估计口袋中共有20个球。
10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制成下面的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是 （ ）
A. . 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数
是偶数
C. 袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中
任取一个球是黄球
D. 洗匀后的4张红桃牌和2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
升
提
练
B
11. （湖南岳阳经开区模拟）某同学现有一装有若干个黄球的袋子。为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球（所有球除颜色外其余均相同），摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为 （ ）
A. 200 B. 180 C. 240 D. 150
D
12. 数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表：
（1）上表中a=________，b=________；
（2）根据上表，完成下图的折线统计图；
（3）请你举出一个事件，使它发生的概率
符合事件A发生的概率。
试验总次数n 100 200 300 400 500 600
事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150
a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25
0.24
75
解：（3）有四张扑克牌，牌面分别为1，
2，3，4，随意拿出一张，正好是1的概率。（答案不唯一）
13. 【新趋势 开放性问题】如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了 6 个面积相等的扇形区域。数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）下列说法错误的是________；（填写序号）
①转动转盘 8 次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域；
②转动 15 次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数；
③转动 60 次，指针指向蓝色区域的次数一定为10。
养
素
练
转动转盘的次数 200 300 400 1 000 1 600 2 000
转到黄色区域的次数 72 93 130 334 532 667
转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.332 5 0.333 5
①③
（2）求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率；（精确到0.1）
（3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色区域的可能性相同，写出一种方案即可。
