1 认识三角形
课题 第3课时 三角形的高线、中线和角平分线 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P90-92
教学目标 1.了解三角形的角平分线、中线的概念并掌握其性质。 2.会用工具准确画出三角形的角平分线、中线。
教学重难点 重点：认识三角形的中线、角平分线。 难点：三角形的中线、角平分线的应用。
教学准备 多媒体课件、三角形纸片
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 如图所示，下面三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？ 师生活动：学生观察图片，容易得出立柱与横梁垂直的结论，教师引出本节课的课题。（教师板书课题：第3课时 三角形的高线、中线和角平分线） 借助三角形房梁中立柱与横梁的情境，从中抽象出三角形的高的概念。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置。说说你的想法，并与同伴进行交流。 师生活动：教师提出问题，学生思考，组内讨论、分析，教师与学生一起总结。 【归纳总结】 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。如图，线段AF是△ABC的BC边上的高。 【探究2】 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线。 如图，线段AE是△ABC的BC边上的中线。 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 如图，线段AD是△ABC的一条 角平分线。 操作·交流 (1)在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关 系 与同伴进行交流。 (2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗 画一画，折一折，并与同伴进行交流。 (3)如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置呢 师生活动：学生在纸上画出三角形及其中线，容易发现三角形的三条中线交于一点，相互讨论，然后教师在投影仪上展示几位同学画出的图形，最后教师引导学生在充分交流的基础上归纳出结论。 【归纳总结】 三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心。 【探究4】 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 如图，∠1=∠2，AD是△ABC的一条角平分线。 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。 （1）你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗 （2）你能用折纸的办法得到它们吗 （3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 师生活动：学生在三角形纸片上画出三条角平分线，相互交流，发现三角形三条角平分线交于一点，教师在投影仪上展示几位同学画出的图形，最后归纳结论。 【归纳总结】 三角形三条角平分线交于一点。 【探究5】 每人准备一个锐角三角形纸片。 （1）你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的办法得到它们吗 （2）这三条高之间有怎样的位置关系？ 师生活动：学生在纸上画出或折出锐角三角形的高线，容易发现锐角三角形的三条高线交于一点，相互讨论，然后教师在投影仪上展示几位同学画出或折出的图形，最后教师引导学生在充分交流的基础上归纳出结论。 在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形。 （1）画出直角三角形的三条高.它们有怎样的位置关系？ （2）你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？ （3）钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？ 师生活动：学生在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形以及它们的高线，然后相互交流，容易发现直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高交于三角形外一点，教师在投影仪上展示几位同学画出的图形，最后归纳结论。 【归纳总结】 三角形的三条高所在的直线交于一点。 使学生通过画、折等实践操作活动理解三角形的中线的概念和性质，培养学生的动手操作能力和推理能力。 同前面探索三角形的三条中线交于一点一样，让学生通过画图、折纸直观感知、确认三角形的三条角平分线交于一点的结论。 探索锐角三角形的三条高线的位置关系，通过实际操作，让学生感受知识的形成过程。 探索直角三角形和钝角三角形的三条高线的位置关系。
3.学以致用，应用新知 考点1 三角形的高 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( ) 答案：D 例2 在△ABC中，∠A+∠B=∠C，则△ABC的三条高线所在直线的交点在_______。 答案：C点 考点2 三角形的中线 例3 AE是△ABC的中线（E在BC所在直线上），且BE=4cm，那么BC= cm。 答案：8 变式训练 如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=5，△ABD和△BCD的周长的差是______。 答案：3 考点3 三角形的角平分线 例4 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠ABD的度数. 解：因为三角形的内角和为180°， 所以∠ABC=180°-∠A-∠C=58°。 又因为BD是△ABC的角平分线。 所以∠ABD=∠ABC =29°. 通过例题讲解与变式训练，加深学生对三角形中线与角平分线的理解与掌握。
4.随堂训练，巩固新知 1.三角形的三条高相交于一点，此点一定在（ ） A.三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的一条边上 D.不能确定 答案：D 2.如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为6 cm2，则△ABD的面积为（ ） A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12cm2 答案：A 3.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是( ) A.20° B.30° C.45° D.60° 答案：A 4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有_______个。 答案：6 5.在△ABC中，CD是中线，已知BC－AC=5cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长。 解：因为CD是△ABC的中线，所以BD＝AD， 所以△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm， 则BD+CD＝25－BC。 所以△ADC的周长＝AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC＝25-BC＋AC ＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm。 6.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数。 解：因为AD是BC边上的高，∠EAD=5°， 所以∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=180°-5°-90°=85°， 所以∠AEB=180°-∠AED=180°-85°=95°。 因为∠B=50°， 所以∠BAE=180°-∠AEB﹣∠B=180°-95°-50°=35°。 因为AE是∠BAC的角平分线， 所以∠BAC=2∠BAE=70°， 所以∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 2. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线。 3. 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 4. 三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心。 5. 三角形的三条角平分线交于一点。 6. 三角形的三条高所在的直线交于一点。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P92习题4.1中的T6、T7、T8、T13、T14、T15。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第3课时 三角形的高线、中线和角平分线1. 三角形的高线 2. 三角形的中线 3. 三角形角平分线投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 三角形的中线和三角形的角平分线一定要让学生亲自动手找到画出，让学生充分进行操作、思考和交流。 画三角形的中线，首先遇到的问题是如何确定对边的中点，既可以通过测量，也可以用折纸的方法，将对边对折得到。教学中要鼓励学生积极探索，不要限制学生的方法。 三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线，这是二者的重要区别，是对三角形角平分线概念理解的关键，也是初学者容易混淆之处，教学中要注意。 教师对教材的处理和教学过程中学生的学法一定注意灵活选取，不同层次的学生要采用不同的方法获得不同的数学体验和不同的收获。 反思，更进一步提升。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共20张PPT)
础
基
练
知识点1 三角形的高线
1. 在数学课上，同学们在练习画 AC 边上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是 （ ）
C
2. 一张三角形纸片上，小新只能折叠出它的一条高，可以推断，这个三角形纸片是 （ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 直角或钝角三角形
D
3. 如图，以AD为高的三角形共有________个。
6
4. （易错题）（教材P93T8 改编 ）如图，若 H 是△ABC 三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中BH边上的高是________。
AE
5. 如图，已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高。求∠DBC的度数。
解：设∠A=x°,则∠C=∠ABC=2x°，
所以x+2x+2x=180，解得x=36，
所以∠C=72°。
在△BDC中，因为∠BDC=90°，
所以∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°。
6. 如图，CM是△ABC的AB边上的中线，AB=10 cm，则BM的长为 （ ）
A. 7 cm
B. 6 cm
C. 5 cm
D. 4 cm
C
知识点2 三角形的中线
7. 如图，在△ABC 中，BD 为 AC 边上的中线，已知BC=8，AB=5，△BCD的周长为 20，则△ABD的周长为 （ ）
A. 17 B. 23 C. 25 D. 28
A
8. （河南平顶山舞钢市期末）如图，AD是△ABC的中线，AB=12 cm，AC=8.5 cm，则△ABD与△ACD的面积之间的数量关系是________。
相等
9. （易错题）下列对三角形的角平分线叙述正确的是 （ ）
A.三角形的角平分线是一条射线
B. 三角形的三条角平分线交于一点，且这点一定在三角形的内部
C.三角形的角平分线可能在三角形的外部
D.三角形的一条角平分线将三角形分成面积相等的两部分
B
知识点3 三角形的角平分线
10. ［教材P92随堂练习T1 改编］如图，在△ABC 中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=30°，∠BAD=40°，则∠C的度数是 （ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
C
11. 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有________。
①AD是△ABE的一条角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高。
③④
12. 在△ABC 中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，则∠EHF的度数是 （ ）
A. 50° B. 40° C. 130° D. 120°
【解析】因为∠ABC=66°，∠ACB=54°，所以∠A=60°，
因为CF是AB上的高，
所以在△ACF中，∠ACF=180°-∠AFC-∠A=30°，
在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，
所以∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°。故选D。
升
提
练
D
C
C
15. 【新趋势 无图题】在△ABC中，AB=AC，AB边上的高CD与AC夹角为20°，则∠BAC为_____________。
70°或110°
【解析】依题意有以下两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时，如图1所示，
因为AB边上的高CD与AC夹角为20°，
所以∠ADC=90°，∠ACD=20°，所以∠BAC=90°-∠ACD=70°；
②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示，
因为AB边上的高CD与AC夹角为20°，所以∠ADC=90°，∠ACD=20°，
所以∠BAC=∠ADC+∠ACD=90°+20°=110°；
综上所述，∠BAC的度数为70°或110°。
16. 如图，△ABC 的中线 AD，BE 相交于点 F，FH⊥BC，垂足为 H。若 S△ABC=15，BC=6，则 FH 长为________。
17. 如图，在△ABC 中，AD，AF 分别为△ABC 的中线和高，BE为△ABD的一条角平分线。
（1）若∠BED=60°，∠BAD=40°，求∠BAF的大小；
（2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长。
18. 【新趋势 动点探究题】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，AB=5 cm，若动点 P 从点 C 开始，按 C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒 2 cm，设运动的时间为 t s。
（1）当 t =________时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
（2）当 t =________时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（3）当 t 为何值时，△BCP的面积为4 cm2？
养
素
练
3(共18张PPT)
1.理解三角形的高线、中线和角平分线的概念。
2.能在具体的三角形中画出它们的高线、中线和角平分线。
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置。
A
B
D
C
AD⊥BC，AD平分∠ABC，点D平分线段BC。
知识点1 三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。
几何语言：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D。线段AD是△ABC中BC边上的高。
知识点2 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线。
B
A
C
BE=EC
E
AE 是△ABC 的 BC 边上的中线。
知识点3 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
A
B
C
D
1
2
∠1 = ∠2
操作·交流
（1）在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？
三条中线交于一点。
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗 画一画，折一折。
钝角三角形和直角三角形的三条中线也都交于一点。
操作·交流
（3）如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置呢？
三角形的三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
思考·交流
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点。三角形的三条高呢 你是怎么做的
三角形的三条角平分线交于一点。
三角形的三条高所在的直线交于一点。
1. 三角形的三条高相交于一点，此点一定在（ ）
A. 三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的一条边上 D. 不能确定
D
2 .作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
D
注意：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上。
3. 如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为6 cm2，则△ABD的面积为（ ）
A.3 cm2
B.4 cm2
C.6 cm2
D.12cm2
A
B
D
C
A
三角形的中线把一个三角形分成两个面积相等的部分。
4.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是( )
A. 20°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
A
5.在△ABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,△DBC
的周长为25 cm,求△ADC的周长。
A
D
B
C
解：因为CD是△ABC的中线，
所以BD＝AD，
所以△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
所以△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm。
6.如图，已知AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线。
(1)若∠B=44°,∠C=80°,求∠DAE的度数;
(2)若BF=5，△ABC的面积为30，求AD的长。
解：（1）因为∠B=44°,∠C=80°,所以∠CAB=180°-∠B-∠C=56°，
所以∠CAE= ∠CAB=28°。
因为∠ADC=90°，∠C=80°，
所以∠DAE=∠CAE-∠DAC=28°-10°=18°。
（2）因为AF是△ABC的中线，所以BF=CF=5，所以BC=10。
因为△ABC的面积为30，所以 BC×AD=30，即 ×10×AD=30，所以AD=6。
2
1
2
1
2
1
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段。
三角形的三条角平分线交于一点。
三角形的高线、中线和角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段。
三角形的中线
三角形的角平分线
三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心。
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段。
三角形的高线
三角形的三条高所在的直线交于一点。
